高考平面解析几何专题突破.pdf

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1、1 / 34 第一部分考试要求 直线和圆的方程 (1 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式.掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条 件熟练地求出直线方程。b5E2RGbCAP (2 掌握两条直线平行与垂直的条件.两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系 。p1EanqFDPw (3 了解二元一次不等式表示平面区域。 (4 了解线性规划的意义.并会简单的应用。 (5 了解解读几何的基本思想，了解坐标法。 (6 掌握圆的标准方程和一般方程.了解参数方程的概念。理解圆的参数方程。 圆锥曲线方程 (1 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简

2、单几何性质，理解椭圆的参数方程。 (2 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。 (3 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。 (4 了解圆锥曲线的初步应用。 2+(yb2 =r 2 圆的一般方程：x 2+y2+Dx+Ey+F=0 注意表示圆的条件。 圆的参数方程： 掌握圆的几何性质，会判断直线与圆、圆与圆的位置关系。会求圆的相交弦、切线问题。 (二圆锥曲线 1椭圆及其标准方程： 双曲线及其标准方程： 2 / 34 抛物线及其标准方程： 4直线与圆锥曲线： 注意点： 2.直线的倾斜角与斜率的变化关系： 当倾斜角是锐角是，斜率k随着倾斜角 的增大而增大。 当 是钝角时， k

3、与 同增减。 3.截距不是距离，截距相等时不要忘了过原点的特殊情形。 4.两直线： L1: A 1x+B1y+C1=0 L2: A2x+B 2y+C2=0 L 1L2 A 1A2+B1B2=0 DXDiTa9E3d 5.两直线的到角公式：L 1到L2的角为 ，tan = 夹角为 ，tan =| | 注意夹角和到角的区别 6.点到直线的距离公式，两平行直线间距离的求法。 7.有关对称的一些结论 点=0 关于下列点和线对称的曲线方程为： ,圆的方程： (xa 2 +(yb 2 =r 2 . 如果 (x0a 2 +(y 0b 2 r 2 点P(x 0,y0在圆外； 如果 (x0a 2 +(y 0 b

4、 2 在圆内； 如果 (x0a 2+(y 0 b 2=r2 点P(x0,y0在圆上。 10圆上一点的切线方程：点P(x0,y0在圆 x 2 +y 2 =r 2 上，那么过点 P的切线方程为：x 0x+y0y=r 2 .5PCzVD7HxA 11.过圆外一点作圆的切线，一定有两条，如果只求出了一条，那么另外一条就是与轴垂直的直线。 12.直线与圆的位置关系，通常转化为圆心距与半径的关系，或者利用垂径定理，构造直角三角形解决弦长问题。r 相离d=r相切dr+R两圆相离 d r+R两圆相外切 |Rr|x+(E1-E2y+(C1-C2=0 15. 圆上一定到某点或者某条直线的距离的最大、最小值的求法。

5、 16. 焦半径公式：在椭圆中， F、F分别左右焦点， P(x 0,y0是椭圆是一点，则： (1 |PF 1|=a+ex0 |PF 2|=a-ex0 (2 三角形 PFF的面积如何计算 17圆锥曲线中到焦点的距离问题经常转化为到准线的距离。 18直线 y=kx+b 和圆锥曲线 f(x,y=0 交于两点 P1(x1,y1 ,P2(x2,y2则弦长 P1P2= LDAYtRyKfE 19. 双曲线的渐近线的求法；涉及弦长的中点问题 ，常用 “ 差分法 ” 设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件 ，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍。r

6、qyn14ZNXI 。SixE2yXPq5 定量 由题设中的条件找到“ 式” 中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小。 ，即 kxyk0 点 M到直线 AP的距离为 1 5 / 34 ， 解得或 所求 m的取值范围为 . ， 点 M到直线 AP的距离为 1， APQ的内切圆半径 r1， PAM 45 ， 0，且 m 1 即所求 m的取值范围为 . ， B(a,0，则 AMB 为直线 AM 到BM 的角， 又 利用公式得 此时注意到椭圆离心率的范围：00，y0 根据公式得 整理得 又这里 代入得 此时注意到点 P在椭圆上，故得 由得 由得 于是可知，当时，点 P存在且此时椭圆离心率的取值范

7、围为； 当时，点 P不存在 . 三、 “ 一元二次方程有二不等实根的充要条件” 之运用 在直线与曲线相交问题中，直线与某圆锥曲线相交的大前提，往往由“ 相关一元二次方程有二不等实根” 来体现。因此，对 于有关一元二次方程的判别式0，求某量的值时，它是去伪存真的鉴别依据，求某量的取值范围时，它是导出该量的 不等式的原始不等关系。zvpgeqJ1hk 例1、已知椭圆的一个顶点A(0, 1，焦点在 x轴上，且右焦点到直线 的距离为 3，若斜率不为0的直线 l与椭圆交于不同两点M、N，使 M、N关于过 A点的直线对称，求直线l的斜率取值范围。 NrpoJac3v1 9 / 34 解： ，则由 又b1，

8、 椭圆方程为 设直线 l的方程为 ykxm 将代入得 由题意 且 点 P坐标为 又根据题意知 M、N关于直线 AP对称，故有 于是将代入得 因此可知，所求k的取值范围为 . 10 / 34 例2、已知椭圆 C的中心在原点上，焦点在x轴上，一条经过点且方向向量为 的直线 l交椭圆 C于 A、B两点，交 x轴于点 M，又1nowfTG4KI 由得 11 / 34 进而由得 由得 代入得 注意到由得 故由得 因而得 10确定的不等式，另一方面又利用了颇为隐蔽的新设方 程中的大小关系：ab0，双方联合推出2a的范围 .这里的不等关系的充分挖掘与应用，乃是解题成功的关键.fjnFLDa5Zo 四、 “

9、点在圆锥曲线内部的充要条件” 之运用 所给问题中的某些点，注定要在相关圆锥曲线的内部。比如圆锥曲线的弦的内分点，又如圆锥曲线任意两弦的交点等。 因此，点在圆锥曲线内部的充要条件，便成为寻求某量的取值范围的基本依据之一。其中，常用的充要条件为：tfnNhnE6e 5 1、 2、 3、 4、 例、 已知椭圆的焦点为，过点 且垂直于 x轴的直线与椭圆的一个交点为B，又椭圆上不同两点A、C满足条件： 成等差数列 .HbmVN777sL 0,b0）的离心率，过点 A4 于是综合、得所求m的范围为 。 24 / 34 由已知椭圆方程得 又运用椭圆第二定义可得， 由题设条件得 而 此时，注意到点A、C在椭圆

10、上， 故有 -得 代入得 由此得 由、得， 即AC 中点 于是可知弦 AC的中垂线方程为 在中令 x=0得 由此可知，所求弦AC的中垂线在 y轴上的截距为 2、不设不解 这是解决直线与曲线相交问题的至高境界。因此，欲适时地正确选择对交点坐标“ 不设不解 ” ，需要我们对问题或图形本质 的深刻认知，需要我们对有关知识的深厚积淀或升华。ch4PJx4BlI 1）利用圆锥曲线定义回避交点坐标 例2已知 F1、F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，且，求椭圆的离心率。 25 / 34 解：注意到这里涉及点P处两条焦点半径，故考虑利用椭圆定义1。 设椭圆方程为。 又设，则由题意得 根据椭

11、圆定义得 代入得，解得 再由得 代入得 化简得， 由此解得。 2）借助有关图形性质回避交点坐标 例3已知直线 l：与相交于 A、B两点，当时，求 C的方程。 提示：圆心 C到弦 AB的距离 弦心距） 注意到 由圆的弦的性质得，由此解得 a的值。 3）利用有关问题的深入认知回避交点坐标 这是处置直线与曲线乃至两曲线相交问题的重要策略，现以例4示范说明。 例4已知圆 M与圆 26 / 34 相交于不同两点A、 B，所得公共弦AB平行于已知直线，又圆 M经过点 C- 2，3）， D1，4），求圆 M的方程。 qd3YfhxCzo 解利用对圆的根轴方程的认知廻避交点坐标）： 设圆 M方程为 又已知圆方

12、程为 得上述两圆公共弦AB所在直线方程 由题设得 注意到点 C、D在圆 M 上，故有 将、联立解得 所求圆 M的方程为 四、高考真题 1.已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在 x轴上，斜率为1且过椭圆在焦点F的直线交椭圆于A、B两点， 与共线。E836L11DO5 1）求椭圆的离心率； 2）设 M为椭圆上任意一点，且，证明为定值。 分析： 1）求椭圆离心率，首先要求关于a，b，c的等式。为此，从设出椭圆方程与直线AB 的方程切入，运用对A、B坐标 “ 既设 又解 ” 的策略；S42ehLvE3M 2）注意到这里的点为椭圆上任意一点，故考虑对点的坐标“ 设而不解 ” 。 解： 1）设椭圆方程为 则

13、直线 AB 方程为 设 将代入椭圆方程得 27 / 34 由题意 ，显然成立 由韦达定理得 又，与共线 即所求椭圆的离心率为 2）由 1）得， 椭圆方程化为 设，由题设得 点 M在椭圆上 又由 1）知， 28 / 34 而 , 将、代得 ， 即为定值。 点评：对于 1），立足于对A、B坐标 “ 既设又解 ” ，对与 共线的充要条件，先 “ 转化 ” 而后 “ 代入 ” ，与先 “ 代入 ” 而后化简比较，计算量要明显减少。因此 ，诸如此类的问题，要注意选择“ 代入 ” 的形式或时机，以求减少解题的计算量。501nNvZFis 2.P、Q、M、N四点都在椭圆上， F为椭圆在 y轴正半轴上的焦点，

14、已知与共线，与 共线，且，求四边形 PMQN 的面积的最小值和最大值。jW1viftGw9 分析：这里，b=1， c=1，故 F0，1） 由题设知，四边形 PMQN 的面积等于，因此解题从求，切入。 解：这里， b=1，c=1，F0，1）， 由得，即 直线 PQ，MN 中至少有一条直线斜率存在。 不妨设 PQ的斜率为 k，则直线 PQ的方程为 又设 将代入椭圆方程得 29 / 34 且 1）当时，直线 MN 的斜率为， 同理可得 四边形 PMQN 的面积 令，则 当且仅当时等号成立） 当时，S是以为自变量的增函数 2）当时， MN 为椭圆的长轴， 于是 1） 2）得 30 / 34 四边形 P

15、MQN 的面积的最大值为2，最小值为 点评：认知条件，从而认知本题中四边形PMQN 面积的决定因素，寻求的目标便随之明确，而在对四边形面积S的变形中 ，所施行的分子分母同除以，变量替换，分离常数项等等，都是寻求最值的基本策略。xS0DOYWHLP 3.设 A、 B是椭圆 上的两点，点 N1 ，3）是线段 AB的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C、 D两点。LOZMkIqI0w 1）确定的取值范围，并求直线AB 的方程； 2）试判断是否存在这样的，使得 A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由。 分析：在这里，有两条直线经过点N并且与椭圆相交，由于1）要求直线 AB 的方程，故以交点A

16、、B的坐标 “ 即设又解 ” 切 入；对于 2）中的四点共圆， 知，圆的直径为AB或CD，到底是哪一个，则要在完成1）之后根据具体情况再行确定。ZKZUQsUJed 解： 1）由题意，设直线AB 方程为 设 将代入椭圆方程得 则由题设知 且 由 N1，3）是线段 AB的中点得 解得 将代入得 所求的取值范围为， 31 / 34 直线 AB 的方程为即 2）由题设知，线段CD垂直平分线段AB 直线 CD的方程为即 将与椭圆方程联立，消去y得 又设，CD的中点为， 则为方程的根 且 ，即 注意到由 1）可得 由2）可得 当时， 假设存在，使得 A、B、 C、D四点共圆，则 CD必为圆的直径，点M为

17、圆心 又点 M到直线 AB的距离 由勾股定理得 故当时， A、B、C、D四点均在以 M为圆心，以为半径的圆上。 点评：在这里，对A、B及C、 D的坐标均是 “ 既设又解 ” ，解到中途运用韦达定理导出同坐标之间的关系式；对于2），要 切实认知条件的特殊性，根据问题的特殊性，这时化生为熟，转化为熟悉的弦长或弦中点问题。dGY2mcoKtT 4.已知方向向量为的直线 l过点和椭圆 32 / 34 的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上 1）求椭圆 C的方程； 2）是否存在过点E-2， 0）的直线 m交椭圆 C于点 M、N，满足 0为原点）。若存在，求直线m的方程；若不存在，请说

18、明理由。 rCYbSWRLIA 分析：这里直线l的方程容易满足，对椭圆中心O关于 l的对称点 “ 解而不设 ” 容易完成。解题难点在于转化和应用2）中的 条件，注意到。为便于沟通左右两边的联系，运用内积定义得 ，即的面积等于于是解题以表示的面积突破。 FyXjoFlMWh 解： 1）由已知得直线l的斜率为，直线 l的方程为 过原点且垂直于l的直线方程为 由，解得，即上述两直线的交点为 又椭圆中心 O关于直线 l的对称点在椭圆C的右准线上， 点在右准线上， 直线 l过椭圆焦点， 该焦点为 2，0） 椭圆方程为 2）假设存在符合条件的直线m 设 ）当直线 m不垂直 x轴时，设直线m的方程为 代入椭圆方程得 33 / 34 由题设 且， 又 O到直线 MN的距离 由得 ，即， 由得 解得， 即 ）当直线轴时，直线，易得满足条件 ） ）知直线 m的方程为或或 经检验上述直线均满足， 因此，存在满足题设条件的直线m，直线 m的方程为 或或 点评：在本题中，条件 34 / 34 的认知与转化是解题成功的关键环节，一旦已知条件转化为，解题便纳入求弦长与距离的熟悉的途径。Tu WrUpPObX 申明： 所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。