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1、集合的基本运算 一、知识概念 1、并集的定义 （1）并集定义的三种语言 文字语言： 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫做A 与 B 的并集， 记 作 AB 符号语言： AB=x| xA,或 xB 图形语言： （2）正确理解文字语言表达式中的“或”字和概念中的“所有”二字. 【要点辨析】并集中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是 只取其一，并不兼存；而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互相排斥的，“x A, 或 xB”包括下列三种情况：a、xA，但 xB；b、xA,但 xB；c、xA且 xB.用 Venn 图表示这三种情况如下图： 对概念中的“所有”的理
2、解，不能认为AB 是由 A 的所有元素和B 的所有元素组 成的集合，即简单拼凑，要满足集合中元素的互异性，相同的元素即A 与 B 的公共元素只 能算作并集中的一个元素.例如， A=1,2,3 ，B=1,3,5,7 ，AB=1,2,3,5,7 ，而不能写成A B=1,2,3,1,3,5,7 （3）求 AB 必须掌握两个步骤 “AB”是所有属于A 或属于 B 的元素并在一起构成的集合，因此：把集合A、B 的元素合在一起； 使 A、 B 的公共元素在并集中只出现一次即可，如： 已知 A=a, b, c, d, e ， B=b, c, d, e, f ，求 AB，则 AB=a, b, c, d, e
3、b, c, d, e, f =a, b, c, d, e, f 。 A B AB A B xA，xB xA,x B x A且 x B 2、交集的定义 交集有如下三种表示方法： 文字语言：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与 B 的交集，记作AB（读作“ A 交 B” ） 符号语言： AB=x| xA ，且 xB 图形语言： 【要点辨析】 （1）交集中的“且”指的是用“且”连接的几个条件必须同时满足. （2）对于“ BxAx|x，且BA ” ，不能仅认为“BA中的任意元素都是A 与 B 的公共元素”， 同时还表示 “集合 A 与 B 的公共元素都属于BA” .这就
4、是定义中 “所 有”二字的含义， 而不是 “部分” 公共元素 .如 A=1,2,3,4 ，B=2,3,4,5 ，则BA=2,3,4 ， 即 2BA，3BA，4BA. （3）当集合A 与 B 没有公共元素时，不能说A 与 B 没有交集，而是BA. 3、补集的概念 （1）全集 一般地， 如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为 全集，通常记作. （2）补集 补集有如下三种表示形式： 文字语言： 对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合 相对于全集的补集，记作ACU 符号语言： ACU x | x且 x 图形语言： 【要点辨析】 （1）补集既是集合间的
5、一种关系，同时也是集合之间的一种运算.求集合 A 的 补集的前提是“A 是全集 U 的子集”，集合 A 其实是给定的条件. A B A(B) A B B A B A （2）补集ACU是针对给定集合A 和 U（UA）相对而言的一个概念，一个确定的集合 A， 对于不同的集合U， 它的补集不同.如： 集合 A= 正方形 ， 当集合 U= 菱形 时，ACU= 一 个内角不等于 90的菱形 ，而当集合U= 矩形 时，ACU= 邻边不相等的矩形. （3）ACU表示 U 为全集时 A 的补集， 如果全集换成其他集合（如 Z 时） ，则符号中的 “U” 必须换成相应的集合（即ACZ）. （4） 若 xU，UA
6、， 则ACxAx U ，且， 或AxACx U ，且，如 U=1,2,3,4,5 ， A=1,2,3 ，则有ACA U 22，且或AACU55，且 4、集合的运算性质与应用 （1）并集的性质 两个集合的并集满足交换律，即AB= B A； 一个集合与其本身的并集是本身，即AA=A ； 一个集合与空集的并集是其本身，即A=A； 一个集合是其与任意一个集合的并集的子集，即)()(BABBAA，； AB=ABABAB. （2）交集的性质 两个集合的交集满足交换律，即AB= B A； 一个集合与其本身的交集是本身，即AA=A ； 一个集合与空集的交集是其空集，即A=； 一个集合是同它的子集的交集的等于其
7、子集，即若BA，则 AB= A ； 两个集合的交集是其中任一集合的子集，即BBAABA,. （3）全集与补集的性质 一个集合与其补集的并集是全集，即AACU =U； 一个集合与其补集的交集是空集，即AACU = 一个集合的补集的补集是其本身，即)(ACC Uu =A ； 空集的补集是全集，即：UCU 全集的补集是空集，即 U C. 5、补集的求法 从全集 U 中去掉所有属于A 的元素，剩下的元素组成的集合即为A 在 U 中的补集 .如 已知 U=a, b, c, d, e, f ,A=b,f，求ACU .该题中显然UA，从 U 中出去子集A 的元素 b, f，剩下的元素a, c, d, e组成
8、的集合为ACU=a, c, d, e. 另外，原题若是无限集，在实数范 围内求补集，我们则可以充分利用数轴的直观性来求解.如已知 U=R，A=x|x3 ，求 ACU. 用数轴表示下图可知ACU =x| x3，用下图A 部分（包括3）表示： A 3 0 【例】不等式组 063 012 x x 的解集为A，UR，试求 A及 ACU ，并把他们分别表示在 数轴上 . 【解】A=063012xx，且=2 2 1 |xx，2, 2 1 |xxxACU 或， 在数轴上分别表示如下图： 0 0.5 2x0 0.5 2x 6、求集合中元素的个数 用 card 来表示有限集合A 中元素的个数， 记作 card
9、（ A） ， 如集合 A=0,1,2,5, 则 card(A)=4. (1)若用card(A),card(B) 分别表示任意两个有限集合A,B的元素个数，则有card(A B)=card(A)+card(B)-card(A B). 由图 1-1-3-4（1）可知 AB 的元素个数在card（A）和 card(B)中均计数一次，因而在 card(A)+card(B) 中计数两次，所以card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB). 两种重要变形： card(A)+card(B)=card(A B)+card(A B)； card(AB)=card(A)+card(B)-car
10、d(A B). (2)同理可得，对任意三个有限集合A,B,C, 则有 card(ABC) =card(A)+card(B)+card(C)-card(AB)-card(A C)-card(B C)+card(A BC).此公式可画 Venn 图来进行解释。 7、集合运算中的数形结合 （1）要善于用图示法来解决集合的交、并、补的运算问题.要注意的是ACUB、BCU A 等在图示法中的表示。 （2）要善于运用数轴处理有关不等式给出的数集的交、并、补的运算. 例如，集合M=x|-1 x7，S=x|k+1 x2k-1 ,若 MS，求 k 的取值范围 . 集合 M 用数轴表示如图 又 MS,若 S=，则
11、 k+12k-1, 即 k0，故所求的取值范围是0a|a. M -1 7 9、关注集合中的创新试题 集合中的创新试题是在已有集合知识的基础上，引出新的定义、运算符号，或条件、结 论开放的题型 .这类题目能很好地考查同学们的阅读能力、数学语言的转化能力及创新意识. 【例】设M、 P 是两个非空集合，定义M 与 P 的差集为M-P=PxMxx且,|，则 M- （M-P ）= 【解析】当PM时， M-P 为下图中阴影部分，则M-（M-P）显然是M P. 当PM时， M-P=M ，此时有M-（ M-P）= M-M=MxMxx且,|= M P. 10、集合运算的几个常见误区 （1）混淆元素含义 【例】设
12、, 1| 2 RxxyyA，,1|RxxyyB，则 A B=（ ） A 1|yyB 1,2 C （0,1） ， （1,2） D 【错解】由 1 1 2 xy xy 得 2 1 1 0 y x y x 或，故选 C 【错因分析】集合A 、 B 中的代表元素都是y，即表示两个函数值的集合，而 1|yyA，|RyyB，故 1|yyBA，要注意区分清楚题目中药求的 是什么量，以及集合中的元素含义. 【正解】 A （2）忽视元素互异性 【例】设21 ,1 ,1aaA，bb,1, 2 B，若 A=B ，求 b 的值 . 【错解】 A=B ， ba ba ba ba 21 1 21 1 2 2 或，解得 2
13、 1 4 3 1 0 b a b a 或 综上所述， 2 1 1bb或 【错因分析】 当 b=1 时，B 中策元素是1，这与集合互异性矛盾，应舍去， 所以 2 1 b MP 【正解】由错解知 2 1 1bb或，经检验b=1 不合题意，故 2 1 b. （3）忽视空集特殊性 【例】已知集合Rx0,1p)x(2x 2 A，BAB且 0x|x， 求实数 p 的取值范围 . 【错解】 由BA可知， 方程01p)x(2x 2 有非正实根， 又常数项不为0， 所以原方程只有负根，所以 0)2( 04)2( 2 p p ，解得 p0. 【错因分析】该解法忽略了对集合A的讨论，误认为集合A是非空集合 . 【正
14、解】若A，则方程01p)x(2x 2 有非正实根，又常数项不为0，所以 原方程只有负根.所以04)2( 2 p，解得 -4-4. 二、典例归纳 考点一：两个集合并集与交集的含义的理解，两个简单集合的交、并运算（选 择题） 【例 1】若集合A=1,3,x ，B=1 ， 2 x，AB=1,3 ， x ，则满足条件的实数x 有（） A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 【例 2】已知集合M=-35 ，则 M N=（ ） A. x|x-3 B x|-55 【例 3】若集合M=-1,0,1 ，N=0,1,2 ，则 M N=（ ） A=0 ，1 B=-1 ，0，1 C=0 ，1，2 D=-1 ，0，1
15、，2 【例 4】若集合0| 2 xxxA，B=x|00,B=x|-1x2,则 AB=（ ） A x|x-1 B x|x2 C x|00,T=x|3x-52 【例 3】设全集U=2,3 ，32 2 aa，A=|2a-1| ， 2，ACU=5 ，求实数a 的值 . 【变式 1】已知全集U=1,2,3,4,5 ，A=1,3 ， B=3,4 ，5 ，则集合)(BACU =（ ） A 3 B 4,5 C 3,4,5 D 1,2,4,5 【变式 2】已知全集U=1 ，2，3，4， 5,集合 A=023| 2 xxx ，B=x|x=2a, aA， 则集合)(AUBCU中元素的个数为（） A 1 B 2 C
16、3 D 4 【变式 3】如果 Sx N|x6，A1,2,3 ，B2,4,5 ，那么 ( SA) (SB) 【变式 4】设全集U=x| x4，集合 A=x|-25 ，若 AB ? ，求 a 的取值范围 26. 设 U是一个全集， A 、B为 U的两个子集， 试用阴影线在图甲和图乙中分别标出下列集合. u()()ABABuAB 27. 若 2 50,Ux xxN, u 1,6MN,M u 2,3N, u 0,4MN， 求M和N. 28. 已知 2 ,120,UR Ax xpxxN, 2 50,Bx xxqxN, 且(u)2AB,(Au)4B, 求pq的值 . 29. 已知1,2,3,4,5,6,7
17、,8,UAu1,8B,u2,6AB,uAuB4,7, 求集 合A 30. 某班有 36 名同学参加数学、 物理、化学课外探究小组， 每名同学至多参加两个小组已 知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6 人，同时参加物理和化学小组的有4 人，则同时参加数学和化学小组的有多少人？ 四、课后练习 1. 已知集合8 , 7, 3,9 ,6 , 3, 1,5 ,4, 3, 2, 1 ,0CBA，则CBA)(等于（） A.0,1,2,6 B.3,7,8, C.1,3,7,8 D.1,3,6,7,8 2. 设集合xA, 4, 1， 2 , 1 xB，且1,4,AB
18、x，则满足条件的实数x的个数是 （） A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个 3. 集合A含有 10 个元素，集合B含有 8 个元素，集合AB含有 3 个元素，则集合AB 的元素个数为（） A.10 个 B.8个 C.18个 D.15个 4. 设 2 150,Ax xpxxZ , 2 50,Bx xxqxZ , 若2,3,5AB, 则AB、分别为（） A.3 ，5 、2 ， 3 B.2，3、 3 ，5 C.2 ，5 、3 ， 5 D.3，5、 2 ，5 5. 已知集合MP、满足MPM，则一定有（） A.PMB.PM C.MPM D.PM 6. 设1,2,3,4,5,U A、B 为U的子集，若
19、2AB,u4AB,uAuB1,5， 则下列结论正确的是（） A.3,3ABB.3,3AB C.3,3ABD.3,3AB 7. 全 集,|),(RyxyxU, 1 2 3 |),( x y yxM, 1|),(xyyxN, 那 么 7MuN=（） A. B.(2,3) C.(2,3) D. 1| ),(xyyx 8. 集合, 6 1 |ZmmxxM, 3 1 2 |Zn n xxN, Pxx | 2 p , 6 1 Zp，则MNP、的关系为（） A.NMP B.MPN C.MNP D.NPM 9. 下列命题之中,U为全集时，不正确的是（） A若AB=, 则uA uBU B若AB=, 则A=或B= C若ABU, 则uA uB D若AB=, 则BA 10. 集合 2 1My yx, 2 5Nt tx, 则MN=_ 11. 已知集合 1,1,1ABx mx , 且ABA, 则m的值为 12. 若 2 3100Ax xx,33Bxx, 全 集UR, 则(A u )B =_ 13. 已 知 全 集UR, 14 2 xxyyA, 52 2 xxyyB, 求BA与 uBA. 14. 集合 Sx|x 10，且 xN * ，AS，BS，且 AB4,5 ， (SB)A1,2,3 ， (SA)(SB)6,7,8 ，求集合A 和 B