1、效列求和的方法教学目标1 .熟练掌握等差、等比数列的前项和公式.2 .掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.3 .能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.教学内容知识梳理1.求数列的前项和的方法(1)公式法等差数列的前项和公式S-幽山=W+也必22等比数列的前项和公式(I)当q=l时，Slt=M;(11)当产1时，S尸乳=守.-qIq常见的数列的前n项和：1+2+3+n=心包,1+3+5+(2n-l)=22122232+n2=M+D(2D,13+2s+33+/=型刊T等6L2_(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，
2、再求解.(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾假设干项.(4)倒序相加法这是推导等差数列前项和时所用的方法，将一个数列倒过来排序，如果原数列相加时，假设有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，那么这样的数列可用倒序相加法求和.(5)错位相减法这是推导等比数列的前项和公式时所用的方法，主要用于求m4的前项和，其中斯和儿分别是等差数列和等比数列.(6)并项求和法一个数列的前项和中，可两两结合求解，那么称之为并项求和.形如知=(Iy力I)类型，可采用两项合并求解.例如，Sn=1002-992+982-972+22-l2=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5050.2
3、常见的裂项公式,八1而产一布；就VMh(3)(2n-lX2n+l)=T-51 =111()伍+1)(+2)2n(n+1)(+1)(+2)(5)班+扁).设等差数列词的公差为那么就4一)数列求和题型考点一公式法求和1 .(2016新课标全国I)“是公差为3的等差数列，数列九满足b=l,Z?2=|，a,bn+1+bll+1=nbn.(1)求”的通项公式；(2)求仇的前项和.2 .(2013新课标全国11,17)等差数列优的公差不为零，0=25,且s，即，03成等比数列.(1)求知的通项公式；(2)求0+4+7+。3-2-变式训练1 .(2015四川，16)设数列m(=l,2,3,)的前项和S满足
4、5二2小一外，且。1，敢+1，6成等差数列.(1)求数列斯的通项公式；(2)设数列岗的前n项和为Tnf求Tn.2 .(2014福建，17)在等比数列斯中，例=3,的=81.求an；(2)设瓦=IogMn,求数列瓦的前n项和Sn.考点二错位相减法1 .(山东)数列6的前项和S产32+8，是等差数列，且%(I)求数列的通项公式；(II)令C=(；.求数列q的前项和2 .(2015天津，18)数列。满足4+2=”0为实数，且行1),“WN,=l,a=2f且例+的，6+以，s+的成等差数列.(1)求q的值和的通项公式；(2)设仇=122巴N*,求数列儿的前项和.(Aln-变式训练1 .（2014.江西
5、17）首项都是1的两个数列,九（儿0,N）满足生+1-研也+M+也=0.令Cn=并求数列C的通项公式；（2）假设bn=3n-lt求数列m的前项和Sn.2 .（2014四川，19）设等差数列斯的公差为d,点（即，为）在函数段）=2，的图象上5N）.假设0=2,点（俏，46）在函数/）的图象上，求数列如的前项和S“；（2）假设m=l,函数人外的图象在点32,历）处的切线在X轴上的截距为2一6，求数歹fl的前项和北.3 .（2015湖北，18）设等差数列m的公差为d,前项和为S，等比数列与的公比为4，b=a,历=2,q=d,Sio=100.(1)求数列%,5的通项公式;(2)当d时，记cn=ii,
6、求数列金的前n项和Tn.4 .(2015山东，18)设数列&的前项和为S.2S=3+3.(1)求为的通项公式；(2)假设数列与满足a曲n=Kg3all,求加的前n项和Tn.5 .(2015浙江，17)数列斯和出满足0=2,b=l,如+产加6+/+/+，=1(N).求。与bn;(2)记数列斯瓦的前项和为义,求.6 .(2015湖南,19)设数列为的前项和为S”m=l,a2=2f且诙+2=3S-Szf+3,N.(1)证明：斯+2=3。”；求Sn.考点三分组求和法1 .(2015福建，17)在等差数列斯中，2=4,w+m=15.(1)求数列为的通项公式；(2)设设=22+，求Q+岳+岳+bo的值.2
7、 .(2014湖南，16)数列“的前项和S“=F,N.(1)求数列伍的通项公式；(2)设瓦=2%+(-l)rtn,求数列瓦的前2项和.变式训练1.(2014北京，15)%是等差数列，满足0=3,=12,数列瓦满足历=4,九=20,且仇一小为等比数列.(1)求数列m和仇的通项公式；(2)求数列儿的前项和.考点四裂项相消法1.(2015新课标全国I,17)S为数列小的前项和.an0,*+2%=4S+3.(1)求”的通项公式；(2)设儿求数列九的前项和.ClnCln+2.(2011新课标全国，17)等比数列优的各项均为正数，且2+3s=l,d=9a6.(1)求数列。”的通项公式；设bn=log3I+
8、Iog3n2.log3n,求数歹IJ假的前n项和.3.(2015安徽,18)数列%是递增的等比数列,且。1+g=9,42。3=8.(1)求数列斯的通项公式；(2)设S为数列为的前项和,b=黑J求数列d)的前。项和心.十I变式训练1.(2013江西，16)正项数列“满足：al-(2n-)af-2n=0.(1)求数列小的通项公式如；令%=、斯,求数列九的前项和Tn.2.(2013大纲全国，17)等差数列%中，7=4,。9=29.(1)求斯的通项公式；(2)设瓦=今，求数列屹的前项和S“.3.在数列小中，1=1,当22时，其前项和S满足忌=Z（Szt0.（1）求S的表达式；q（2）设为=BrP求仇的
9、前项和Tn.考点五倒序相加法函数段）=*R）.证明：危）+*-X）=/（2）假设S=/历器）+坛施）+人瑞3）,那么S变式训练1 .设段）=舟假设S=/（刀宗）+犬了条）+火瑞!），那么S=.考点六并项求和2 .（2012新课标，16）数列斯满足斯+|+（-1）“斯=2-1,那么斯的前60项和为.3 .(2014山东,19)在等差数列斯中，公差d=2,做是力与久的等比中项.(1)求数列他的通项公式；(2)设设=%(训，记0=-61+82-63+64-+(-1)%,“求心.变式训练1 .(2014山东理，19)等差数列斯的公差为2,前项和为&,且S,S2,S成等比数列.(1)求数列(。的通项公式
10、2)令儿=(一1)门一，求数列儿的前项和Tn.114?+12 .(2013湖南，15)设S”为数列小的前项和，工=(-1)%表“WN,那么:(1)3=;(2)S1S2.Sioo=.考点七数列%的前项和问题1.（2011北京，11）在等比数列小中，假设a1=*04=-4,那么公比4=；+2+.+M变式训练1.（2013浙江，19）在公差为d的等差数列m中，3=10,且,2他+2,5s成等比数列.求力an（2）假设d0f求|0|+同+|。3|+.+|。”|.考点八周期数列1.数列2008,20091，-2008,2009,，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，那么这个数列
11、的前2014项之和S20M等于（）A.2008B.2010C.1D.0变式训练l.（2012福建）数列zl的通项公式COS号，其前项和为S，那么S2012等于（）A.1006B.2012C.503D.0考点九数列与不等式的应用1 .（2014新课标全国11,17）数列%满足=Lan+=3an+l.卜10明明证证7 S)/0(2卜3是等比数列，并求斯的通项公式；+42.(2015浙江，20)数列j满足m=5且a+=a一片(N*).(1)证明：1N2(WN*);“+1(2)设数列届的前项和为S，证明：2(3)(Jh)(心)3.(2013江西，理)正项数列all的前项和arJ满足：一。/+一I)S“
12、一(/+/0=0(1)求数列af1的通项公式a。；(2)令=十1,数列1的前项和为。证明：对于任意的n,都有6(k+800?假设存在，求的最小值;假设不存在，说明理由.2 .(2013广东，19)设数列,J的前项和为SM=1,i=n+-n2-n,N*.求G的值；(2)求数列为的通项公式；(3)证明：对一切正整数，有+:+JWUlU2Cln4+3 .(2013天津，19)首项为方的等比数列诙的前项和为S.5N),且一2S2,S3,4S4成等差数列.求数列m的通项公式；(2)证明S1+t3WN*).4 .(2014.广东，19)设各项均为正数的数列0.的前项和为S”且S“满足&一(/+-3)Szi
13、3(M+)=0,N*.求S的值；(2)求数列斯的通项公式；证明：对一切正整数，有;7+;rr+;7r答案考点一公式法求和1.(2016新课标全国I)“是公差为3的等差数列，数列与满足b=l,b2=al,bn+bfl+l=nbn.(1)求”的通项公式；(2)求/%的前项和.31【答案】(I)att=3n-(II)-.”223,l【解析】试题分析：(I)用等差数列通项公式求；(II)求出通项，再利用等比数列求和公式来求。试题解析:由已知,32+2=,4=i也=指得她+3=4,4=1也=:得。1=2,所以数列4是苜项为2,公差为3的等差数列，通项公式为4=3n-l.(in由和见+如=也，得如=?，
14、因此是首项为b公比为;的等比数列.记包的前4项和为司，则S-*_31“11223-13考点：等差数列与等比数列2.(2013新课标全国H,17)等差数列的公差不为零，=25,且0，an,03成等比数列.(1)求为的通项公式；(2)求+w+m+32.解(1)设斯的公差为4由题意,山|=。1。13，即(+102),从而s=2,。3=22=4。1，又因为。1，。2+1，。3成等差数列,即。|+。3=2(2+1)，所以m+4=2(2+l),解得0=2,所以，数列斯是首项为2,公比为2的等比数列，故m二2.(2)由(1)得J=4，1乙所以A=T+*+.+1M11十2L1-12n,1-22.（2014福建
15、17）在等比数列斯中,。2=3,5=81.求an（2）设bn=Tg3%,求数列儿的前n项和S”.解（1）设小的公比为g,依题意得q=3,ci=14_O,解得一41夕一81,4一3.因此，an=3nl.(2)因为为=l0g3斯=-1，所以数列儿的前项和sll=-=考点二错位相减法1.（2015山东，理，18）数列生的前项和%=3M+8,是等差数列，且q,=+（I）求数列的通项公式;（II）令.=（+D”.求数列q的前项和小（4+2）【答案】（I）bn=3n+l.（II）7j=3h2m+2.【解析】试题分析：（I）根据4=Slt-Sn4及等差数列的通项公式求解；（11）根据（I）知数列c.的通项
16、公式,再用错位相减法求其前项和.试题解析：（I）由题意知当2时，4=5k-5z=6+5,当？1=1时，671=S1=11,所以4=6+5.设数列的公差为d,a=b1+b2H=21+dfa2=b2+b3,17=2+3t/可解得4=4,d=3,所以l=3+L(II)由(I)知,=时，记crt=2,求数列c的前n项和Tn.Un解(1)由题意有，1071+45J=100,.ad=2,(2+9d=20,d=2,解得W=20=1,bn = 2n-l(279),bn=9 (2)由 d 19 知 Cln = 2 - 1 f bn = 2故Cn =2一 12i于是7:j=1+H2-3 , 2n 12，2.一可得
17、I12-1C2+3/=2+/中+井一后一=3一后一,2+3故Tn=62一4.（2015山东,18）设数列为的前项和为*.2S=3+3（D求诙的通项公式；（2）假设数列仍满足ab=bg30”求儿的前项和Tn.解（1）因为2Sff=3+3,所以2m=3+3,故=3,当1时，2Sli=3+3,此时20zt=2S-2S,l=33r=2X3r,即。=3”，所以an=3,W=L3，n.(2)因为01=log301,所以历=/当1时，=3,log33n,=(-l)3,.所以Ti=Z?i=1;当1时，7:尸。1+历+加+b=4+(lX3+2X3?+(-1)X3),所以3A=1+(1X30+2X3+ST)X32
18、f),2两式相减，得27；=+(3+31+3-2+32-”)一51)乂321-3*n=3+1l-3-(-1)3,11l36+3所13_6+3-6-23,m2n-1243rt,经检验，”=1时也适合.综上可得5.(2015浙江，17)数列斯和瓦满足内=2,b=,z+二2,GN),b+3+bn=bn+-I(N).求知与儿；(2)记数列知小的前n项和为Tnf求Tn.解(1)由0=2,%+=2小,得知=2(N*).由题意知：当=1时，bl=b2l,故历=2.当论2时，尸儿+1一儿，整理得7=i.所以4=(N*).nr1n由知anbn=n2n.因此7:j=2+222+3-23+.+2m,27；=222-
19、23+324+.+n2n+,所以-27,h=2+22+23+.+2m-22m+1.故7;=(w-l)2rt+,+2(nN*).6.(2015湖南，19)设数列斯的前项和为S”m=La2=2f且4f+2=3SfSf+3,N二(1)证明：an+2=3an;求SZ证明由条件，对任意N,有a“+2=3S-Szl+3,因而对任意N,?2,有0j+i=3Sl-S+3.两式相减，得知+2一。“+1=3斯一。+”即a“+2=3a，2.又=l,。2=2,所以O3=3S-+3=3-(。1+。2)+3=3。1，故对一切N*,。+2=3。.解由知,an0,所以誓=3.于是数列是首项丁=1，公比为3等比数列；数列。2是
20、首项02=2,公比为3的等比数列.因此=23rt,.于是S2=。1+。2+。2=31+S+2-l)+(2+4+。2)=(l+3+.+3n-,)+2(l+3+.3n,)31)=3(1+3+.+31)=2.3(3w-1)_从而S2T=S2n-a2ft=2-2x31=(5311-2-1).1),当是奇数, 当是偶数.综上所述,考点三分组求和法l.(2015福建,17)在等差数列%中，s=4,47=15.(1)求数列念的通项公式；(2)设bn=2a,2+，求仇+左+加+加0的值.解(I)设等差数列小的公差为4,+d=4,由得(+3d)+(+6d)=15解得m=3, d=.所以a=ai+(-l)d=+2
21、2)由(D可得儿=2+，所以Zh+岳+&+bo=(2+1)+(22+2)+(2+3)+-+(210+10)=(2+2223.+2,0)+(l+2+3+.+10)2(12叫I(1+10)XlO=-2-+2=(21,-2)+55=2,1+53=2101.2.(2014湖南,16)数列的前项和S”=下一，nN*.(1)求数列他)的通项公式；设bn=Tn(-l)求数列仍的前2n项和.解(1)当=1时，=S=l;当 ti2 时,%=SnSn- =w2w tn 1) 2 (n- I)n.故数列为的通项公式为由=几由(1)知,Q=2+(1)%.记数列儿的前2项和为那么D=+2?+2S+(-l+2-3+4
22、 .+2).记A=21+22+22”，B=-1+23+4+2,那么2122)A= -1-2=22+1-2,3=(-1+2)+(3+4)+.+-(2九一1)+2=.故数列仇的前2项和7h=B=22+,2-2.变式训练1 .(2014北京，15)z是等差数列,满足=3,4=12,数列(九满足瓦=4,=20,且一。”)为等比数列.(1)求数列&和儿的通项公式;(2)求数列瓦的前项和.解(1)设等差数列仅的公差为d,由题意得d=Wi=与=3所以l)d=3(=l,2,.).设等比数列4一即的公比为q,由题意得1仇一。420-12&/口夕=至工;=不不=8,解得夕=2.所以一a”=Si-d)cf,=2mi
23、从而乩=3+2一|(=1,2,.).由知儿=3+2一|(=1,2,.).312数列3的前项和为呼(+1),数列21的前项和为IX不工二2-1.3所以，数列4的前项和为那(+1)+2”L考点四裂项相消法1.(2015新课标全国I,17)S为数列内的前项和.n0,居+2如=4S,+3.(1)求的通项公式；(2)设b=T,求数列出“的前项和.解(1)由晶+%=4&+3,可知t+211+=4Sn+3.可得*+|-*+2(如+-。)=4斯打，即2(an+斯)=*+1一忌=3+1+an)(an+an).由于a,l0,可得an+an=2.又司+2=4+3,解得=-l(舍去)，1=3.所以斯是首项为3,公差
24、为2的等差数列，通项公式为%=2+L(2)由0=2w+l可知卜=I=1,ana+2+1)(23)-2(212+3)设数列九)的前项和为7；,那么Tn=b-bz-bnT(H)+（三）+f-5)3(2n+3),Z(2011新课标全国，17)等比数列小的各项均为正数,且2+30j=l,ai=9a2a6.(1)求数列诙的通项公式；(2)设bzt=log3+logM211HOg3为，求数歹M今的前n项和.解(1)设数列斯的公比为外由质=9246,得质=9届，所以q2=f.由条件可知“0,故乡=；.由24+32=1得24+34q=1，所以at=j.故数列m的通项公式为为=/.(2)bn=log31+log
25、324HOg=(12?)(+1)=2，故儿n(+1)2(+1)+-2Ki-S+（三）+-)=-所以数列5的前项和为一岛.3.(2015安徽，18)数列如是递增的等比数列，且+g=9,66=8.(1)求数列小的通项公式；(2)设Sn为数列“的前n项和,b尸震L,求数列儿的前项和Tn.。1=8, 味=1(舍去)解(1)由题设知。4=。243=8.a=又+w=9.可解得“。4=8由=得公比q=2,故。=0门=2一|.(2)Szj=m (1一Lq=2,-l,又儿=SzlS 11SSI+1SnSn+1所以 36 +岳+.+b=Qr)+r)+传_)=?=LF.变式训练l.(2013江西，16)正项数列如满
26、足：曷一(2- 1)%一2=0.(1)求数列小的通项公式斯;(2)令C=(+；)斯，求数列儿的前项和Tn.解(1)由曷一(2一 1)。-2=0,得 3 - 2h)(an l)=0.由于如是正项数列，所以。=2几(2)由斯=2, b=(+；)斯,那么 bf J+l) 4(HTn=K12H+4i-)=s+1)=2(+1)2 .(2013大纲全国，17)等差数列处中，s=4,a9=2a9.(1)求知的通项公式；(2)设九=今，求数列与的前项和S”.解(1)设等差数列知的公差为d,那么l)d.出=4,k6=4,由得(。19=9，Ial+18d=2(a+8J),解得=l,d=.斯的通项公式为R=._12
27、22(1)blt(+)n+，&=(2)+修一+(A)=3.在数列斯中，=l,当时，其前项和S,满足忌=a”(s一，.(1)求工的表达式；(2)设为=毋p求九的前项和Tn.答案一可求得十止T小肃考点五倒序相加法1.函数y=*W4wR).证明：y(x)+y(i-x)=1；变式训练1.设V)=舟5，假设S=T仿7宗)+45?+i耦)，那么S=.考点六并项求和1.(2012嘛课标，16)数列“满足小+】+(-1尸如=2-1,那么m的前60项和为.理科解析当几=2%时，。2人+1+。2*=4%1,当=2Z1时，。2#。2JJ=4Z3,2a+i+2k-1=2,.fl2+3+a2k+1=2,Q2k-1=42
28、k+3,0=45=461.41+及+仍+。60一30(3+119)=(02+03)+(04+45)+(46+46i)=3+7+11+(2X60-1)=3061=1830.答案1830文科解析:斯+1+(1)%=21,az=1+i,的=2-a,。4=7a,as=a恁=9+。,6=2-Qt。8=15-,。9=。1，00=17+。,a=2at2=23-67,.,。57=。1，。58=113+。1，。59=2。1，。60=119-a+s+.+。60=(。1+42+43+44)+(45+6+47+48)+.-+(457+458+459+060)= 10+26+42+.+234=15 (10+234)=1
29、 830.答案D2.(2014山东,19)在等差数列斯中，公差d=2,&是与的等比中项.(1)求数列如的通项公式;(2)设btt=%(“+)，记。=一十岳一例+九一+(1)%，求2解(1)由题意知3+t)2=(m+3),即(a+2)2=(+6),解得=2.所以数列出的通项公式为以=2.,rnr.,n(h1)(2)由题意知bn=a2=(+】).所以L,=-l2+23-34+.+(-l)nw(n+l).因为儿+i九=2(+1),可得当为偶数时，A=(8l+岳)+(岳+64)+(6-1+儿)=4+8+12+2(4+2n):2(+2)2当为奇数时,T=Tn-+(-bn)(一1)(+1)25+1)2=一
30、2Jn+1) 5 + 2),为奇数, 为偶数.变式训练1.(2014山东理,19)等差数列z的公差为2,前k项和为S”且Si,Sz,S4成等比数列.(1)求数列而的通项公式；4?(2)令=(-1),，求数列儿的前n项和Tn.UnCln解(1)因为S=,l2X1S2=2m+-y-X2=2s+2,S4=4。1T43X2=4 + 12,由题意得(24 +2)2=(44 +12), 解得 a = ,所以 an=2-.(2)=(-r4ClnCln-1=(f (2/1-1)(2/1+1)=(-1)R=旬当为偶数时，7=(1+；)-t+3+(+-LjU+-M2-3 In 1)1 2/?+ 1)1 In=1
31、2n+l 2n当n为奇数时，T=(+9Y+3+-3+2-1 +2+ 1)= 1+=Q2n+l 2n+2+22+1In2n+V为奇数,为偶数.2n+(-1),2+12.(2013湖南，15)设S为数列z的前项和，Sn=(-),an-nN那么:03=；(2)S+Sz+Sioo=,解析(1)V=(-l)naw-2.当几=3时，a+d23=as1,当=4时，01+02+03+44=44-七,.+2+43=芾由知G=一七.$=(1)%一/当n为奇数时,Sn+1=Cln1-2+1，Sn=1Cln2，两式相减得4A+1 = Cln+1 +412+1 ；当n为偶数时,1y+I 。“+12+1,Sn=Cln两
32、式相减得an+=-an-a11+9即 a”= 2。+T2+i-2m,故an-Qy+1, 为奇数,为偶数.S1+S2+Sioo=自钉，为奇数,0, 为偶数.考点七数列必|的前项和问题1.(2011北京，11)在等比数列m中，假设0=544=4,那么公比4=；同+1叫解析:炉=宾=-8,/.g=-2,那么“=/(2)-,1UT，同+闷+闷+EI=5+l+2+2-2=2,-z.Z1ZZ答案一22w-1-变式训练1.(2013浙江，19)在公差为d的等差数列4中，0=10,且m,2z+2,5s成等比数列.(1)求d,an假设d0,求MIl+Isl+31+.+MJ解由题意得5。3m=(2。2+2)2,即/-34-4=0.故d=-1或d=4,二。”=+11,N或。“=4+6,N.(2丁
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