2014年全国各地中考数学汇编：直角三角形与勾股定理.pdf

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1、直角三角形与勾股定理 一、选择题 1. （2014?湘潭，第 7 题， 3 分）以下四个命题正确的是（） A任 意三点可以确定一个圆 B 菱 形对角线相等 C 直 角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D平 行四边形的四条边相等 考点 ： 命 题与定理 分析：利 用确定圆的条件、菱形的性质、直角三角形的性质及平行四边形的性质分别对每个 选项判断后即可确定答案 解答：解 ：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误； B、菱形的对角线垂直但不一定相等，故错误； C、正确； D、平行四边形的四条边不一定相等 故选 C 点评：本 题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、菱形的性质、直角

2、 三角形的性质及平行四边形的性质，难度一般 2. （2014?湘潭， 14 题， 3 分）如图， O 的半径为 3，P 是 CB 延长线上一点，PO=5，PA 切 O 于 A 点，则 P A=4 （第 2 题图） 考点 ： 切 线的性质；勾股定理 分析：先 根据切线的性质得到OAPA，然后利用勾股定理计算PA 的长 解答：解 ： PA 切 O 于 A 点， OAPA， 在 RtOPA 中， OP=5，OA=3， P A=4 故答案为4 点评：本 题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了勾股定理 3. （2014?泰州，第 6 题， 3 分）如果三角形满足一个角是另一个角的3 倍

3、，那么我们称这 个三角形为 “ 智慧三角形 ” 下列各组数据中， 能作为一个智慧三角形三边长的一组是（） A1，2，3 B 1，1，C1，1，D1，2， 考点 ： 解 直角三角形 专题 ： 新 定义 分析：A、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定； B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定； C、解直角三角形可知是顶角120 ，底角 30 的等腰三角形，依此即可作出判定； D、解直角三角形可知是三个角分别是90 ，60 ，30 的直角三角形，依此即可作出判 定 解答：解 ：A、 1+2=3，不能构成三角形，故选项错误； B、 1 2+12=（ ） 2，

4、是等腰直角三角形，故选项错误； C、底边上的高是=，可知是顶角120 ，底角 30 的等腰三角形， 故选项错误； D、解直角三角形可知是三个角分别是90 ，60 ，30 的直角三角形， 其中 90 30 =3， 符合 “ 智慧三角形 ” 的定义，故选项正确 故选： D 点评：考 查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的 判定， “ 智慧三角形 ” 的概念 4. （2014?扬州，第 7 题， 3分）如图，已知AOB=60 ，点 P 在边 OA 上， OP=12，点 M， N 在边 OB 上， PM=PN，若 MN=2，则 OM=（） （第 4 题图） A3B 4

5、C5D6 考点 ： 含 30 度角的直角三角形；等腰三角形的性质 分析：过 P 作 PDOB，交 OB 于点 D，在直角三角形POD 中，利用锐角三角函数定义求 出 OD 的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D 为 MN 中点，根据MN 求出 MD 的 长，由 ODMD 即可求出OM 的长 解答：解 ：过 P 作 PDOB，交 OB 于点 D， 在 RtOPD 中， cos60 =，OP=12， OD=6， PM=PN， PDMN，MN=2， MD=ND=MN=1， OM=ODMD=61=5 故选 C 点评：此 题考查了含30 度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的 性质

6、是解本题的关键 5.（2014?扬州，第 8 题， 3 分）如图，在四边形ABCD 中， AB=AD=6，ABBC，ADCD， BAD =60 ，点 M 、N 分别在 AB、AD 边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则 tanMCN = （） （第 5 题图） A BCD2 考点 ： 全 等三角形的判定与性质；三角形的面积；角平分线的性质；含30 度角的直角三角 形；勾股定理 专题 ： 计 算题 分析：连 接 AC，通过三角形全等，求得BAC=30 ，从而求得 BC 的长，然后根据勾股定理 求得 CM 的长， 连接 MN，过 M 点作 MEON 于 E，则 MNA 是等边三角形求得MN=2

7、，设 NF=x， 表示出 CF，根据勾股定理即可求得MF，然后求得tanMCN 解答：解 ： AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1： 2， AM=AN=2，BM=DN=4， 连接 MN，连接 AC， ABBC，ADCD， BAD =60 在 RtABC 与 RtADC 中， ， RtABCRtADC （LH） BAC=DAC=BAD=30 ，MC=NC， BC=AC， AC2=BC 2+AB2，即（ 2BC）2=BC2 +AB 2， 3BC 2=AB2， BC=2， 在 RtBMC 中， CM=2 AN=AM， MAN=60 ， MAN 是等边三角形， MN=AM=AN=2， 过 M 点

8、作 ME ON 于 E，设 NE=x，则 CE=2x， MN 2NE2=MC2 EC2，即 4x2=（2 ） 2（ 2 x） 2， 解得： x=， EC=2=， ME=， tanMCN= 故选 A 点评：此 题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及解直角三角函数，熟练掌握全等 三角形的判定与性质是解本题的关键 6. （ 2014?安徽省 ,第 8 题 4 分）如图， RtABC 中， AB=9，BC=6， B=90 ，将 ABC 折 叠，使 A 点与 BC 的中点 D 重合，折痕为MN，则线段 BN 的长为（） ABC4 D5 考点：翻折变换（折叠问题） 分析：设 BN=x，则由折叠的性质

9、可得DN=AN=9x，根据中点的定义可得BD=3，在 RtABC 中，根据勾股定理可得关于x 的方程，解方程即可求解 解答：解：设 BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9x， D 是 BC 的中点， BD=3， 在 RtABC 中， x2+32=（9x） 2， 解得 x=4 故线段 BN 的长为 4 故选： C 点评：考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程 思想，综合性较强，但是难度不大 7. （ 2014?广西贺州，第11 题 3 分）如图，以AB 为直径的 O 与弦 CD 相交于点E，且 AC=2，AE=，CE=1则弧 BD 的长是（） A BCD 考点

10、：垂 径定理；勾股定理；勾股定理的逆定理；弧长的计算 分析：连 接 OC，先根据勾股定理判断出ACE 的形状，再由垂径定理得出CE=DE，故 =，由锐角三角函数的定义求出A 的度数，故可得出BOC 的度数，求出OC 的长，再根据弧长公式即可得出结论 解答：解 ：连接 OC， ACE 中， AC=2，AE=，CE=1， AE2+CE 2=AC2， ACE 是直角三角形，即AECD， sinA=， A=30 ， COE=60 ， =sinCOE，即=，解得 OC=， AECD， =， = 故选 B 点评：本 题考查的是垂径定理，涉及到直角三角形的性质、弧长公式等知识，难度适中 8.（2014?滨州

11、，第7 题 3 分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（） A4， 5，6 B1.5，2，2.5 C2，3，4 D1，3 考点 ：勾股定理的逆定理 分析：由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平 方即可 解答：解： A、4 2+52=4162，不可以构成直角三角形，故本选项错误； B、 1.5 2+22=6.25=2.52，可以构成直角三角形，故本选项正确； C、2 2+32=1342，不可以构成直角三角形，故本选项错误； D、1 2+（ ） 2=332，不可以构成直角三角形，故本选项错误 故选 B 点评：本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足 a 2

12、+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形 9 （ 2014 年山东泰安，第8 题 3 分）如图， ACB=90 ，D 为 AB 的中点，连接DC 并延长 到 E，使 CE=CD，过点 B 作 BFDE，与 AE 的延长线交于点F若 AB=6，则 BF 的长为 （） A6 B7C8D10 分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AB=3，则结合已知条件 CE=CD 可以求得ED=4然后由三角形中位线定理可以求得BF=2ED=8 解：如图，ACB=90 ， D 为 AB 的中点， AB=6， CD=AB=3又 CE=CD， CE=1， ED=CE+CD=4又 BFDE，点 D 是

13、 AB 的中点， ED 是 AFD 的中位线， BF=2ED=8故选： C 点评：本题考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线根据已知条件求得 ED 的长度是解题的关键与难点 10 （2014 年山东泰安，第12 题 3 分）如图是一个直角三角形纸片，A=30 ，BC=4cm， 将其折叠，使点C 落在斜边上的点C 处，折痕为BD，如图，再将沿DE 折叠，使 点 A 落在 DC的延长线上的点A处，如图，则折痕DE 的长为（） AcmB2cmC2cmD3cm 分析：根据直角三角形两锐角互余求出ABC=60 ，翻折前后两个图形能够互相重合可 得 BDC=BDC ， CBD =ABD=30 ，

14、ADE=ADE，然后求出 BDE =90 ，再解 直角三角形求出BD，然后求出DE 即可 解： ABC 是直角三角形，A=30 ， ABC=90 30 =60 ， 沿折痕BD 折叠点 C 落在斜边上的点C处， BDC=BDC ， CBD =ABD=ABC=30 ， 沿 DE 折叠点 A 落在 DC 的延长线上的点A处， ADE=ADE， BDE=ABD+ADE= 180 =90 ， 在 Rt BCD 中， BD=BC cos30 =4=cm， 在 Rt ADE 中， DE=BD?tan30 =cm故选 A 点评：本题考查了翻折变换的性质，解直角三角形， 熟记性质并分别求出有一个角是 30 角的

15、直角三角形是解题的关键 二.填空题 1. （ 2014?福建泉州，第14 题 4 分）如图， RtABC 中， ACB=90 ，D 为斜边 AB 的中 点， AB=10cm，则 CD 的长为5cm 考点：直 角三角形斜边上的中线 分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 CD=AB 解答：解 ： ACB=90 ， D 为斜边 AB 的中点， CD=AB= 10=5cm 故答案为： 5 点评：本 题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关 键 2. （ 2014?广东，第14 题 4 分）如图，在O 中，已知半径为5，弦 AB 的长为 8，那么圆 心 O 到

16、 AB 的距离为3 考点：垂径定理；勾股定理 分析： 作 OCAB 于 C，连结 OA，根据垂径定理得到AC=BC=AB=3，然后在RtAOC 中 利用勾股定理计算OC 即可 解答：解：作 OCAB 于 C，连结 OA，如图， OCAB， AC=BC=AB= 8=4， 在 RtAOC 中， OA=5， OC=3， 即圆心 O 到 AB 的距离为3 故答案为： 3 点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查 了勾股定理 3 （2014?新疆，第 14 题 5 分）如图， Rt ABC 中， ABC=90 ，DE 垂直平分AC，垂足为 O，ADBC，且 AB=3

17、，BC=4，则 AD 的长为 考点 ： 勾 股定理；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质 分析：先 根据勾股定理求出AC 的长，再根据 DE 垂直平分 AC 得出 OA 的长，根据相似三角 形的判定定理得出AOD CBA，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论 解答：解 ： RtABC 中， ABC=90 ，AB=3，BC=4， AC=5， DE 垂直平分AC，垂足为O， OA=AC=， AOD=B=90 ， ADBC， A=C， AOD CBA， =，即=，解得 AD= 故答案为： 点评：本 题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟知在任何一个直角三角形中， 两条直角边长的平方

18、之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键 4.（2014?邵阳，第 17 题 3 分）如图，在RtABC 中， C=90 ，D 为 AB 的中点， DEAC 于点 E A=30 ，AB=8，则 DE 的长度是2 考点 ：三角形中位线定理；含30 度角的直角三角形 分析：根据 D 为 AB 的中点可求出AD 的长， 再根据在直角三角形中，30 角所对的 直角边等于斜边的一半即可求出DE 的长度 解答：解： D 为 AB 的中点， AB=8， AD=4， DE AC 于点 E， A=30 ， DE=AD=2， 故答案为： 2 点评：本题考查了直角三角形的性质：直角三角形中， 30 角所对的直角边等

19、于斜边 的一半 5. （2014云南昆明， 第 10 题 3分）如图， 在 RtABC 中， ABC=90 ，AC=10cm，点D 为 AC 的中点，则BD= 第10题图 D C B A cm. 考点 ： 直 角三角形中线问题 分析：根 据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出结果 解答：解 ： ABC=90 ， AC=10cm，点 D 为 AC 的中点， 5 2 1 ACBD 故填 5 点评：本 题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，弄清性质是解决本题的关键 三.解答题 1. （2014?湘潭，第 19 题）如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道为了加快施工 进度， 想在小山

20、的另一侧同时施工为了使山的另一侧的开挖点C 在 AB 的延长线上， 设想 过 C 点作直线AB 的垂线 L，过点 B 作一直线（在山的旁边经过），与 L 相交于 D 点，经测 量 ABD=135 ，BD=800 米，求直线L 上距离 D 点多远的C 处开挖？（1.414 ，精确到 1 米） 考点 ： 勾 股定理的应用 分析：首 先证明 BCD 是等腰直角三角形，再根据勾股定理可得CD 2+BC2=BD2，然后再代 入 BD=800 米进行计算即可 解答：解 ： CD AC， ACD=90 ， ABD=135 ， DBC=45 ， D=45 ， CB=CD， 在 RtDCB 中： CD 2+BC

21、2=BD2， 2CD 2=8002， CD=400 566 （米）， 答：直线L 上距离 D 点 566 米的 C 处开挖 点评：此 题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的 结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出 准确的示意图领会数形结合的思想的应用 2. （2014?益阳，第20 题， 10 分）如图，直线y=3x+3 与 x 轴、 y 轴分别交于点A、B， 抛物线 y=a（x 2） 2+k 经过点 A、B，并与 X 轴交于另一点 C，其顶点为P （1）求 a，k 的值； （2）抛物线的对称轴上有一点Q，使 ABQ 是以

22、AB 为底边的等腰三角形，求 Q 点的坐标； （3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以 A，C，M，N 为顶点的四边形为正方形， 求此正方形的边长 （第 2 题图） 考点 ： 二 次函数综合题 分析：（ 1）先求出直线y=3x+3 与 x 轴交点 A，与 y 轴交点 B 的坐标，再将A、B 两点坐 标代入 y=a（x2）2+k，得到关于 a，k 的二元一次方程组，解方程组即可求解； （ 2）设 Q 点的坐标为（ 2，m） ，对称轴 x=2 交 x 轴于点 F，过点 B 作 BE 垂直于直线 x=2 于点 E 在 RtAQF 与 RtBQE 中， 用勾股定理分别表示出AQ 2=AF2+QF

23、2=1+m2， BQ 2=BE2+EQ2=4+（3m）2，由 AQ=BQ，得到方程 1+m2=4+（3 m）2，解方程求出 m=2，即可求得Q 点的坐标； （ 3）当点 N 在对称轴上时，由NC 与 AC 不垂直，得出AC 为正方形的对角线，根据 抛物线的对称性及正方形的性质，得到M 点与顶点P（2， 1）重合， N 点为点 P 关于 x 轴的对称点， 此时， MF =NF=AF=CF=1，且 ACMN，则四边形AMCN 为正方 形，在 RtAFN 中根据勾股定理即可求出正方形的边长 解答：解 ： （1）直线y=3x+3 与 x 轴、 y 轴分别交于点A、B， A（1，0） ， B（0，3）

24、又抛物线抛物线y=a（x 2） 2+k 经过点 A（ 1，0） ， B（0，3） ， ，解得， 故 a， k 的值分别为1， 1； （ 2）设 Q 点的坐标为（ 2，m） ，对称轴 x=2 交 x 轴于点 F，过点 B 作 BE 垂直于直线 x=2 于点 E 在 RtAQF 中， AQ2=AF 2+QF2=1+m2， 在 RtBQE 中， BQ2=BE2+EQ 2=4+（3 m）2， AQ=BQ， 1+m 2=4+（3m）2， m=2， Q 点的坐标为（2，2） ； （ 3）当点 N 在对称轴上时，NC 与 AC 不垂直，所以AC 应为正方形的对角线 又对称轴x=2 是 AC 的中垂线， M

25、点与顶点P（ 2， 1）重合， N 点为点 P 关于 x 轴的对称点，其坐标为（2，1） 此时， MF=NF=AF=CF =1，且 ACMN， 四边形AMCN 为正方形 在 RtAFN 中， AN=，即正方形的边长为 点评：本 题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二元一次方程组的解法，等腰三 角形的性质，勾股定理，二次函数的性质，正方形的判定与性质，综合性较强，难度 适中 3. （ 2014?益阳，第 21 题，12 分）如图，在直角梯形ABCD 中，ABCD，ADAB，B=60 ， AB=10， BC=4，点 P 沿线段 AB 从点 A 向点 B 运动，设AP=x （1）求 AD 的

26、长； （2）点 P 在运动过程中，是否存在以A、 P、D 为顶点的三角形与以P、C、B 为顶点的三 角形相似？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由； （3）设 ADP 与 PCB 的外接圆的面积分别为S1、 S2，若 S=S1+S2，求 S的最小值 （第 3 题图） 考点 ： 相 似形综合题 分析：（ 1）过点 C 作 CEAB 于 E，根据 CE=BC?sinB 求出 CE，再根据AD=CE 即可求 出 AD； （ 2）若以 A、P、 D 为顶点的三角形与以P、C、B 为顶点的三角形相似，则PCB 必有一个角是直角 分两种情况讨论： 当 PCB=90 时，求出 AP， 再根据在RtAD

27、P 中 DPA=60 ，得出 DPA= B，从而得到ADP CPB，当 CPB=90 时，求 出 AP=3，根据且，得出 PCB 与 ADP 不相似 （ 3）先求出S1=x? ，再分两种情况讨论：当2x10 时，作 BC 的垂直平 分线交 BC 于 H， 交 AB 于 G； 作 PB 的垂直平分线交PB 于 N， 交 GH 于 M， 连结 BM， 在 RtGBH 中求出 BG、 BN、 GN， 在 Rt GMN 中， 求出 MN=（x1） ， 在 RtBMN 中，求出BM 2= x 2 x+，最后根据S1=x?BM 2 代入计算即可当0x2 时， S2=x（x 2 x+） ，最后根据S=S1+

28、S2= x（x） 2+ x 即可得出S的最小 值 解答：解 ： （1）过点 C 作 CEAB 于 E， 在 RtBCE 中， B=60 ，BC=4， CE=BC?sinB=4=2， AD=CE=2 （ 2）存在若以A、P、D 为顶点的三角形与以P、C、 B 为顶点的三角形相似， 则 PCB 必有一个角是直角 当 PCB=90 时，在 RtPCB 中， BC=4， B=60 ，PB=8， AP=ABPB=2 又由（ 1）知 AD=2，在 RtADP 中， tanDPA=， DPA=60 ， DPA= CPB， ADP CPB， 存在 ADP 与 CPB 相似，此时x=2 当 CPB=90 时，在

29、 RtPCB 中， B=60 ，BC=4， PB=2，PC=2， AP=3 则且，此时 PCB 与 ADP 不相似 （ 3）如图，因为Rt ADP 外接圆的直径为斜边PD，则 S1=x? （ ） 2=x? ， 当 2x10 时，作 BC 的垂直平分线交BC 于 H，交 AB 于 G； 作 PB 的垂直平分线交PB 于 N，交 GH 于 M，连结 BM则 BM 为 PCB 外接圆的半 径 在 RtGBH 中， BH=BC=2， MGB=30 ， BG=4， BN=PB=（ 10x） =5x， GN=BG BN=x1 在 RtGMN 中， MN=GN?tanMGN =（x1） 在 RtBMN 中，

30、 BM 2=MN2+BN2= x 2 x+， S1=x?BM 2=x（ x 2 x+） 当 0x2 时， S2=x（ x 2 x+）也成立， S=S1+S2=x? +x（x 2 x+）=x（x） 2+ x 当 x=时， S=S1+S2取得最小值x 点评：此 题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的性质与判定、二次函数的最值、 勾股定理，关键是根据题意画出图形构造相似三角形，注意分类讨论 4. （2014?株洲，第 21 题， 6 分）已知关于x 的一元二次方程（a+c）x 2+2bx+（ac）=0， 其中 a、 b、c 分别为 ABC 三边的长 （1）如果 x=1 是方程的根，试判断AB

31、C 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC 的形状，并说明理由； （3）如果 ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根 考点 ： 一 元二次方程的应用 分析：（ 1）直接将 x=1 代入得出关于a，b 的等式，进而得出a=b，即可判断 ABC 的形 状； （ 2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c 的等式，进而判断ABC 的形状； （ 3）利用 ABC 是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可 解答：解 ： （1） ABC 是等腰三角形； 理由： x=1 是方程的根， （ a+c） （ 1）22b+（a c）=0， a+c 2b+ac=0， ab=

32、0， a=b， ABC 是等腰三角形； （ 2）方程有两个相等的实数根， （ 2b）24（a+c） （ac）=0， 4b24a2+4c2=0， a2=b2+c2， ABC 是直角三角形； （ 3）当 ABC 是等边三角形，（a+c）x2+2bx+（ac） =0，可整理为： 2ax 2+2ax=0， x2+x=0， 解得： x1=0，x2=1 点评：此 题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理逆定理等知识，正确 由已知获取等量关系是解题关键 5. （2014?株洲，第 22 题， 8 分）如图，在RtABC 中， C=90 ， A 的平分线交BC 于 点 E， EFAB 于点 F，

33、点 F 恰好是 AB 的一个三等分点（AFBF） （1）求证： ACE AFE； （2）求 tanCAE 的值 考点 ： 全 等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义 分析：（ 1）根据角的平分线的性质可求得CE=EF，然后根据直角三角形的判定定理求得三 角形全等 （ 2） 由 ACE AFE， 得出 AC=AF， CE=EF， 设 BF=m， 则 AC=2m， AF=2m， AB=3m， 根据勾股定理可求得，tan B=，CE=EF=，在 RTACE 中， tanCAE=； 解答：（ 1）证明： AE 是 BAC 的平分线， ECAC，EFAF， CE=EF， 在

34、RtACE 与 RtAFE 中， ， RtACERtAFE（ HL） ； （ 2）解：由（ 1）可知 ACE AFE， AC=AF，CE=EF， 设 BF=m，则 AC=2m，AF=2m， AB=3m， BC=m， 在 RT ABC 中， tanB=， 在 RTEFB 中， EF=BF? tan B=， CE=EF=， 在 RTACE 中， tanCAE=； tanCAE= 点评：本 题考查了直角三角形的判定、性质和利用三角函数解直角三角形，根据已知条件表 示出线段的值是解本题的关键 6. （2014?株洲，第 23 题， 8 分）如图， PQ 为圆 O 的直径，点B 在线段 PQ 的延长线上

35、， OQ=QB=1，动点 A 在圆 O 的上半圆运动（含P、Q 两点），以线段 AB 为边向上作等边三角 形 ABC （1）当线段AB 所在的直线与圆O 相切时，求 ABC 的面积（图1） ； （2）设 AOB= ，当线段AB、与圆 O 只有一个公共点（即A 点）时，求 的范围（图2， 直接写出答案） ； （3）当线段AB 与圆 O 有两个公共点A、M 时，如果 AOPM 于点 N，求 CM 的长度（图 3） （第 6 题图） 考点 ： 圆 的综合题； 等边三角形的性质；勾股定理； 切线的性质； 相似三角形的判定与性质； 特殊角的三角函数值 分析：（ 1）连接 OA，如下图1，根据条件可求出A

36、B，然后 AC 的高 BH，求出 BH 就可以 求出 ABC 的面积 （ 2）如下图2，首先考虑临界位置：当点A 与点 Q 重合时，线段AB 与圆 O 只有一 个公共点，此时 =0 ；当线段 AB 所在的直线与圆O 相切时，线段AB 与圆 O 只有一 个公共点，此时 =60 从而定出的范围 （ 3）设 AO 与 PM 的交点为D，连接 MQ，如下图3，易证 AOMQ，从而得到 PDO PMQ， BMQ BAO，又 PO=OQ=BQ，从而可以求出MQ、OD，进而 求出 PD、DM 、AM、CM 的值 解答：解 ： （1）连接 OA，过点 B 作 BHAC，垂足为H，如图 1 所示 AB 与 O

37、相切于点A， OAAB OAB=90 OQ=QB=1， OA=1 AB= = = ABC 是等边三角形， AC=AB=， CAB=60 sinHAB=， HB=AB?sinHAB = = SABC=AC?BH = = ABC 的面积为 （ 2）当点A 与点 Q 重合时， 线段 AB 与圆 O 只有一个公共点，此时 =0 ； 当线段A1B 所在的直线与圆 O 相切时，如图2 所示， 线段 A1B 与圆 O 只有一个公共点， 此时 OA1BA1，OA1=1，OB=2， cosA1OB= = A1OB=60 当线段AB 与圆 O 只有一个公共点（即A 点）时， 的范围为： 0 60 （ 3）连接 M

38、Q，如图 3 所示 PQ 是 O 的直径， PMQ=90 OAPM， PDO=90 PDO=PMQ PDO PMQ = PO=OQ=PQ PD=PM， OD=MQ 同理： MQ=AO，BM=AB AO=1， MQ= OD= PDO=90 ， PO=1，OD=， PD= PM= DM= ADM=90 ，AD=A0OD=， AM= ABC 是等边三角形， AC=AB=BC， CAB=60 BM=AB， AM=BM CM AB AM=， BM=，AB= AC= CM= = CM 的长度为 点评：本 题考查了等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、直线与圆相切、 勾股定理、 特殊三角函数值等知识，考

39、查了用临界值法求角的取值范围，综合性较强 7. （2014?泰州，第 23 题， 10 分）如图， BD 是 ABC 的角平分线，点E，F 分别在 BC、 AB 上，且 DEAB，EF AC （1）求证： BE=AF； （2）若 ABC=60 ，BD=6，求四边形ADEF 的面积 （第 7 题图） 考点 ： 平 行四边形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30 度角 的直角三角形 分析：（ 1）由 DEAB，EF AC，可证得四边形ADEF 是平行四边形，ABD=BDE， 又由 BD 是 ABC 的角平分线，易得BDE 是等腰三角形，即可证得结论； （ 2）首先过点D 作

40、DG AB 于点 G，过点 E 作 EH BD 于点 H，易求得DG 与 DE 的长，继而求得答案 解答：（ 1）证明： DEAB，EFAC， 四边形ADEF 是平行四边形，ABD=BDE， AF=DE， BD 是 ABC 的角平分线， ABD=DBE， DBE=BDE， BE=DE， BE=AF； （ 2）解：过点D 作 DG AB 于点 G，过点 E 作 EH BD 于点 H， ABC=60 ，BD 是 ABC 的平分线， ABD=EBD=30 ， DG=BD= 6=3， BE=DE， BH=DH=BD=3， BE=2， DE=BE=2， 四边形ADEF 的面积为： DE?DG=6 点评：

41、此 题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知 识此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用 8.（2014?泰州，第25 题， 12 分）如图，平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=x+b（b 为常数， b 0）的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A、B，半径为 4 的 O 与 x 轴正半轴相交 于点 C，与 y 轴相交于点D、E，点 D 在点 E 上方 （第 8 题图） （1）若直线AB 与有两个交点F、G 求 CFE 的度数； 用含 b 的代数式表示FG 2，并直接写出 b 的取值范围； （2）设 b5 ，在线段 AB 上是否存在点P，使 C

42、PE=45 ？若存在，请求出P 点坐标；若不 存在，请说明理由 考点 ： 圆 的综合题 分析：（ 1）连接 CD，EA，利用同一条弦所对的圆周角相等求行CFE=45 ， （ 2）作 OMAB 点 M，连接 OF，利用两条直线垂直相交求出交点M 的坐标，利用 勾股定理求出FM 2，再求出 FG 2，再根据式子写出 b 的范围， （ 3）当 b=5 时，直线与圆相切，存在点P，使 CPE=45 ，再利用两条直线垂直相交 求出交点P 的坐标， 解答：解 ： （1）连接 CD，EA， DE 是直径， DCE=90 ， CODE，且 DO=EO， ODC=OEC=45 ， CFE=ODC=45 ， （

43、2）如图，作OMAB 点 M，连接 OF， OMAB，直线的函数式为：y=x+b， OM 所在的直线函数式为：y=x， 交点 M（b，b） OM 2=（ b） 2+（ b） 2， OF=4， FM 2=OF2OM2=42（ b） 2（ b） 2， FM=FG， FG2=4FM 2=4 42（ b） 2（ b）2=64 b 2=64 （1 b 2） ， 直线 AB 与有两个交点F、G 4 b5， （ 3）如图， 当 b=5 时，直线与圆相切， DE 是直径， DCE=90 ， CODE，且 DO=EO， ODC=OEC=45 ， CFE=ODC=45 ， 存在点P，使 CPE=45 ， 连接 O

44、P， P 是切点， OPAB， OP 所在的直线为：y=x， 又 AB 所在的直线为：y=x+5， P（，） 点评：本 题主要考查了圆与一次函数的知识，解题的关键是作出辅助线，明确两条直线垂直 时 K 的关系 9. （2014?扬州，第 28 题， 12 分）已知矩形ABCD 的一条边AD=8，将矩形ABCD 折叠， 使得顶点 B 落在 CD 边上的 P 点处 （第 9 题图） （1）如图 1，已知折痕与边BC 交于点 O，连结 AP、OP、OA 求证： OCP PDA； 若 OCP 与 PDA 的面积比为1：4，求边 AB 的长； （2）若图 1 中的点 P 恰好是 CD 边的中点，求OAB

45、 的度数； （3）如图 2，擦去折痕AO、线段 OP，连结 BP动点 M 在线段 AP 上（点 M 与点 P、A 不重合），动点 N 在线段 AB 的延长线上，且BN=PM，连结 MN 交 PB 于点 F，作 MEBP 于点 E试问当点M、N 在移动过程中，线段EF 的长度是否发生 变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF 的长度 考点 ： 相 似形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩 形的性质；特殊角的三角函数值 专题 ： 综 合题；动点型；探究型 分析：（ 1）只需证明两对对应角分别相等即可证到两个三角形相似，然后根据相似三角形 的性质求出PC 长以及 AP 与 OP 的关系，然后在RtPCO 中运用勾股定理求出OP 长，从而求出AB 长 （ 2）由 DP=DC=AB=AP 及 D=90 ，利用三角函数即可求出DAP 的度数，进 而求出 OAB 的度数 （ 3）由边相等常常联想到全等，但 BN 与 PM 所在的三角形并不全等，且这两条线段 的位置很不协调，可通过作平行线构造全等，然后运用三角形全等及等腰三角形的性 质即可推出EF 是 PB 的一半，只需求出PB 长就可以求出EF 长 解答：解 ： （1）如图 1， 四边形ABCD 是矩形， AD=BC，DC=AB， DAB=B=C=D=90