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1、第十九章 四边形 本章小结 小结 1 本章概述 本章通过学习平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的定 义、性质及判定， 了解它们之间的关系，并能灵活运用它们的性质和 判定解决一些计算问题和实际问题. 同时，本章探索并了解了有关三 角形中位线、梯形中位线的相关知识 小结 2 本章学习重难点 【本章重点】掌握并会灵活运用平行四边形的定义、 性质及判定； 会灵活应用平行四边形及特殊平行四边形的相关知识解决一些简单 的实际问题；掌握梯形及等腰梯形的定义、性质及判定，并会灵活运 用；理解并掌握三角形中位线、梯形中位线的定义及性质，会应用它 们解决一些计算及实际问题. 【本章难点】掌握平行四边形、矩形
2、、菱形、正方形、等腰梯形 的性质及判定条件， 以及它们之间存在的联系与区别，会应用三角形 中位线、梯形中位线解决一些简单问题. 【学习本章应注意的问题】 通过设立问题情境， 主动探索和自觉 总结四边形的相关性质， 掌握四边形的性质； 同时要熟识几种特殊四 边形的判定， 掌握转化思想在本章中的应用，如将梯形问题转化为三 角形和平行四边形问题来解决. 小结 3 中考透视 中考关于四边形的考题大多结合三角形知识进行考查，而平行四 边形的性质是证明两条直线平行、线段相等及角相等的依据.另外关 于平行四边形的面积及周长、 对称性也常出现在中考题中， 这类题有 填空题、选择题、计算题和证明题，深刻理解和牢
3、记多边形、平行四 边形的性质和判定是关键和前提 知识网络结构图 专题总结及应用 一、知识性专题 专题 1 平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念及 性质 【专题解读 】围绕平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯 形的概念及性质进行命题. 例1 下列说法错误的是 ( ) A.平行四边形的对角相等 B.等腰梯形的对角线相等 C.两条对角线相等的平行四边形是矩形 D.对角线互相垂直的四边形是菱形 分析由平行四边形、矩形、等腰梯形的性质可以发现A，B， C 都是正确的 .D 不正确，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，还 可能是正方形或等腰梯形. 答案： D 【解题策略】对角线互相垂直的四边形
4、不一定对角线互相平分. 例 2 如图 19-125 所示，在梯形 ABCD 中， ABCD，E 为 BC 的中点，设 DEA 的面积为 1 S，梯形 ABCD 的面积为 2 S，则 1 S与 2 S的关系 为. 分析由 E 为 BC 的中点，延长 DE 与 AB 的延长线交于点F， 由 CDAB，得CEBF，又因为,CEDBEF CEBE所以 CED BEF，所以 DE=EF，所以 S菱形 ABCD= S DAF.由等底等高的三角形面 积相等，得 1 S= S AFE= 2 1 2 S，即 12 1 2 SS或 12 2SS. 答案： 12 1 2 SS（或 12 2SS） 【解题策略】 根据
5、三角形面积公式， 当同底三角形的高相等式相 同时，可以考虑由底的关系确定三角形的面积之间的关系. 例 3 如图 19-126 所示， ABCD 是正方形， G 是 BC 上一点，DEAG于点 E，BFAG于点 F. （1）求证 ABFDAE； （2）求证DEEFFB. 分析（1）根据正方形的性质证明全等的条件.（2）由全等和 ,DEAF AEBF，则问题可证 . 证明： （1）在正方形 ABCD 中，,90ABADBAD 1290. ,DEAG2390，13. 又 ,B FA G90 ,AFBDEA ABF DAE （AAS）. （2）由（ 1）可知 ABFDAE，,DEAF BFAE ,DE
6、AFAEEFBFEF即DEEFFB. 专题 2 平行四边形（含特殊的平行四边形）的判定与性质之 间的区别与联系 【专题解读 】 围绕平行四边形（含特殊的平行四边形）的判定 与性质综合应用命题 . 例 4 如图19-127 所示，将一张矩形纸片 ABCD 沿着 GF 折叠（F 在 BC 边上，不与 B，C 重 合） ，使得 C 点落在矩形 ABCD 的内部点 E 处，FH 平分BFE，则GFH的度数 a 满足（） A.90a180 B.a=90 C.0a90 D.a 随关折痕位置的变化而变化 分析利用矩形的性质和三角形全等的性质解答本题.由 GCF GEF得GFCEFG， 又 有EFHB， 所
7、以 1 1 8 09 0, 2 GFH所以90a. 答案： B 例 5 如果菱形的一条对角线长是12 ，面积是 30 2 cm，那么这 个菱形的另一条对角线长为. 分析由于菱形的对角线互相垂直， 所以菱形的面积可以用两条 对角线乘积的一半表示，故另一条对角线的长为 302 5 12 （） . 答案： 5 例 6 如图 19-128所示，ABCD的周长为 16 ，AC，BD相交于点O，OEAC，交AD 于点E，则的DCE周长为 （） A.4 B.6 C.8 D.10 分 析因 为 A B C D的 周 长 为 16 ，,ADBC ABCD所 以 1 1 68 2 A DC D（） ，因为O为AC
8、的中点，又因为OEAC于点O， 所以AE，所以DCE的周长为 8DCDECEDCDEAEDCAD（） . 答案： C 二、规律方法专题 专题 3 构造中位线解决线段的倍分关系 【专题解读 】 题目中涉及 1 2 或 2 倍关系时，常常考虑构造中位 线. 例 7 四边形 ABCD 为平行四边形，,ADa BEAC，DE 交 AC 的延长线于 F 点，交 BE 于 E 点. （1）求证 ;DFFE （2）若2,60 ,ACFCADCACDC求 BE 的长； （3）在（2）的条件下，求四边形ABED 的 面积. 证明： （1）如图 19-129 所示，延长 DC 交 BE 于点 M， BEAC，AB
9、DC， 四边形ABMC是平行四边形 . ,CMABDCC为DM的中点 . BEAC，CF是DME 的中位线， DFFE. 解： （2）由（1）得CF是 DME 的中位线，故2MECF. 又 2,ACCFMEAC. 四边形ABMC是平行四边形，BMAC. 222BEBMMEAC. 又,60ACDCADC， 在 RtADC 中，利用勾股定理得 3 2 ACa. 3BEa. （3）可将四边形ABED的面积分为梯形ABMD和三角形DME 两部分 . 在 RtADC 中利用勾股定理得 2 a DC. 由 CF 为 DME 的中位线得 2 a CMDC. 22 aa DMOCCMa. 由四边形ABMC是平
10、行四边形得 3 , 22 a ABMCBMACa. 梯形ABMD的面积为 2 313 3 2228 aa aa. 由AC DC和BEAC，得三角形 DME 是直角三角形， 其面积为 2 133 224 aa a， 四边形 ABED 的面积为 22 23 335 3 848 aa a. 专题 4 构造平行四边形解决线段相等、角相等的问题 【专题解读 】 利用平行四边形边、角的性质可以解决有关线段 相等、角相等的问题 . 例 8 如图19-130 所示，在ABCD中， 2,ABBC M是 DC 的中点，,BEADE 是垂足， 求证 3EMCDEM. 分析添加辅助线 MN， 交 BE 于 F.N 为
11、 AB 中点，由已知条件证得DEMEMN.由三角形中位数性质证得 ,BFEF MFBE则1EMF，又由四边形BCMN 是菱形，证得 12，从而结论得证 . 证明： 取 AB的中点 N，连接 MN，MB.MN 交 EB 于 F. 因为四边形 ABCD 是平行四边形， 所以 ABDC. 又 M，N 分别是 DC，AB 的中点， 所以 DMAN，MCNB， 即四边形 ANMD 和四边形 MNBC 都是平行四边形 . 所以DEMEMF. 因为 N 是 AB 中点， NFAE， 所以 F 是 BE 的中点. 又BE AD，所以,1MFBEEMF， 因为 MC=BC，所以BCMN是菱形， 所以12，即123EMCEMFDEM. 【解题策略】证明角的和、差、倍、分关系时，应依据题目的背 景经观察分析后适当添加辅助线，把较大角分割成若干较小角， 最终 归结到证明两个角相等的途径上以解决问题.本题添加辅助线MN， MB 后，利用菱形对角线性质及等腰三角形三线合一的性质证明有关 角相等，从而解决问题 . 专题 5 有关四边形的性质与判定的开方探索题 【专题解读 】 这类题分为条件开放、结论开放、条件和结论双 开放三种类型 .