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1、第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=60,a=1,b=2,则sin A=()A.32B.14C.34D.12解析:由正弦定理得1sinA=2sin60,所以sin A=34.故选C.答案:C2.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+c2-b2=3ac,则角B的值为()A.6B.3C.6或56D.3或23解析:因为a2+c2-b2=3ac,所以由余弦定理得,cos B=a2+c2-b22ac=32,所以B=6.答案:A3.在ABC中,已知a=11,b=20,A
2、=130,则此三角形()A.无解B.只有一解C.有两解D.解的个数不确定解析:由A=130,而a0,由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=(5x)2+(11x)2-(13x)225x11x=-231100,所以C为钝角,所以ABC为钝角三角形.答案:C7.在ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.若角A,B,C依次成等差数列,且a=1,b=3.则SABC=()A.2B.3C.32D.2解析:因为A,B,C成等差数列,所以A+C=2B.又A+B+C=180,所以B=60.又a=1,b=3,由asinA=bsinB得sin A=asinBb=3213=12.因为abB.abC.
3、a=bD.a与b的大小关系不能确定解析:由余弦定理,得2a2=a2+b2-2abcos 120,所以b2+ab-a2=0,即ba2+ba-1=0,ba=-1+521,故ba,选A.答案:A10.已知ABC的内角A,B,C所对的边的长分别为a,b,c,且sinAa=sin B2b,则cos B的值为()A.32B.12C.-12D.-32解析:因为sinAa=sin B2b,所以由正弦定理,得sin B=sin B2,所以2sin B2cos B2=sin B2,因为sin B20,所以cos B2=12,所以cos B=2cos2B2-1=2122-1=-12,故选C.答案:C11.如图,已知
4、在ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=3BD,BC=2BD,则sin C的值为()A.33B.36C.63D.66解析:设AB=c,则AD=c,BD=2c3,BC=4c3.在ABD中,由余弦定理,得cos A=c2+c2-43c22c2=13,所以sin A=223.在ABC中,由正弦定理,得csinC=BCsinA=4c3223,解得sin C=66,故选D.答案:D12.导学号33194051在ABC中,内角A,B,C所对的边的长分别为a,b,c,已知a=c,且满足cos C+(cos BAC-3sin BAC)cos ABC=0,若点O是ABC外一点,且OA=2OB=4,设
5、AOB=(0),则四边形OACB面积的最大值是()A.8+53B.5+43C.12D.4+53解析:在OAB中,由余弦定理,得AB2=OA2+OB2-2OAOBcos AOB=42+22-242cos =20-16cos .在ABC中,因为cos C+(cos BAC-3sin BAC)cos ABC=-cos (BAC+ABC)+cos BACcos ABC-3sin BACcos ABC=sin BACsin ABC-3sin BACcos ABC=sin BAC(sin ABC-3cos ABC)=0,且sin BAC0,所以sin ABC-3cos ABC=0,即tan ABC=3,所
6、以ABC=3,又a=c,所以ABC是等边三角形,所以S四边形OACB=SOAB+SABC=1242sin +34(20-16cos )=4sin +53-43cos =8sin-3+53.因为0,所以-3-30,cos B0,cos C0,即a2+b2-c22ab0,a2+c2-b22ac0,b2+c2-a22bc0.将a=2,b=3代入,解得5c13.答案:(5,13).16.在ABC中,已知a,b,c分别为角A,B,C所对的边,S为ABC的面积.若向量p=(4,a2+b2-c2),q=(3,S)满足pq,则C=.解析:由pq,得4S=3(a2+b2-c2),则S=34(a2+b2-c2).
7、由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab,所以S=342abcos C=32abcos C.又由面积公式得S=12absin C,所以32abcos C=12absin C,所以tan C=3.又C(0,),所以C=3.答案:3三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.导学号33194052(本小题满分10分)在ABC中,C=2A,a+c=20,sin A=74,求b的值.解因为0C,C=2A,所以0Ab,a=5,c=6,sin B=35.(1)求b和sin A的值;(2)求sin2A+4的值.解(1)在ABC中,因为ab,故由sin B=35,可得cos B=45.由已知及余弦定理,
8、有b2=a2+c2-2accos B=13,所以b=13.由正弦定理asinA=bsinB,得sin A=asinBb=31313.所以,b的值为13,sin A的值为31313.(2)由(1)及ac,得cos A=21313,所以sin 2A=2sin Acos A=1213,cos 2A=1-2sin2A=-513.故sin2A+4=sin 2Acos4+cos 2Asin4=7226.19.(本小题满分12分)如图,在ABC中,AB=12,AC=36,BC=56,点D在边BC上,且ADC=60.(1)求cos C的值;(2)求线段AD的长.解(1)在ABC中,由余弦定理得cos C=AC
9、2+BC2-AB22ACBC=(36)2+(56)2-12223656=13.(2)由题意知0C0,所以sin C=1-cos2C=1-132=223,在ADC中,根据正弦定理得,ADsinC=ACsinADC,所以AD=ACsinCsinADC=8.20.导学号33194053(本小题满分12分)(2017全国1高考)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知ABC的面积为a23sinA.(1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周长.解(1)由题设得12acsin B=a23sinA,即12csin B=a3sinA.由正弦定理得12sin
10、 Csin B=sinA3sinA.故sin Bsin C=23.(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-12,即cos(B+C)=-12.所以B+C=23,故A=3.由题设得12bcsin A=a23sinA,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=33.故ABC的周长为3+33.21.(本小题满分12分)如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+3)海里的两个观测点,现位于点A北偏东45,点B北偏西60的点D有一艘轮船发出求救信号,位于点B南偏西60,且与点B相距203海里的点C的救援船立即前往营救,其航行速度为30
11、海里/时,该救援船到达点D需要多长时间?解由题意,知AB=5(3+3)海里,DBA=90-60=30,DAB=90-45=45,所以ADB=180-(45+30)=105.在ADB中,由正弦定理,得DBsinDAB=ABsinADB,所以DB=ABsinDABsinADB=5(3+3)sin45sin105=5(3+3)sin45sin45cos60+cos45sin60=103(海里).在CDB中,BC=203海里,BD=103海里,DBC=60.由余弦定理,得DC2=BD2+BC2-2BDBCcosDBC=(103)2+(203)2-2103203cos 60=900.所以DC=30海里.
12、故救援船到达点D需要的时间为3030=1(时).22.导学号33194054(本小题满分12分)(2016四川高考)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且cosAa+cosBb=sinCc.(1)证明:sin Asin B=sin C;(2)若b2+c2-a2=65bc,求tan B.(1)证明根据正弦定理,可设asinA=bsinB=csinC=k(k0).则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.代入cosAa+cosBb=sinCc中,有cosAksinA+cosBksinB=sinCksinC,变形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).在ABC中,由A+B+C=,有sin(A+B)=sin(-C)=sin C,所以sin Asin B=sin C.(2)解由已知,b2+c2-a2=65bc,根据余弦定理,有cos A=b2+c2-a22bc=35,所以sin A=1-cos2A=45.由(1),sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,所以45sin B=45cos B+35sin B,故tan B=sinBcosB=4.