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1、西安交通大学 2006 年线形代数本科期末试卷A 课 程 线性代数与解析几何（A 卷） 系别考 试 日 期 2006 年 1 月 8 日 专业班号 姓名学 号期中期末 说明:指方阵的行列式 ,指方阵的伴随矩阵 ,指矩阵的秩, 指矩阵的转置矩阵 , 为单位矩阵 . 指实数域上的二阶实方阵全体 按通常矩阵的运算构成的线性空间. 题号一二三四五六七八九 得分 一、填空题 (每小题 3 分,共 12 分) (1). 若向量组线性相关 ,则常数 = . (2). 若矩阵的伴随矩阵,则= . (3). 已知为 3 维向量 , ,则= . (4). 已知是齐次线性方程组的基础解系 ,则向量组 也可作为的基础
2、解系的充要条件是 常数满足条件 . 二、单项选择题 (每小题 3 分,共 12 分) (1). 设矩阵,则【】 (A) 为正交矩阵 . (B) 为正交矩阵 . (C) . (D) . (2). 已知矩阵相似于对角矩阵,则等于【】 (A) 0. (B) 2. (C) - 2. (D) 6. (3). 设矩阵的伴随矩阵的秩为 1,则【】 (A) . (B) 且. (C) . (D) 且. (4).的子空间的维数是【】 (A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4. 三、(12 分) 设 3 阶方阵、满足, (1) 证明矩阵可逆; (2) 当时,求. 四、(13 分) 、取何值时 ,线性方程
3、组 有唯一解、无解、有无穷多解?并在有无穷多解时 ,求出方程组的结构式通解 . 五、(12 分)两直线与是否共面？若共面，求它 们所确定平面的一般式方程. 六、(12 分) 设 3 阶矩阵的特征值为,是依次对应的特征向量， 设方阵，求的特征值、特征向量及 . 七、 (13 分) 设矩阵, (1) 写出二次型的矩阵; (2) 求一个正交矩阵,使成对角矩阵 ; (3) 写出在正交变换下化成的标准形 . 八、(8 分) (注意:学习过第 8 章“线性变换”者做第 (2)题,其余同学做第 (1)题) (1) 设的子空间由向量组 生成,求 的基与维数 . (2) 设为 3 维线性空间的基,上的线性算子在该基下的矩阵 为,求的值域的基与维数、的核的基. 九、(6 分) 设、均为阶正定矩阵 .证明:关于的方程的根全 大于零 .