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1、集合间的基本关系 一、知识概念 1、子集 （1）子集的概念 对于两个集合A， B，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两 个集合有包含关系，称集合A 是集合 B 的子集。记作：()ABBA或，读作： A 包 含于 B，或 B 包含 A 这时我们也说集合A 是集合 B 的子集 【要点辨析】“A 是 B 的子集”的含义是：集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，即由xA，能推出xB； 例如： -1.1-1,0,1,2；x|x为北京人 x|x为中国人 当 A 不是 B 的子集时，我们记作“BA”，读作：“ A 不包含于B”； 例如： A=1,2,3 不是 B=1,3,4,5
2、的子集，因为A 中的元素2 不是 B 中的元素 任何一个集合都是它本身的子集，即对于任何一个集合A，它的任何一个元素都 属于集合A 本身，记作AA； 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定： 空集是任何集合的子集， 即对于任意一个集合A，有A； 以上告诉我们，在求某一个集合的子集时，不要漏掉空集和它本身这两种特 殊情况。 在子集的定义中，不能理解为子集A 是 B 中的“部分元素”所组成的集合。因为 若A，则 A 中不含任何元素；若A=B，则 A 中含有 B 中的所有元素，但 此时都说集合 A 是集合 B 的子集。 （）真子集 如果BA，且，就说集合是集合的真子集，记作AB。 它的图形表
3、示如下： 空集是任何非空集合的真子集； B A 对于集合A,B,C ，如果 AB，BC，那么 AC 元素与集合的关系是属于与不属于的关系，用符号、表示； 集合与集合之间的 关系是包含、真包含、相等的关系，用符号、和=表示 （3）子集的性质 任何一个集合是它本身的子集，即AA 对于集合A、B、C，如果BA且CB，那么CA（传递性） （4）Venn 图 为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部表示集合，利用它 可对集合关系进行图形语言表示，如BA可表示为下图： 2、集合相等 如果集合 A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合 A 的元素，我们就说集合
4、A 等于集合B，记作 A=B ，读作 A 等于 B。 注意理解一下两点： （1）若BA，同时 A? B，则 A=B 。因为BA，所以 A 的元素都是B 的元素；又因为 AB，所以 B 的元素都是A 的元素，即集合A 和集合 B 的元素完全相同，因此A=B 。 （2）证明两个集合相等的方法：若A、B 两个集合是元素较少的有限集，可用列举法将元 素列举出来，说明两个集合的元素完全相同，从而A=B ；若 A、B 是无限集，欲证A=B ， 只需证BA与AB都成立即可。可设任意Ax0，证明Bx0，从而得出BA。 又设任意Ay0，证明By0，从而得到AB，进而证明得到A=B 【要点辨析】几种符号之间的联系
5、与区别： （1）、和 分别表示子集（包含）关系，真子集关系和不包含关系，它们都是用于集合之间关系的符号 （2）与，与 与是用于元素与集合之间关系的符号；与是用于集合之间关系的符号。 3、空集 空集是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集。 空集不含任何元素。实数 0 与空集是两个不同的概念，不能把 0 或 0 与混为一谈。 【注】若出现BA的条件时，必须考虑A的情况， 【例】设集合 0158x-x|x 2 A，集合01-ax|xB，若AB，求实 数 a 组成的集合，并写出它的所有非空真子集。 【解析】因为AB，所以只要求出A，然后分类讨论即可解决。 【解】由于3,5A，AB. 若B，则
6、 a=0; 若B，则 a0，这时有3 a 1 ，或5 a 1 ，即 3 1 a，或 5 1 a。 综上所述，由实数a 组成集合为 5 1 3 1 0，. 其非空真子集为0 ， 3 1 ， 5 1 ， 3 1 0， ， 5 1 0， ， 5 1 3 1 ，共 6 个。 4、集合子集的确定方法 （1）写出给定集合的子集或判定已知集合子集的个数是最常见的问题，如何不重不漏 列出所有子集，如何计算集合子集的个数呢？ 【例】写出集合321，A的所有子集并求所有子集中元素之和 【解析】 按子集元素个数的多少分别写出所有子集，才能避免不重不漏，同时还应注意 两个特殊子集，即和给定集合本身 。 【解】，1 ，
7、 2 ， 3 ，1,2 ，1,3，2,3，1,2,3. 注意到 A中每个元素均出现了4 次，故所有子集元素的和为：（1+2+3） 4=24. （2）由上例可知， 由 3 个元素组成的集合的子集有8 个. 那么由 2 个元素组成的集合的 子集有几个？由4 个元素？由n个元素组成的集合有多少个？（ n 2个） （3）A 中每个元素出现在子集中4 次，是在写出所有子集后再观察得出的结果，能否 不写出 A的子集也能得出同样结论？完全可行. 注意到 A中的元素1，出现在 A的子集 1 ，1,2 ， 1,3 ，1,2,3中，如果从这些集 合中去掉元素1，剩下的元素组成的集合依次为，2 ，3 ，2,3 ，即
8、为集合 2,3的 全部子集 .一般而言， A 中 n 个元素，则每一元素出现在子集中的次数为 1- 2 n ，故所有子集 元素之和 1 - 21 2)( n n aaaS. 5、子集的概念与性质在解题中的应用 （1） 子集的概念是讨论集合与集合间的关系引出的，两个集合 A 与 B 之间的关系如下： BA BABA ABBABA BA 的真子集是 且 其中BA表示集合 A 不包含于集合B（或集合 B 不包含于集合A） （2）子集具有以下性质： AA，即任何一个集合都是它本身的子集 如果BA，AB，那么 A=B 如果BA，CB，那么CA 如果 AB，BC，那么 AC （3）包含的定义也可以表述为：
9、如果由任意Ax，可以推出Bx，那么BA（或 AB） 不含包含的定义也可以表述成：两个集合A 和 B，如果集合A 中存在至少一个元素不 是集合 B 的元素，那么BA （4）空集是任何集合的子集，即对于任何一个集合A，都有A. 在解决诸如BA， 或 A 是 B 的真子集类问题时，必须优先考虑A是否满足题意. 6、忽视空集对集合关系的影响 空集就像一个无处不在的幽灵，解题时需处处设防，提高警惕. （1）忽视空集是任何非空集合的真子集 【例】写出集合Nx4,x0|xB的所有真子集. 【错解】 集合Nx4,x0|xB=1,2,3 的所有真子集为1 ，2 ，3 ， 1,2， 1,3 ，2,3 共 6 个
10、【错因分析】错解忽视了是任何非空集合的真子集. 【正解】集合Nx4,x0|xB=1,2,3 的所有真子集为，1 ，2 ，3 ， 1,2 ，1,3 ，2,3 共 7 个 （2）忽视空集隐藏在含参的不等式中 【例】已知集合3x-2|xA，集合1-2mx|xmB，若AB，求 m 的取值范围 【错解】由12mm，得1m. 又AB，得 312 2 m m ，即22x 综上， m 的取值范围为：21|mm. 【错因分析】当AB时，许多同学认为B 是非空的，且B 是 A 的子集，忽视了空集 是任何集合的子集，即B 为的情况 【正解】由错解，可知当B时，21m， 当 B=时，由 m2m-1 ，得 m0，y0.
11、 【例2 】已 知集合Za, 6 1 ax|xA，, 3 1 2 x|xZb b B， , 6 1 2 x|xZc c C，则 A、B、C 满足的关系是（） A A=BC B AB=C C ABC D BCA 【例 3】已知 1,2 M1,2,3,4,5，则这样的集合M有个 【例 4】已知集合Rx0,1ax| 2 xxA，B=1,2 ，且 AB，求实数a 的取值范 围 【例 5】已知集合0m3x-| 2 xRxP， 集合0)43()1( | 22 xxxRxQ，集合 P 是否能成为Q 的一个子集？若能，求 出 m 的取值范围；若不能，请说明理由. 【变式 1】满足集合 01| 2 xxA01|
12、 2 xx的集合 A 的个数是（） A 1 B 2 C 3 D 4 【变式 2】已知集合M=(x,y)|x+y0，集合 P=(x,y)|x2 ，xR，若BA，则 a,b 必满足（） A |a+b| 3 B |a+b|3 C |a-b|3 D |a-b| 3 【变式 4】已知集合A=x|x0 ，xR，B=0| 2 pxxx，且AB，求实数 p 的取 值范围 【变式5】已知集合023x-x|x 2 A，1|axxB，且B. （1）若 AB，求 a 的取值范围； （2）若AB，求 a的取值范围 . 考点二：在具体情境中解释空集和相等集合的含义（选择题） 【例1】给出下列命题：（1）空集没有子集；（2
13、）任何集合至少有两个子集；（3）空集 是任何集合的真子集；（4）若A，则 A，其中正确的个数有（） A 0 个B 1 个C 2 个D 3 个 【例 2】已知集合2,babaaA，, 2 acacaB，若 A=B ，求 c 的值 【例 3】设 0158| 2 xxxA，01axB （1）若 5 1 a，试判断集合A 和 B 的关系 ; （2）若AB，求实数a组成的集合C. 【变式1】1、已知四个命题：0；空集没有子集；任何一个集合必有两个或 两个以上的子集；空集是任何一个集合的子集.其中正确的有（） A 0 个B 1 个C 2 个D 3 个 【变式2】下列各组中的两个集合相等的有（） ,2|Zn
14、nxxP，),1(2|ZnnxxQ；, 12| * NnnxxP， , 12| * NnnxxQ；0| 2 xxxP，, 2 )1(1 |ZnxxQ n A B C D 【变式3】已知集合A=x|x-a|=4 ，集合 B=1,2 ，b. （1）是否存在实数a，使得对于任意实数b 都有BA？若存在，求出对应的a 值；若不 存在，说明理由. （2）若BA成立，求出对应的实数对（a,b） 考点三：能正确区分易混淆的数学符号（和），会判断两个集合间的关系， 能用 Venn图表示集合间的关系（选择题、填空题） 【例 1】填空 1)a_a，b，c ；2) 0_x| 2 x=0 ； 3)0 _x R| 2
15、x+1=0 ；4)0 ，1 _N ； 5)0 _x| 2 x=x ；6)2 ，1 _x| 2 x-3x+2=0 【例 2】判断下列两个集合之间的关系 1)A=1 ，2，4，B=x|x 是 8 的约数 ； 2)A=x|x=3k ， kN ，B=x|x=6z ，zN ； 3)A=x|x 是 4 与 10 的公倍数 ，B=x|x=20m ， m N*. 【例 3】已知集合A=a ，a+b，a+2b ，B=a ，ac，ac2，若 A=B ，求 c 的值 【变式 1】下列关系式中正确的个数为（） a,bb,a ； a,b=b,a ；0 ；00 ；0 A 3 B 4 C 5 D 0 【变式 2】已知全集U
16、=R ，则正确表示集合M=-1,0,1和 N=x|0xx 2 关系的 Venn 图 示下图中的（） AB CD 【变式 3】集合 U= 不大于 5 的自然数 ，A=0 ，1，B=x| xA, 且 x1，C=x|x-1A，且 xU，若 D=x|xA ，说明 A、 B、C、D 的关系 . 【变式4】集合 A=x|- 2x5，B=x|m+ 1x2m-1 （1）若MB，求实数m 的取值范围； （2）当 xZ 时，求 A的非空真子集的个数； （3）当 xR时，不存在元素x 使 x A ，且 xB同时成立，求实数m的取值范围 . 三、课堂练习 1. 下列命题正确的是（） A. 无限集的真子集是有限集 B.
17、任何一个集合必定有两个子集 C. 自然数集是整数集的真子集 D.1是质数集的真子集 2. 以下五个式子中，错误的个数为（） 1 0 ，1，2 1， 3 3，10 ，1，21 ，0，2 0 ， 1，2 0 A.5 B.2 C.3 D.4 3、下列说法：空集没有子集；任何集合至少有两个子集；空集是任何集合的真子 集；若A，则 A. 其中正确的有 ( ) A0 个B1 个C2 个D3 个 4、集合 a， b 的子集有 ( ) A1 个B2 个C. 3 个D. 4 个 4、已知集合xBxxA,2110x，则（） A.BAB. BA C. ABD. BA 5. 已知集合12 ,AxxBx xaAB若 ，
18、则实数a的取值范围是（） A. 2a B. 2a C. 2a D. 2a 6. 满足1,21,2,3,4,5X的集合X的个数是（） A8 B7 C6 D 4 7、已知集合Zk k xxA, 3 ，B Zk k xx, 6 ,则（） A. ABB. BA C.BAD. A与B关系不确定 8、满足Ma的集合,dcbaM共有（） A.6 个B.7 个C.8 个D.15 个 9、已知集axxBxxA,21，满足AB，则（） A. 2a B. 1a C.1aD. 2a 10、已知 13, 2, 1 2 aaM，3 , 1N,若aMNM则且,3的取值为（） A.1 B.4 C.-1 或-3 D.-4 或
19、1 11、集合 B a，b，c ，Ca，b，d ，集合 A满足 A? B，A? C.则集合 A的个数是 _ 12（ 1）集合 2 1,3,21 ,3,AmBm, 若BA，则实数m （ 2）已知 1,3,Am，集合3,4B,若BA, 则实数m （ 3）已知 2 |2530Mxxx，|1 Nx mx，若NM ，则适合条件的实 数m的集合P为；P的子集有个；P的非空真子集有个 13、设 1, 1, 3 , 1 2 aaBaA若BA，则a的取值为. 14、已知集合xBxxxA,51或4axa，若 BA，则实数 a的取 值范围是. 15. 判断正误 （1）空集没有子集（） （2）空集是任何一个集合的真子
20、集（） （3）任一集合必有两个或两个以上子集（） （4）若BA, 那么凡不属于集合A的元素，则必不属于B（） 16. 写出集合 , , , a b c d的子集 ,其中非空真子集有多少个？ 17. 已知, , , ,a bAa b c d e, 求满足条件的A 18. 非空数集1,2,3,4,5A, 满足若Aa，则Aa6的非空集合A有多少个 ?写出这 些集合 . 19. 判断如下A与B之间有怎样的包含或相等关系： （1）Ax x2k1，kZ ，Bx x2m 1，m Z ； （2）Ax x2m ，m Z，Bx x4n，nZ. 20、设集合axxxBxxA 2 ,0102，若BA，求a的值 21、
21、设集合22axaxA，B32xx. (1.)若AB，求实数a的取值范围 . (2).是否存在数a使AB? 22、已知集合BxxA,211,1aaxx （ 1）若AB，求实数a的取值范围； （ 2）若AB，求实数a的取值范围 23已知 95,4, 2, 2 xxARxa，aaxxB 2 , 3， 2 xC1 , 3) 1(xa. 求:(1).使,2B BA的xa,的值 ; (2).使的值的xaCB, 24. 子集综合题 （1）已知集合01|,06| 2 axxSxxxP, 若PS，求实数a的值； （2）已知集合01 2 axxxA，集合1,2B，且AB，求实数 a的取值范围； （3）已知集合 3
22、12 ,35AxaxaBxx，若BA，求a的范围 . 25. 集合25,121 AxxBx mxm， （1）当xZ时，求A的非空真子集的个数； （2）若AB，求实数m的取值范围 . 26、已知集合M x|x m 16，m Z，N x|x n213，nZ，Px|x p216，p Z ，请探求集合M 、N、P之间的关系 四、课后练习 1. 集合1,2,3的真子集共有（） A.5 个 B.6个 C.7个 D.8个 2. 满足条件1,2,3M 1,2,3,4,5,6的集合M的个数是（） A.5 个 B.6个 C.7个 D.8个 3. 已知|3,Ax xBx xa. （1）若BA，则a的取值范围是_. （2）若AB，则 a的取值范围是_. 4. 设集合 2 |8150,10Ax xxBx ax，若BA，则实数a组成的集合为 . 5. 设集合| 32,2121AxxBxkxk, 且 AB，则实数k的取值范围 为. 6、若集合NxxxM,06 2 0)(2(axxx，且NM,求实数a的值 7、已知集合41xxxA或，B32axax，若AB，求实数a的取 值范围 .