初中小学数列找规律方法和题解.doc

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1、初中、小学数列找规律方法与题解江苏省泗阳县李口中学 沈正中 拟编解答在初中、小学数学的一些赛题中,经常会出现数列找规律的问题,数列的题型多种多样,遵循的规律也各不相同,寻找规律的方法也非常灵活,下面举几例常见的题型探索一下,方法和解题思路。1、等差数列(1)、等差数列:相邻两数的后一个数与前一个数差相等的数列叫等差数列。在等差数列中,第n个数可以表示为:a na1(n1) d,其中a1为数列的第一个数,d为后一个数与前一个数的差。【例1】在括号内填上所缺的数:4、10、16、22、28、34、()、。【解析】:因相邻两数的后一个数与前一个数差为6,所以第n个数是:a na1(n1) d,故a

2、74(71)640,即括号内应为40。(2)、“相邻两数的增加(或减少)值为等差数列”的数列。这种数列第n个数也有一种通用求法。基本思路是:求出数列的第n1个到第n个的增加(或减少)值 (a 2a 1)(n2) d,则第n个数是a na n1(a 2a 1)(n2) d。【例2】在括号内填上所缺的数:3、7、15、27、()、。【解析】:因数列的增加值分别为:4、8、12、16、,增加值为等差数列。所以第n个数是:a na n1(a 2a 1)(n2) d,故a527(73)(52)443,即括号内应为43。这是通用解法,当然此题用分析观察的方法求出。2、等比数列(1)、等比数列:相邻两数的后

3、一个数与前一个数的比值相等的数列叫等比数列。在等比数列中,第n个数可以表示为:a na1q n1,其中a1为数列的第一个数,q为后一个数与前一个数的比值。【例3】在括号内填上所缺的数:2、6、18、54、162、()、。【解析】:因邻两数的后一个数与前一个数的比值为3,所以第n个数是:a na1q n1,故a523 61486,即括号内应为486。(2)、“相邻两数的增加(或减少)值为等比数列”的数列。这种数列第n个数也有一种通用求法。基本思路是:求出数列的第n1个到第n个的增加(或减少)值 (a 2a 1) q n2,则第n个数是a na n1(a 2a 1) q n2。【例4】在括号内填上

4、所缺的数:3、5、9、17、33、()、。【解析】:因数列的增加值分别为:2、4、8、16、32、,增加值为等比数列。所以第n个数是:a na n1(a 2a 1) q n2,故a633(53)26265,即括号内应为65。这是通用解法,当然此题用分析观察的方法求出。3、其它的数列(非等差、等比数列)只有用分析、观察和一些技巧的方法。【例5】在括号内填上所缺的数:2、2、4、4、6、8、8、16、()、。【解析】:这个数列由等差数列2、4、6、8、 在前,等比数列2、4、8、16、 在后组成的交错数列,所以括号内应为10。【例6】在括号内填上所缺的数:1、3、2、5、3、7、4、9、()、。【

5、解析】:这个数列由自然数列1、2、3、4、 ,在相邻两数之间插入这两个数的和组成的,所以括号内应为5。【例7】在括号内填上所缺的数:0、0、1、2、6、3、4、()、5、。【解析】:这个数列由新规定自然数列0、1、2、3、4、5、 ,从0开始向右依次两两一组,在每组中间插入这两个数的积组成的,所以括号内应为20。【例8】在括号内填上所缺的数:0、3、8、15、24、()、。【解析】:容易发现,已知数列的每一项,都等于它的项数的平方减1。因此,第n个数是:a nn21,故a662135,即括号内应为35。类似题有:a nn21、a nn22等。【例9】在括号内填上所缺的数:1、9、25、49、(

6、解析】:观察发现,已知数列的各项,依次对应于1、3、5、7、 的平方,即第n个数是:a n(2n1)2,故a5(251)281,即括号内应为81。类似题有:a n(2n1)2、a n(2n1)2 等。【例10】在括号内填上所缺的数:2、9、28、65、()、。【解析】:观察发现,已知数列的各项,依次对应于项数的三次方加1,即第n个数是:a nn31,故a5531126,即括号内应为126。类似题有:a nn31、a nn32 等。【例11】在括号内填上所缺的数:4、16、36、64、100、()、。【解析】:观察发现,已知数列的每一项,都等于它的项数2倍的平方。所以第n个数是:a n(

7、2n)2,故a6(26)2144,即括号内应为144。类似题有:a n(3n)2 等。【例12】在括号内填上所缺的数:0、6、16、30、48、()、。【解析】:观察发现,各项除以2,得0、3、8、15、24、,而这个数列的每一项,都等于它的项数的平方减1。所以原数列的第n个数是:a n2(n21),故a62(621)70,即括号内应为70。类似题有:a n2(n21)、a n3(n21)等。【例13】在括号内填上所缺的数:5,7,11,19,35,67、()、。【解析】:观察发现,后一项减前一项,得4、4、8、16、32、,由此可看出原数列从第二项起,后一项等于前一项加2的(n1)次方。所以

8、原数列的第n个数是:a na n12 n1,故a7672 6199,即括号内应为99。类似题有:a na n12 n1。【例14】在括号内填上所缺的数:1、2、4、7、11、16、22、29、()、。【解析】:观察发现,相邻两数依次相差:1、2、3、4、5、6,、,所以第n个数是:a na n1n1,故a929837,即括号内应为37。类似题有:a na n1n1等。【例14】在括号内填上所缺的数:2、5、10、17、26、37、50、()、。【解析】:观察发现,相邻两数依次相差:3、5、7、9、,所以第n个数是:a na n12n1,故a8501565,即括号内应为65。类似题有:a na

9、n12n1等。【例15】在括号内填上所缺的数:8、12、16、20、24、()、。【解析】:仔细观察发现,依次是项数加1后乘以4所得数列,或原数列是数列9、16、25、36、49、 减去数列1、4、9、16、25、对应项所得差组成,这两种说法实质上是一样的。所以第n个数是:a n4(n1)(n2)2n2,故a64(61)28,即括号内应为28。常见的还有以下规律: a nn(3n2)a n2 n11a nn(n1)a n2 n1a nn(n+1)(n+2)/3 a nn(n+1)/2;项数依次3、1循环: 1、4、3、6、5、8、7、 后一项等于前两项和:1、 1、 2、3、5、 8、 奇数项1、2、3、4、5、 与偶数项2、4、8、16、 交错组合:1、2、2、4、3、8、4、16、5、奇数项:2、4、6、8、 与偶数项:1、3、9、27、交错组合:2、1、4、3、6、9、 8、 27、 10、分组数列n、3n、5n:1、3、5、2、6、10、3、9、15、。总之,数列规律的类型是千变万化的,有的是所给数字间有规律,有的是隔一个数字间有规律。还有的是相邻两个数字之间地差呈某种规律。规律可能有同加同减同乘一个数或一个数列,或者平方等。小学的找规律很简单,只有加、减、乘、除类型,不会有平方或多次方等类型。中学的稍微难一些,又在平方的基础上加上了平方或多次方等。

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