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1、习题课正弦定理、余弦定理的综合应用课后篇巩固探究1.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin2A+sin2C-sin2B=3sin Asin C,则角B为()A.6B.3C.2D.4解析:由正弦定理可得a2+c2-b2=3ac,所以cos B=a2+c2-b22ac=3ac2ac=32,所以B=6.答案:A2.在ABC中,若sin2A+sin2Bsin2C,则ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定解析:由正弦定理及sin2A+sin2Bsin2C可得a2+b2c2.由cos C=a2+b2-c22ab可知cos C0,又因为0C,所以C为锐角
2、,但不能说明ABC为锐角三角形.答案:D3.已知在ABC中,A=30,AB=3,BC=1,则ABC的面积等于()A.32B.34C.32或3D.32或34解析:由正弦定理得3sinC=1sin30,所以sin C=32,所以C=60或C=120.所以B=90或B=30,所以SABC=12ABBCsin B=32sin B=32或34.故选D.答案:D4.已知在锐角三角形ABC中,BC=1,B=2A,则AC的取值范围是()A.-2,2B.0,2C.(0,2D.(2,3)解析:由题意得0-3A2,02A26A4,由正弦定理ACsinB=BCsinA得AC=2cos A.因为A6,4,所以AC(2,
3、3).答案:D5.如图,在四边形ABCD中,已知ADCD,AD=10,AB=14,BDA=60,BCD=135,则BC的长为()A.82B.92C.142D.83解析:在ABD中,设BD=x,则BA2=BD2+AD2-2BDADcos BDA,即142=x2+102-210xcos 60,整理得x2-10x-96=0,解得x1=16,x2=-6(舍去).由正弦定理得BCsinCDB=BDsinBCD,所以BC=16sin135sin 30=82.答案:A6.在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b2+c2=a2+bc,且ACAB=4,则ABC的面积等于()A.43B.233C.3
4、D.23解析:由b2+c2=a2+bc,得b2+c2-a2=bc,则cos A=b2+c2-a22bc=12,因为0A,所以A=60.又bc=|AC|AB|=ACABcosA=8,所以SABC=12bcsin A=12832=23.故选D.答案:D7.导学号33194047如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上的B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且B与D互补,则AC的长为()A.7 kmB.8 kmC.9 kmD.6 km解析:在ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B,即AC2=25+64-2
5、58cos B=89-80cos B.在ADC中,由余弦定理,得AC2=AD2+DC2-2ADDCcos D,即AC2=25+9-253cos D=34-30cos D.因为B与D互补,所以cos B=-cos D,所以-34-AC230=89-AC280,解得AC=7(负值舍去),故选A.答案:A8.在ABC中,角A,B,C所对的边的长分别为a,b,c,若a=7,b=3,c=2,则A=,ABC的面积为.解析:由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=9+4-7232=12,因为A(0,),所以A=3.所以ABC的面积为12bcsin A=123232=332.答案:33329.如图,为
6、测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使得C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60,再由点C沿北偏东15方向走10米到位置D,测得BDC=45,则塔AB的高度为米.解析:设塔AB的高度为x米,根据题意可知在ABC中,ABC=90,ACB=60,AB=x米.从而BC=33x米,在BCD中,CD=10米,BCD=90+15=105,BDC=45,则CBD=30.由正弦定理可得,BC=CDsinBDCsinCBD=10sin45sin30=102(米).所以33x=102,所以x=106,故塔AB的高度为106米.答案:10610.导学号33194048在ABC中,若B=60,AC=3,则A
7、B+2BC的最大值为.解析:A+C=120C=120-A,A(0,120).BCsinA=ACsinB=2BC=2sin A,ABsinC=ACsinB=2AB=2sin C=2sin (120-A)=3cos A+sin A,所以AB+2BC=3cos A+5sin A=28sin (A+)=27sin (A+),其中tan =35,故最大值是27.答案:2711.已知正三角形ABC的边长为2,D,E,F分别在边AB,BC,CA上,D为AB的中点,DEDF,且DF=32DE,则BDE=.解析:如图,设BDE=.在BDE中,由正弦定理知EDsin60=BDsin(120-),所以DE=32si
8、n(120-),同理,在ADF中,DF=32sin(30+).所以DFDE=sin(120-)sin(30+)=32,整理得tan =3,因为0180,所以=60.答案:6012.导学号33194049在ABC中,a,b,c为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.(1)求A的大小;(2)若sin B+sin C=1,试判断ABC的形状.解(1)因为2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C,所以根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc,所以cos A=b2+c2-a22bc=-12,又0
9、A,所以A=23.(2)由(1)知a2=b2+c2+bc,根据正弦定理得sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C,即sin2B+sin2C+sin Bsin C=34,又已知sin B+sin C=1,联立解得sin B=sin C=12,又已知B+C=-A=3,所以0B3,0C3,所以B=C=6.故ABC的形状是等腰三角形.13.导学号33194050(2017天津高考)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin A=4bsin B,ac=5(a2-b2-c2).(1)求cos A的值;(2)求sin(2B-A)的值.解(1)由asin A=4bsin
10、B,及asinA=bsinB,得a=2b.由ac=5(a2-b2-c2),及余弦定理,得cos A=b2+c2-a22bc=-55acac=-55.(2)由(1),可得sin A=255,代入asin A=4bsin B,得sin B=asinA4b=55.由(1)知,A为钝角,所以cos B=1-sin2B=255.于是sin 2B=2sin Bcos B=45,cos 2B=1-2sin2B=35,故sin(2B-A)=sin 2Bcos A-cos 2Bsin A=45-55-35255=-255.14.已知甲船正在大海上航行.当它位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船
11、遇险等待营救,甲船立即以10海里/小时的速度匀速前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西30,相距10海里C处的乙船,乙船当即也决定匀速前往救援,并且与甲船同时到达.(1)试问乙船航行速度的大小.(2)试问乙船航行的方向(试用方位角表示,结果精确到1).解(1)设C与B的距离为x海里,所用时间为2010=2(小时),则x2=AC2+AB2-2ABACcos 120=102+202+2201012=700,所以x=107,v乙=1072=57(海里/小时),所以乙船航行速度为57海里/小时.(2)设ACB=,则xsin120=20sin,10732=20sin,则sin =2170.655,得41,所以乙船应朝北偏东71的方向沿直线前往B处救援.