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1、知识典例（注意咯，下面可是黄金部分！） 一、知识清单 1三种增长型函数模型的图象与性质 函数 性质 ya x( a1) ylog ax (a1) yx n (n0) 在(0 ， ) 上 的单调性 增长速度 图象的变化 随x增大逐渐表现为与 _平行 随x增大逐渐表现为与 _平行 随n值变化而不同 2. 三种增长型函数之间增长速度的比较 (1) 指数函数ya x ( a1) 与幂函数yx n ( n0) 在区间 (0 ， ) 上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内a x 会小于x n，但由于 y a x 的增长速度 _yx n 的增长速度，因而总存在一个x0，当xx0时有 _ (2) 对数函数
2、ylogax(a1) 与幂函数yx n ( n0) 对数函数ylogax(a1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会_yx n 的增 长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使xx0时有 _ 由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在 同一个档次上， 因此在 (0 ， ) 上，总会存在一个x0，使xx0时有 _ 3函数模型的应用实例的基本题型 (1) 给定函数模型解决实际问题； (2) 建立确定性的函数模型解决问题； (3) 建立拟合函数模型解决实际问题 4函数建模的基本程序 函数模型及其应用 二、经典题型 考点 1：一次函数、二次函数模型 例 1某
3、化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y( 万元 ) 与年 产量x( 吨) 之间的函数关系式可以近似地表示为y x 2 5 48x8 000，已知此生产线年产量最 大为 210 吨 (1) 求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本； (2) 若每吨产品平均出厂价为40 万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？ 最大利润是多少？ 变式迁移1 某租赁公司拥有汽车100 辆，当每辆车的月租金为3 000 元时，可全部租 出当每辆车的月租金每增加50 元时， 未租出的车将会增加一辆租出的车每辆每月需要维 护费 150 元，未租出的车每辆每月需要维护费50
4、元 (1) 当每辆车的月租金定为3 600 元时，能租出多少辆车？ (2) 当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 考点二分段函数模型 例 2据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度 v(km/h) 与时间t(h) 的函数图象如图所示， 过线段OC上一点T(t,0) 作横轴的垂线l， 梯形OABC 在直线l左侧部分的面积即为t(h) 内沙尘暴所经过的路程s(km) (1) 当t4 时，求s的值； (2) 将s随t变化的规律用数学关系式表示出来； (3) 若N城位于M地正南方向，且距M地 650 km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N
5、城， 如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由 变式迁移2 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80 元，当用水超过4 吨时，超过部分每吨3.00 元某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙 两户该月用水量分别为5x,3x( 吨) (1) 求y关于x的函数； (2) 若甲、乙两户该月共交水费26.4 元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费 考点三指数函数模型 例 3诺贝尔奖发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成6 份，奖励给分别在6 项 ( 物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平) 为人类作出最有益贡献的人，每年发放 奖金的总金额是
6、基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐 年增加假设基金平均年利率为r6.24%. 资料显示： 1999 年诺贝尔奖发放后基金总额约为 19 800 万美元设f(x)表示第x(xN *)年诺贝尔奖发放后的基金总额 (1999 年记为f(1) ， 2000 年记为f(2) ，, ，依次类推) (1) 用f(1) 表示f(2) 与f(3) ，并根据所求结果归纳出函数f(x) 的表达式； (2) 试根据f(x) 的表达式判断网上一则新闻“2009 年度诺贝尔奖各项奖金高达150 万美 元”是否为真，并说明理由 ( 参考数据： 1.031 2 91.32) 变式迁移3 现有某
7、种细胞100 个，其中有占总数 1 2的细胞每小时分裂一次，即由 1 个细 胞分裂成2 个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过10 10个？ ( 参考数据： lg 3 0.477 ，lg 2 0.301) 巩固练习 1 商店某种货物的进价下降了8，但销售价没变， 于是这种货物的销售利润由原来的r 增加到（r10），那么r的值等于（） A12 B15 C25 D50 2如下图所示，点在边长为1 的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点沿着 ABCM运动时， 以点经过的路程x为自变量， 三角形APM的面积函数的图象形状大致 是（） 3某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始
8、跑步前进，跑累了再走余下的路，下图中， 纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是 （） 4(广州模拟 )某民营企业生产A、B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与 投资成正比，其关系如图1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注： 利润与投资单位：万元) 图 1图 2 (1)分别将 A、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式，并写出它们的函数关系式； (2)该企业已筹集到10 万元资金，并全部投入A、 B 两种产品的生产，问：怎样分配这 10 万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元？(精确到 1 万元 ) 5
9、 某公司今年一月份推出一种新产品，成本价为每件492 元，经试销调查，销售量与销 售价的关系如下表： 销售价x(元/件)650662720800 销售量y(件)350333281200 由此可知， 销售量 y 与销售价格x 的关系可近似看作一次函数ykxb(通常取表中相距 较远的两组数据所得的一次函数较为精确)试问： 销售价定为多少时，一月份利润最大？并 求最大利润和此时的销售量 课后练习 一、选择题 ( 每小题 5 分，共 25 分 ) 1在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据现准备用下列四个函 数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( ) X 1.953.0
10、03.945.106.12 Y 0.971.591.982.352.61 A.y2 x Bylog2x Cy 1 2( x 2 1) Dy2.61cos x 2拟定甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m) 1.06 (0.5 m 1)( 单位：元 ) ，其中 m0，m 表示不大于m的最大整数 ( 如3.72)3，4 4) ，当m0.5,3.1时，函数f(m) 的值域是 ( ) A1.06,2.12,3.18,4.24 B1.06,1.59,2.12,2.65 C1.06,1.59,2.12,2.65,3.18 D1.59,2.12,2.65 3某商店出售A、B两种价格不同的商品，由于商品A连续两次
11、提价20% ，同时商品B 连续两次降价20% ，结果都以每件23 元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格 不升不降时的情况比较，商店盈利情况是 ( ) A多赚约6 元B少赚约 6 元 C多赚约2 元D盈利相同 4国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800 元的不纳税；超过800 元而不超过4 000 元的按超过800 元部分的14% 纳税； 超过 4 000 元的按全部稿酬的11% 纳税 已知某人出版一 本书，共纳税420 元，这个人应得稿费( 扣税前 ) 为( ) A4 000 元B3 800 元 C4 200 元D3 600 元 5生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一
12、个月生产某种商品x万件时 的生产成本为C(x) 1 2x 22x 20(万元 ) 一万件售价是 20 万元，为获取更大利润，该企业 一个月应生产该商品数量为 ( ) A18 万件B20 万件 C16 万件D8 万件 题号12345 答案 二、填空题 ( 每小题 4 分，共 12 分 ) 6据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2009 年产生的垃圾量为a t ，由 此预测，该区下一年的垃圾量为_t,2014年的垃圾量为 _t. 7有一批材料可以建成200 m长的围墙， 如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩 形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形( 如图所示 ) ，则围成场地的
13、最大面积为 _( 围墙的厚度不计) 8 已知每生产100 克饼干的原材料加工费为1.8 元 某食品加工厂对饼干采用两种包装， 其包装费用、销售价格如下表所示： 型号小包装大包装 重量100 克300 克 包装费0.5 元0.7 元 销售价格3.00 元8.4 元 则下列说法中正确的是_( 填序号 ) 买小包装实惠；买大包装实惠；卖3 小包比卖1 大包盈利多；卖1 大包比卖3 小包盈利多 三、解答题 ( 共 38 分) 9(12 分) 设某企业每月生产电机x台，根据企业月度报表知，每月总产值m( 万元 ) 与总 支出n( 万元 ) 近似地满足下列关系：m 9 2x 1 4， n 1 4x 25x
14、7 4，当 mn0 时，称不亏损 企业；当mn0 时，称亏损企业，且nm为亏损额 (1) 企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？ (2) 当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？ 10 (12 分) 某单位用2 160 万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10 层、 每层 2 000 平方米的楼房经测算，如果将楼房建为x(x10) 层，则每平方米的平均建筑费 用为 56048x( 单位：元) 为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ ( 注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用 购地总费用 建筑总面积 ) 11 (14 分)某宾馆有相同标准的床位100 张，根据经验，当该宾馆的床价(即每张床每 天的租金 ) 不超过10 元时，床位可以全部租出，当床位高于10 元时，每提高1 元，将有3 张床位空闲为了获得较好的效益，该宾馆要给床位一个合适的价格，条件是：要方便结 账，床价应为1 元的整数倍；该宾馆每日的费用支出为575 元，床位出租的收入必须高于 支出， 而且高出得越多越好若用x表示床价， 用y表示该宾馆一天出租床位的净收入( 即除 去每日的费用支出后的收入) (1) 把y表示成x的函数，并求出其定义域； (2) 试确定该宾馆将床位定价为多少时，既符合上面的两个条件，又能使净收入最多？