空间向量及其运算和空间位置关系.pdf

《空间向量及其运算和空间位置关系.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《空间向量及其运算和空间位置关系.pdf（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、1 / 7 20092018年高考真题备选题库 第七章立体几何 第六节空间向量及其运算和空间位置关系 考点利用空间向量证明直线和平面的位置关系 1.证明： PQ平面 BCD； (2若二面角C-BM-D 的大小为60 ，求 BDC 的大小 解： 本题考查空间线面平行的证明，二面角的计算，以及三角形的有关知识，考查考生 的推理论证能力、空间想象能力，以及利用空间向量解决相关问题的能力p1EanqFDPw 法一： (1证明：取BD 的中点O，在线段CD 上取点F，使得DF3FC，连接OP， OF，FQ. 因为 AQ 3QC，所以 QFAD，且 QF错误 ! AD. 因为 O，P 分别为BD，BM 的

2、中点，所以OP 是 BDM 的中位线，所以OPDM ，且 OP错误 ! DM.DXDiTa9E3d 又点 M 为 AD 的中点， 所以 OP AD，且 OP错误 ! AD. 从而 OP FQ，且 OPFQ， 所以四边形OPQF 为平行四边形，故PQOF. 又 PQ?平面 BCD ，OF? 平面 BCD，所以 PQ平面 BCD. (2作 CGBD 于点 G，作 GHBM 于点 H，连接 CH. 因为 AD平面 BCD，CG? 平面 BCD，所以 AD CG， 又 CG BD，ADBD D，故 CG平面 ABD ，又 BM? 平面 ABD ，所以 CGBM. 又 GH BM，CGGHG，故 BM平

3、面 CGH， BMCH，所以 CHG 为二面角C-BM-D 的平面角， 即 CHG60 . 设 BDC . 在 RtBCD 中， CD BDcos 2错误 ! cos ， CGCDsin 2错误 ! cos sin ，BCBDsin 2错误 ! sin ，RTCrpUDGiT BGBCsin 2错误 ! sin 2 . 在 RtBDM 中， HG错误 ! 错误 ! .5PCzVD7HxA 2 / 7 在 RtCHG 中， tan CHG错误 ! 错误 ! 错误 ! .jLBHrnAILg 所以 tan 错误 ! . 从而 60 ，即 BDC60 . 法二： (1证明：如图，取BD 的中点 O，

4、以 O 为原点， OD，OP 所在射线为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.xHAQX74J0X 由题意知A(0，错误 ! ，2， B(0， 错误 ! ，0，D(0，错误 ! ，0 设点 C 的坐标为 (x0，y0,0因为 3，所以 Q错误 ! .LDAYtRyKfE 因为 M 为 AD 的中点，故M(0，错误 ! ，1又 P 为 BM 的中点，故P错误 ! .所以 错误 ! .Zzz6ZB2Ltk 又平面 BCD 的一个法向量为u(0,0,1， 故 u0. 又 PQ?平面 BCD ，所以 PQ平面 BCD. (2设 m(x，y，z为平面 BMC 的法向量 由(x0，错误 ! y0

5、,1， (0,2错误 ! ，1知 错误 !dvzfvkwMI1 取 y 1，得 m错误 ! .rqyn14ZNXI 又平面 BDM 的一个法向量为n(1,0,0，于是 |cosm，n|错误 ! 错误 ! 错误 ! ，EmxvxOtOco 即错误 ! 23. SixE2yXPq5 又 BCCD，所以0，故 (x0， 错误 ! y0,0 (x0，错误 ! y0,00， 即 x错误 ! y错误 ! 2. 联立，解得错误 ! (舍去 或错误 !6ewMyirQFL 所以 tanBDC错误 ! 错误 ! .kavU42VRUs 又 BDC 是锐角，所以BDC 60 . 2 (2018 北京 ，14 分

6、如图，在四棱锥P ABCD 中， PA平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形， AB2， BAD60 .y6v3ALoS89 (1求证： BD平面 PAC； (2若 PAAB，求 PB与 AC 所成角的余弦值； (3当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时，求PA 的长 .解： (1证明：因为四边形ABCD 是菱形， 所以 AC BD. 3 / 7 又因为 PA平面 ABCD，所以 PABD，又 ACP AA， 所以 BD平面 PAC. (2设 ACBDO. 因为 BAD60 ，PAAB2， 所以 BO 1，AOCO错误 ! . 如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz则 P(0， 错

7、误 ! ， 2，A(0， 错误 ! ，0，B(1,0,0，C(0，错误 ! ，0，所以(1，错误 ! ， 2，(0，M2ub6vSTnP 2错误 ! ，0 设 PB 与 AC 所成的角为 ，则 cos 错误 ! 错误 ! 错误 !0YujCfmUCw (3由(2知(1，错误 ! ，0 设 P(0， 错误 ! ，t(t 0， 则(1， 错误 ! ，t， 设平面 PBC 的一个法向量m (x，y，z， 则 m0， m0， 所以 错误 !eUts8ZQVRd 令 y错误 ! ，则 x3，z错误 ! . 所以 m(3，错误 ! ，错误 ! 同理，平面PDC 的一个法向量n(3，错误 ! ，错误 ! 因

8、为平面PBC平面 PDC， 所以 m n0，即 6错误 ! 0. 解得 t错误 ! ， 所以 PA错误 ! . 3证明： B1C1CE。 (2求二面角B1-CE-C1的正弦值 (3设点 M 在线段C1E 上， 且直线AM 与平面ADD1A1所成角的正弦值为 错误 ! ，求线 段 AM 的长GMsIasNXkA 解： 本小题主要考查空间线线、线面的位置关系，以及二面角、直线与平面所成的角等 基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查考生的空间想象能力、运算能力 和推理论证能力TIrRGchYzg 4 / 7 法一 ：如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0，B(0

9、,0,2， C(1,0,1，B1(0,2,2，C1(1,2,1，E(0,1,07EqZcWLZNX (1证明：易得 (1,0， 1， ( 1,1， 1，于是 0，所以 B1C1CE. (2(1， 2， 1设平面B1CE 的法向量m(x，y，z， 则错误 ! 即错误 ! 消去x，得y2z0，不妨令z1，可得一个法向量为m(3， 2,1lzq7IGf02E 由(1知， B1C1CE，又CC1B1C1，可得B1C1平面CEC1，故(1,0， 1为 平面 CEC1的一个法向量zvpgeqJ1hk 于是 cosm， 错误 ! 错误 ! 错误 ! ，NrpoJac3v1 从而 sinm， 错误 ! . 所

10、以二面角B1-CE-C1的正弦值为 错误 ! . (3 (0,1,0，(1,1,1设( ， ， ， 0 1，有 ( ， 1， 可取(0,0,2为平面ADD1A1的一个法向量设为直线 AM 与平面ADD1A1所成的角，则 sin |cos，|错误 ! 错误 ! 错误 ! .于是 错误 ! 错误 ! ，解得 错误 ! ，所以 AM错误 ! .1nowfTG4KI 法 二 ： (1 证 明 ： 因 为 侧 棱 CC1 底 面A1B1C1D1， B1C1? 平 面 A1B1C1D1，所以 CC1 B1C1.经计算可得 B1E错误 ! ，B1C1 错误 ! ， EC1 错误 ! ，从而B1E 2B 1C

11、错误 ! EC错误 ! ，所以在 B1EC1中， B1C1 C1E，又CC1， C1E? 平面CC1E， CC1 C1E C1，所以 B1C1平面 CC1E.又 CE? 平面 CC1E，故 B1C1CE.fjnFLDa5Zo (2过 B1作 B1GCE 于点 G，连接C1G.由 (1知， B1C1CE，故 CE平面 B1C1G，得 CE C1G，所以B1GC1为二面角 B1-CE-C1的平面角在CC1E 中，由 CE C1E 错误 ! ， CC12，可得C1G错误 ! .在 Rt B1C1G 中， B1G错误 ! ，所以sin B1GC1 错误 ! ，tfnNhnE6e5 即二面角B1-CE-

12、C1的正弦值为 错误 ! . (3连接 D1E，过点 M 作 MH ED1于点 H，可得 MH 平面 ADD1A1，连接 AH，AM， 则 MAH 为直线 AM 与平面 ADD1A1所成的角HbmVN777sL 设 AM x，从而在RtAHM 中，有MH错误 ! x，AH错误 ! x.在 RtC1D1E 中， C1D1 1，ED1错误 ! ，得 EH错误 ! MH错误 ! x.在 AEH 中， AEH135 ，AE1， 由 AH 2AE2EH2 2AE EHcos135 ， V7l4jRB8Hs 得错误 ! x 21错误 ! x2错误 ! x， 83lcPA59W9 5 / 7 整理得 5x

13、22错误 ! x 60，解得 x错误 ! .所以线段 AM 的长为 错误 ! .mZkklkzaaP 4.记平面 BEF 与平面 ABC 的交线为l，试判断直线l 与平面 P AC 的 位置关系，并加以证明； (2设(1中的直线l 与圆 O 的另一个交点为D，且点Q 满足 错误 !.记直线 PQ 与平面 ABC 所成的角为 ，异面直线PQ 与 EF 所成的角为 ，二面角 E-l-C 的大小为 ，求证： sin sin sin .ORjBnOwcEd 解： 本题考查空间线面位置关系的判断和证明，考查异面直线所成的角、直线与平面所 成的角、二面角等基础知识，考查空间向量在立体几何中的应用，考查化归

14、与转化思想，考 查空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力2MiJTy0dTT (1直线 l平面 PAC，证明如下： 连接 EF，因为 E，F 分别是 PA，PC 的中点，所以EFAC. 又 EF?平面 ABC，且 AC? 平面 ABC，所以 EF平面 ABC. 而 EF? 平面 BEF，且平面BEF 平面 ABCl，所以 EFl. 因为 l?平面 PAC，EF? 平面 P AC，所以 l平面 PAC. (2证明： 法一： (综合法 如图 1，连接 BD，由 (1可知交线l 即为直线BD，且 lAC. 因为 AB 是 O 的直径，所以ACBC，于是 lBC. 已知 PC平面 ABC，而 l?

15、平面 ABC，所以 PCl. 而 PCBC C，所以 l平面 PBC. 连接 BE，BF，因为 BF? 平面 PBC，所以 lBF. 故 CBF 就是二面角E-l-C 的平面角，即CBF . 由错误 !，作 DQCP，且 DQ错误 ! CP. 连接 PQ，DF ，因为 F 是 CP 的中点， CP 2PF，所以 DQPF， 从而四边形DQPF 是平行四边形，PQFD. 连接 CD，因为 PC平面 ABC，所以 CD 是 FD 在平面 ABC 内的射影， 故 CDF 就是直线 PQ 与平面 ABC 所成的角，即CDF . 6 / 7 又 BD平面 PBC，有 BDBF，知 BDF 为锐角， 故

16、BDF 为异面直线PQ 与 EF 所成的角，即BDF ， 于是在 RtDCF ， RtFBD ，RtBCF 中，分别可得 sin 错误 ! ，sin 错误 ! ，sin 错误 ! ，gIiSpiue7A 从而 sin sin 错误 ! 错误 ! 错误 ! sin ，uEh0U1Yfmh 即 sin sin sin . 法 二 ： ( 向 量 法 如 图2， 由 错误 !， 作DQ CP ， 且DQ 错误 ! CP.IAg9qLsgBX 连接 PQ，EF，BE， BF，BD，由 (1可知交线l 即为直线BD. 以点C 为原点，向量，所在直线分别为x，y，z 轴，建立如图所示的空 间直角坐标系，设

17、CA a，CBb， CP2c，则有WwghWvVhPE C(0,0,0 ， A(a,0,0 ， B(0 ， b,0 ， P(0,0,2c ， Q(a ， b ， c ， E 错误 ! ， F(0,0 ， casfpsfpi4k 于是错误 ! ，(a， b，c，(0， b，c，ooeyYZTjj1 所以 cos 错误 ! 错误 ! ，BkeGuInkxI 从而 sin 错误 ! 错误 ! .PgdO0sRlMo 又取平面 ABC 的一个法向量为m(0,0,1， 可得 sin 错误 ! 错误 ! ，3cdXwckm15 设平面 BEF 的法向量为n(x，y，z， 所以由 错误 ! 可得 错误 !

18、取 n(0，c，bh8c52WOngM 于是 |cos |错误 ! 错误 ! ，从而 sin 错误 ! 错误 ! .v4bdyGious 故 sin sin 错误 ! 错误 ! 错误 ! sin ，J0bm4qMpJ9 即 sin sin sin . 5求证： B1EAD1； (2在棱 AA1上是否存在一点 P，使得 DP平面B1AE？若存在， 求 AP的长；若不存在，说明理由； (3若二面角 AB1EA1的大小为 30 ，求 AB的长 解： (1证明：以A 为原点，的方向分别为x 轴， y 轴， z轴的正方向 建立空间直角坐标系(如图 设 ABa，则 A(0,0,0，D(0,1,0， D1(

19、0,1,1，E(错误 ! ，1,0，B1(a，0,1，故(0,1,1， 7 / 7 (错误 ! ，1， 1， (a,0,1，(错误 ! ，1,0bR9C6TJscw 错误 ! 011(110， B1EAD1. (2假设在棱AA1上存在一点 P(0,0，z0， 使得 DP平面 B1AE，此时 (0， 1，z0 又设平面B1AE 的法向量 n (x，y，z n平面 B1AE， n ，n，得 错误 ! 取 x1，则 y 错误 ! ，z a，得 平面 B1AE 的一个法向量 n(1， 错误 ! ， apN9LBDdtrd 要使 DP平面 B1AE，只要 n ，有 错误 ! az00，解得 z0错误 !

20、 .DJ8T7nHuGT 又 DP?平面 B1AE，存在点 P，满足 DP平面 B1AE，此时 AP错误 ! . (3连接 A1D， B1C，由长方体ABCD A1B1C1D1及 AA1 AD1，得 AD1A1D. B1CA1D， AD1B1C.又由 (1知 B1EAD1，且 B1C B1E B1， AD1平面 DCB1A1，是平面 A1B1E 的一个法向量，此时 (0,1,1 设与 n所成的角为 ， 则 cos 错误 ! 错误 ! .QF81D7bvUA 二面角AB1EA1的大小为30 ， |cos |cos30 ，即 错误 ! 错误 ! ，4B7a9QFw9h 解得 a 2，即 AB的长为 2. 申明： 所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。