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1、教学过程 知识导入（进入美妙的世界啦） 单调性与最大（小）值（ 1） 一、课前准备 （预习教材P27 P30，找出疑惑之处） 1. 增函数 ,减函数的定义 2. 函数最大值 , 最小值定义 导入 (1)观察下列各个函数的图象. 探讨下列变化规律： 随 x 的增大， y 的值有什么变化？ 能否看出函数的最大、最小值？ (2)画出函数( )2f xx、 2 ( )f xx 的图象 . 二、新课导学 学习探究 探究一 ：单调性相关概念 思考 ：根据( )2f xx、 2 ( )(0)f xxx的图象进行讨论：随x 的增大，函数值怎样变化？ 问题 ：如何利用上述一次函数、二次函数，描述在什么区间函数的
2、增大或减小的性质？ 新知 ：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x1，x2，当 x1x2时， 都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是 增函数 （ increasing function ） . 试试 ：仿照增函数的定义说出减函数 的定义 . 新知 ：如果函数f(x)在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫 f(x)的单调区间 . 反思 ： 图象如何表示单调增、单调减？ 所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？ 函数 2 ( )f xx 的单调递增区间是，单调
3、递减区间是. 试试 ：如图，定义在-5,5 上的 f(x)，根据图象说出单调区间及单调性. 典型例题 例 1 根据下列函数的图象，指出它们的单调区间及单调性，并运用定义进行证明. （1）( )32f xx；（ 2） 1 ( )f x x . 变式 ：指出 ykxb 、(0) k yk x 的单调性 . 例 2 物理学中的玻意耳定律 k p V （ k 为正常数），告诉我们对于一定量的气体，当其体积V 增大时，压强p 如 何变化？试用单调性定义证明. 小结 ： 比较函数值的大小问题，运用比较法而变成判别代数式的符号； 证明函数单调性的步骤： 第一步：设x 1、 x2给定区间，且 x1x 2； 第
4、二步：计算f(x1)f(x2)至最简； 第三步：判断差的符号； 第四步：下结论. 动手试试 练 1.求证 1 ( )f xx x 的(0,1)上是减函数，在1,) 是增函数 . 练 2. 指出下列函数的单调区间及单调性. （1）( )|f xx ；（ 2） 3 ( )f xx . 探究二 ：函数最大（小）值的概念 思考 ：先完成下表， 函数最高点最低点 ( )23f xx ( )23f xx, 1,2x 2 ( )21f xxx 2 ( )21f xxx, 2,2x 讨论体现了函数值的什么特征？ 新知 ：设函数 y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足：对于任意的x I，都有 f(x)M
5、；存在 x0I，使得 f(x0) = M. 那么，称M 是函数 y=f(x)的最大值（ Maximum Value ）. 试试 ：仿照最大值定义，给出最小值（Minimum Value ）的定义 典型例题 例 1 一枚炮弹发射，炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是 2 1305htt ，那么什么时刻距离地面 的高度达到最大？最大是多少？ 例 2 求 3 2 y x 在区间 3，6上的最大值和最小值. 变式 ：求 3 ,3,6 2 x yx x 的最大值和最小值. 例 3. 已知 t 为常数，函数txxy2 2 在区间 0， 3上的最大值为2，则t 小结 ： 先按定义证明单调性，再应
6、用单调性得到最大（小）值. 三、总结提升 学习小结 1. 增函数、减函数、单调区间的定义； 2. 判断函数单调性的方法（图象法、定义法）. 3. 证明函数单调性的步骤：取值作差变形定号下结论. 4. 函数最大（小）值定义；. 5. 求函数最大（小）值的常用方法：配方法、图象法、单调法. 当堂检测 1. 函数 2 ( )2f xxx 的单调增区间是（） A. (,1 B. 1,) C. RD.不存在 2. 如果函数( )f xkxb 在 R 上单调递减，则（） A. 0kB. 0kC. 0bD. 0b 3. 在区间 (,0) 上为增函数的是（ ） A2yxB 2 y x C|yxD 2 yx 4
7、. 函数 3 1yx的单调性是. 5. 函数( )|2|f xx的单调递增区间是，单调递减区间是. 6. 函数 2 ( )2f xxx 的最大值是（）. A. 1 B. 0 C. 1 D. 2 7. 函数|1|2yx的最小值是（）. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 函数2yxx的最小值是（）. A. 0 B. 2 C. 4 D. 2 9. 已知函数( )f x 的图象关于y 轴对称， 且在区间 (,0) 上，当1x时，( )f x 有最小值 3，则在区间 (0,) 上， 当x时，( )f x 有最值为. 10. 函数 2 1, 1,2yxx的最大值为，最小值为. 课后作业 基础达
8、标 1函数 2 6yxx的减区间是（）. A . (,2B. 2,)C. 3,)D. (,3 2在区间（ 0，2）上是增函数的是（）. A. y=x+1 B. y=xC. y= x 24x5 D. y= 2 x 3二次函数 2 ( )2f xxaxb在区间 (，4)上是减函数，你能确定的是（）. A. 2aB. 2bC. 4aD. 4b 4函数( )f x的定义域为( , )a b，且对其内任意实数 12 ,xx均有： 1212 ()()()0xxf xf x，则( )f x 在( , )a b上是. （填“ 增函数” 或“ 减函数 ” 或“ 非单调函数 ” ） 5已知函数 f (x)= x
9、22x2，那么 f (1)，f (1)，f ( 3)之间的大小关系为. 6函数 4 2 y x 在区间3,6上是减函数，则 y 的最小值是（）. A . 1 B. 3 C. 2 D. 5 7函数 2 ( )2f xxaxa在区间(,1)上有最小值，则a的取值范围是（）. A1aB1aC1aD1a 8. 23 ( )1,0, 2 f xxxx已知函数的最大（小）值情况为（）. A. 有最大值 3 4 ，但无最小值B. 有最小值 3 4 ，有最大值 1 C. 有最小值 1，有最大值 19 4 D. 无最大值，也无最小值 9. 讨论 1 ( )f x xa 的单调性并证明. 10. 作出函数 2 2
10、3yxx的简图，研究当自变量x 在下列范围内取值时的最大值与最小值 （1）10x； （2） 03x； （3）(,)x. 能力提高 11若 2 ( )f xxbxc，且(1)0,(3)0ff. （1）求 b 与 c 的值；（ 2）试证明函数( )f x在区间 (2,)上是增函数 . 12已知函数 2 ( )2f xxx. （1）证明( )f x在1,)上是减函数 ;（2）当2,5x时，求( )f x的最大值和最小值 . 13若函数baxxxf|)( 2 在区间0 ,(上为减函数，则实数 a的取值范围是（ ） A.0a；B.1a； C.0a；D.1a 14. 求函数21yxx最小值 . 15 定义在 R 上的函数)(xfy，0)0(f，当 x 0时，1)(xf，且对任意的a、bR，有 f （ a+b） =f （a） f （b）. （1）求证： f（0） =1； （2）求证：对任意的xR，恒有 f（x） 0； （3）求证： f（x）是 R 上的增函数； 16 已知函数 x axx xf 2 )( 2 )., 1, x (1)当 2 1 a 时，求函数)(xf的最小值； (2) 若对任意1,),( )0xf x恒成立 , 试求实数a的取值范围。