《2019秋高三数学上学期期末试题汇编：25.空间向量与空间角、距离 2 Word版含解析.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019秋高三数学上学期期末试题汇编：25.空间向量与空间角、距离 2 Word版含解析.doc（51页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、（广西梧州市、桂林市、贵港市等2019届高三上学期期末理科数学试题）16.已知两点都在以为直径的球的表面上，若球的体积为，则异面直线与所成角的正切值为_【答案】【解析】【分析】先根据条件得一个三棱锥，再在这个三棱锥中确定线线关系，最后根据平移以及余弦定理求结果.【详解】由题意得三棱锥P-ABC，其中,过A作AD/BC,过B作BD/AC，AD、BD交于D，则异面直线与所成角为，由得平面PAB，即，因此可得平面ACBD,即，计算可得,因此，即异面直线与所成角的余弦值为【点睛】线线角的寻找，主要找平移，即作平行线，进而根据三角形求线线角.线面角的寻找，主要找射影，即需从线面垂直出发确定射影，进而确定
2、线面角. 二面角的寻找，主要找面的垂线，即需从面面垂直出发确定线面垂直，进而确定二面角.（河北省邯郸市2019届高三第一次模拟考试数学（理）试题）12.正方体的棱上(除去棱AD)到直线与的距离相等的点有个，记这个点分别为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】正方体ABCDA1B1C1D1的棱上到直线A1B与CC1的距离相等的点分别为：D1，BC的中点，B1C1的四等分点（靠近B1），假设D1与G重合，BC的中点为E，B1C1的四等分点（靠近B1）为F，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求
3、出直线AC1与平面EFG所成角的正弦值【详解】解：正方体ABCDA1B1C1D1的棱上到直线A1B与CC1的距离相等的点分别为：D1，BC的中点，B1C1的四等分点（靠近B1），假设D1与G重合，BC的中点为E，B1C1的四等分点（靠近B1）为F，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AB2，则E（1，2，0），F（，2，2），G（0，0，2），A（2，0，0），C1（0，2，2），（），（），（2，2，2），设平面EFG的法向量（x，y，z），则，即，取x4，得（4，3，1）设直线AC1与平面EFG所成角为，则直线AC1与平面EFG所成角的正弦值
4、为sin|cos|故选：D【点睛】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题（山东省泰安市2019届高三一轮复习质量检测数学（理）试题）11.在直三棱柱，分别是，的中点，则与所成角的余弦值为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系后写出点的坐标和向量的坐标，再利用空间向量的夹角公式即可求解【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：则0，1，0，0，故选：D【点睛】本题考查了异面直线及其所成的角，考查了利用空间向量求异面直线的夹角，属于中档题（河南省十所名校2019届高三尖子生第二次联合考试数学（理）试题）1
5、1.在正方体中，点，分别在棱，上，且，（其中），若平面与线段的交点为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，以方向为方向，以方向为方向，以方向为方向，设正方体的边长为1，分别求出点的坐标及向量的坐标，利用向量加法表示出，列出对应的方程组，解方程组即可得到，问题得解。【详解】如图，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，以方向为方向，以方向为方向，以方向为方向，设正方体的边长为1，则,因为点在平面内，可设（其中为常数），又与共线，可设，由图可得：,即：，整理得：，由（1）（3）可得：，即：由（2）（3）可得：，即：，联立（4）（5）解得：，
6、代入（2）可得：，整理得：，所以.所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了空间向量的加减运算及数乘运算，考查转化能力及计算能力，还考查了空间思维能力，考查了平面向量基本定理知识，属于难题。（陕西省四校联考2019届高三12月模拟数学试卷（文科）试题）9.长方体，则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题，找出，故为异面直线与所成角，然后解出答案即可.【详解】如图，连接，由，为异面直线与所成角，由已知可得，则即异面直线与所成角的余弦值为故选：A【点睛】本题考查了异面直线的夹角问题，找平行线，找出夹角是解题的关键，属于较为基础题.（四川省攀枝花市2019届高三
7、第二次统一考试数学（理）试题）9.如图，在矩形中，是的中点.将沿折起，使折起后平面平面，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意，取AB中点F，连接CF，则CFAE，可得直线AE和CD所成角的平面角为DCF，结合已知求解DCF三边长度，满足直角三角形，可得cosDCF.【详解】由题意，取AB中点F，连接CF，则CFAE，可得直线AE和CD所成角的平面角为DCF，（如图）过D作DM垂直AE于M，平面DAE平面ABCE，ADDE，DMAE，DM平面ABCE，DMMF，且AMDM，结合平面图形可得：FM=, DF=1,CF=,又=, =3,在DFC中
8、，=,DFC是直角三角形且DFFC，可得cosDCF故选A.【点睛】本题考查两条异面直线所成角的作法及大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养（四川省攀枝花市2019届高三第二次统一考试数学（文）试题）7.如图，在正方体中，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先取AD的中点F，CD/F，即异面直线和所成角就是，然后设出边长，求出EF和，求得结果.【详解】取AD的中点为F，连接EF、F，因为CD/F，所以异面直线和所成角就是直线和所成角，设正方体边长为a，EF=a， 所以 故选A【点睛】本题主要考查了空间几何中异面直
9、线的夹角问题，作出异面直线的夹角是解题的关键，属于较为基础题.（四川省成都市实验外国语学校2019届高三二诊模拟考试理科数学试题）17.如图，正四棱柱中，点在上且. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值.【答案】（）详见解析；（）.【解析】【分析】(1)首先可以根据图像建立空间直角坐标系然后写出的坐标以及向量，然后通过以及即可得出，最后根据线面垂直的相关性质即可得出结果；(2)可以通过求出平面与平面的法向量来求出二面角的余弦值。【详解】以为坐标原点，射线为轴的正半轴，射线为轴的正半轴，射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，即可得出、，、。(1)因为,，所以，因为，所以平面；(2)设向量是
10、平面的法向量，则，故，.令，则，等于二面角的平面角，。【点睛】本题考查了解析几何的相关性质，主要考查了线面垂直的证明以及二面角的余弦值的求法，线面垂直可以通过线线垂直来证明，而二面角的余弦值则可以借助空间向量来证明，考查数形结合思想，考查推理能力，是中档题。（四川省泸州市2019届高三第二次教学质量诊断性考试数学（理）试题）19.如图，三棱锥中，.（1）求证：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取AC的中点O，连结BO，DO，推导出ACDO，ACBO，从而AC平面BOD，由此能证明BDAC（2）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为
11、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，利用向量法能求出直线BC与平面ABD所成角的正弦值【详解】证明：（1）取AC的中点O，连结BO，DO，ABBCCDDA，ABC，ADC均为等腰三角形，ACDO，ACBO，DOBOO，AC平面BOD，BD平面BOD，BDAC解：（2）CAAB，ABBCCDDA，ODOB，OD2+OB2BD2，DOB是二面角DACB的平面角，平面DAC平面BAC，如图，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，设A（0，1，0），则C（0，1，0），B（，0，0），D（0，0，），（，1，0）， ，（0，1，），设平面ABD的法向量（x，y，z）
12、，则，取x1，得（1，1），设直线BC与平面ABD所成角为则直线BC与平面ABD所成角的正弦值为：sin.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题（四川省攀枝花市2019届高三第二次统一考试数学（理）试题）19.如图，在四棱锥中，底面，为直角，、分别为、的中点.（I）证明：平面平面；（II）设，且二面角的平面角大于，求的取值范围.【答案】（）见证明 （）【解析】【分析】（）根据矩形与三角形中位线可得线线平行，进而得到线面平行，再利用面面平行的判定定理证得结论（）以A为原点，以AB、A
13、D、AP为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AB的长为1，求出平面CDB的法向量和平面EDB的法向量，然后利用向量的夹角公式建立关系，解之即可【详解】（）由已知 为直角，为的中点，,故是矩形，, 又分别为的中点. ,，所以平面 （）以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，则，故从而，设平面的法向量为，平面的法向量为，则，取，可得，设二面角的大小为，因为，则， 化简得，则.【点睛】本题主要考查直线与平面平行、面面平行的判定与性质，考查了二面角的平面角的概念及求法，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力，属于中档题（江西省上饶市2019届高三第二次模拟考试数学（理
14、）试题）18.如图，已知正三棱柱，、分别为、的中点，点为线段上一点，（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）连结交于于点推得即可证明（2）连结、，连结，证明中计算得以点为原点，为轴，为z轴，建立空间直角坐标系，求平面法向量求得二面角余弦值【详解】（1）证明：连结交于于点、为、的中点 面 面（2）矩形中，连结、连结 ，面 面， 面 中，以点为原点，为轴，为z轴，建立空间直角坐标系， ,平面的一个法向量即取x=,则平面的一个法向量的余弦值为【点睛】本题考查空间向量求二面角，证明线面平行，熟练运用三角形平行线性质和判断定理，准确计算出底面三角形
15、边长是关键，是中档题（湖南师大附中2019届高三月考试题（七） 数学（理）18.如图，四边形是边长为2的菱形，且，平面，点是线段上任意一点.（1）证明：平面平面；（2）若的最大值是，求三棱锥的体积.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）推导出ACBM，ACBD，从而AC平面BMND，由此能证明平面EAC平面BMND（2）由AECE1，cosAEC1，AEC（0，），得到当AE最短时AEC最大，即AEMN，CEMN时AEC最大，AEC是二面角AMNC的平面角，大小是120，可得AE取MN得中点H，连接H与AC、BD的交点O，由题意知OH平面ABCD，建系，利用向量法结合AEC=1
16、20求得ND，利用VMNACVMEAC+VNEAC能求出三棱锥MNAC的体积【详解】（1）因为平面，则.又四边形是菱形，则，所以平面.因为在平面内，所以平面平面.（2）设与的交点为，连结.因为平面，则，又为的中点，则，所以，.当最短时最大，此时，.取的中点，分别以直线，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，且a,则点，.设平面的法向量，则，取，则，同理求得平面的法向量.因为是二面角的平面角，则，解得或,又a，因为，则 .【点睛】本题考查了面面垂直的证明及几何体的体积的求法，考查了利用向量解决空间角的问题，考查运算求解能力，是中档题（江西省红色七校2019届高三第一次联考数学（文）试题）19.已知
17、如图，平面，四边形为等腰梯形，.（1）求证：平面平面；（2）已知为中点，求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）连接，过作于，过作于，由三角形内角和定理可得，由平面，可得，从而可得平面，由面面垂直的判定定理可得结论；（2）由（1）知，为直角三角形，为中点，设到平面距离为，根据“等积变换”可求得，进而可得与平面所成角的正弦值.试题解析：（1）连接，过作于，过作于.在等腰梯形中，.，则，即，平面，平面，平面，又平面，平面平面.（2）由（1）知，为直角三角形，为中点，设到平面距离为， ，即 ，.与平面所成角的正弦值等于.（广东省揭阳市2019届高三一模数学（理科）
18、试题）18.如图，在四边形ABED中，AB/DE，ABBE，点C在AB上，且ABCD，AC=BC=CD=2，现将ACD沿CD折起，使点A到达点P的位置，且PE与平面PBC所成的角为45. （1）求证：平面PBC 平面DEBC；（2）求二面角D-PE-B的余弦值.【答案】（1）见解析； （2）.【解析】【分析】（1）根据折叠前后关系得PCCD，根据平几知识得BE/CD，即得PCBE，再利用线面垂直判定定理得EB平面PBC，最后根据面面垂直判定定理得结论，（2）先根据线面角得PBE为等腰直角三角形，再取BC的中点O，证得PO平面EBCD，建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解得各面法向量，根
19、据向量数量积得向量夹角，最后根据向量夹角与二面角关系得结果.【详解】（1）证明：ABCD，ABBE，CD/EB，ACCD，PCCD，EBPC，且PCBC=C，EB平面PBC，又EB平面DEBC，平面PBC 平面DEBC； （2）由（1）知EB平面PBC，EBPB，由PE与平面PBC所成的角为45得EPB=45， PBE为等腰直角三角形，PB=EB， AB/DE，结合CD/EB 得BE=CD=2，PB=2，故PBC为等边三角形， 取BC的中点O，连结PO， POBC，PO平面EBCD， 以O为坐标原点，过点O与BE平行的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系如图
20、， 则， 从而, ，设平面PDE的一个法向量为，平面PEB的一个法向量为，则由得，令得，由得 ，令得，设二面角D-PE-B的大小为，则，即二面角D-PE-B的余弦值为. 【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.（河南省十所名校2019届高三尖子生第二次联合考试数学（理）试题）19.如图所示的三棱柱中，平面，的中点为，若线段上存在点使得平面.（）求；（）求二面角的余弦值.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）设的长为，分别以，的
21、方向为，轴正方向建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，从而求得点的坐标为，求得，利用平面列方程即可求得，问题得解。（）求出平面的法向量为，结合（）中是平面的一个法向量，利用法向量的夹角坐标表示即可求解。【详解】解：（）方法一：设的长为，依题意可知，两两垂直，分别以，的方向为，轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示.则，因此，.设，易求得点的坐标为，所以.因为平面，所以.解之得，所以的长为.方法二：如图，在平面内过点作的垂线分别交和于，连接，在平面内过点作的垂线交于，连接.依题意易得，五点共面.因为平面，所以.在中，因此为线段靠近的三等分点.由对称性知，为线段靠近的三等分点，因此，.代入，得.（）由
22、（）方法一可知，是平面的一个法向量且，.设平面的法向量为，则可以为.因为二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算及空间直角坐标系，考查向量垂直的坐标表示及方程思想，考查计算能力，还考查了二面角的向量求法，属于中档题。（广东省六校2019届高三第三次联考理科数学试题）18.如图，是以为直径的圆 上异于 的点，平面平面 ， ,， 分别是 的中点，记平面 与平面 的交线为直线 （）求证：直线平面；（）直线上是否存在点，使直线分别与平面、直线 所成的角互余？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】（）详见解析；（）直线l上存在点Q满足题意，|AQ|=1【解析
23、】【分析】（）利用三角形中位线定理推导出面，从而得到，再由已知条件推导出面，由此证明平面 （）以坐标原点，为轴，为轴，过 垂直于面的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线上存在点，使直线分别与平面、直线所成的角互余.【详解】（）证明： 分别是 的中点，又平面，不包含于平面，面，又面，面面 ，又，面面，面面，面,直线平面（）坐标原点，为轴，为轴，过 垂直于面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 设，面的法向量为则 取，得，,|,依题意，得 直线 上存在点 ，使直线分别与平面、直线所成的角互余，【点睛】本题考查直线与平面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意
24、向量法的合理运用（四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断性考试文科数学试题）19.如图，在边长为的正方形中，点分别是的中点，点在上，且.将分别沿折叠，使点重合于点，如图所示.试判断与平面的位置关系，并给出证明；求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连结交于，通过对应线段成比例，得到，即可证明面.（2）解法一：找到二面角，即，在中，找到三边的长度，利用余弦定理，求出余弦值.解法二：建立空间直角坐标系，找到两个面的法向量之间的夹角余弦值，再求二面角的余弦值.【详解】 与平面的位置关系是平面.证明如下：在图中，连结交于，交于，则在图中，连结交于，连结.在中，有所
25、以又因为面，面，故平面.解法一：在图中，连结交于，连结.图中的，即图中的所以又所以面又，所以面.则为二面角的平面角.易知，则在中，则在中，由余弦定理，得所以二面角得余弦值为解法二：以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图空间直角坐标系则，于是 分别设平面，平面法向量为，由得于是取，又由得于是可取.因为所以二面角的余弦值为【点睛】通过线线平行证明线面平行，二面角的余弦值的求法，难度适中，可以考虑多种方法求解，属于中档题.（四川省南充市高三2019届第二次高考适应性考试高三数学（理）试题）19.如图，在六面体中，平面平面，平面，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1
26、）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）设DG的中点为M，连结AM，FM，则DEFM是平行四边形，从而MFDE，且MFDE，进而ABDE，推导出四边形ABFM是平行四边形，从而BFAM，由此能证明BF平面ACGD（2）以DE，DG，DA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角DCGF的余弦值【详解】（1）证明：设的中点为，连接，则是平行四边形，所以且，因为平面平面，又平面平面，平面平面，所以，因为，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，故平面.（2）由题意可得：两两垂直，故以分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，令，则，所以，设平面的法向量，则，令，则，因为
27、平面的法向量，所以由于所求二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面平行的判定定理，考查二面角的余弦值的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识，考查运算能力，属于中档题（四川省凉山州市2019届高三第二次诊断性检测数学（理科）试题）18.设矩形中，点、分别是、的中点，如图1.现沿将折起，使点至点的位置，且，如图2.（1）证明：平面；（2）求二面角的大小.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)结合图形的特点以及垂直关系得到，再由勾股定理证得，进而得到线面垂直；（2）建立空间坐标系得到两个面的法向量，利用向量夹角公式得到结果.【详解】（1）证明：由题设知：又，；，面
28、 面，面，在矩形中，、为中点，又，面 ， 面（2） 面，由（1）知面面，且以为原点，为轴，为轴建立如图的空间直角坐标系在中，过作于，（也可用）、面的一个法向量为设面的一个法向量为、由即令，则，, 二面角为【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，平面和平面的夹角。在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直，或者可以通过建系的方法求两个面的法向量使得两个面的法向量互相垂直即可.求面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做。（山东省泰安市2019届高三一轮复习质量检测数学（理）试题）18.如
29、图，在四棱锥中，平面平面，是边长为2的等边三角形，底面是菱形，且证明：；求平面与平面所成二面角的大小【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】取AD的中点E，连结PE，BE，BD，推导出，从而平面PBE，由此能证明，EB，EP两两垂直，以E为坐标原点建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，再求出平面PBC的一个法向量1，利用向量法即可求出平面PAD与平面PBC所成二面角的大小【详解】证明：取AD的中点E，连结PE， BE，BD，四边形ABCD是菱形，是等边三角形，同理，得，又，平面PBE，平面PBE，平面PBE，又平面PBE，平面平面ABCD，由可知EA，EB，EP两两垂直，以E为坐标原点
30、建立空间直角坐标系，如图，由题意得，则0，0，设平面PBC的一个法向量y，由，取，得1，由得是平面PAD的一个法向量，平面PAD与平面PBC所成二面角的大小为【点睛】本题考查了线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题（江苏省七市2019届(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)高三第二次调研考试数学试题）22.如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，平面，AB = 1，AP = AD = 2.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）若点M，N分别在AB，PC上，且平面，试确定点M，N的位置【答案】（1）；（
31、2）M为AB的中点，N为PC的中点【解析】【分析】（1）由题意知，AB，AD，AP两两垂直以为正交基底，建立空间直角坐标系，求平面PCD的一个法向量为，由空间向量的线面角公式求解即可；（2）设 ，利用平面PCD，所以，得到的方程，求解即可确定M,N的位置【详解】（1）由题意知，AB，AD，AP两两垂直以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则从而设平面PCD的法向量则即不妨取则所以平面PCD的一个法向量为 设直线PB与平面PCD所成角为所以即直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 （2）设则设则而所以由（1）知，平面PCD的一个法向量为，因为平面PCD，所以所以解得，所以M为AB的中点，N为
32、PC的中点 【点睛】本题考查空间向量的应用，求线面角，探索性问题求点位置，熟练掌握空间向量的运算是关键，是基础题（吉林省吉林市普通中学2019届高三第三次调研测试理科数学试题）19.如图所示，四棱锥中，平面，为的中点.（1）证明：平面；（2）设二面角为，求四棱锥的体积.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）取PC中点F，连接EF，BF，则可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理即可得证.（2）设，则，进而可表示出任意点的坐标。由题意知平面，故平面的一个法向量为，又，设平面的法向量，则其中一条法向量，结合二面角为，可求出，所以即可求出.【详解】解：（1）证明：取中点，连，则，四边
33、形为平行四边形平面，平面平面.（2）以为原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系设，则，平面，故平面的一个法向量为，设平面的法向量，由得.令得，即依题意，解得 .【点睛】本题考查线面平行的判定定理，二面角的求法及四棱锥的体积公式，突破点在于根据二面角求出AB的长度，进而根据体积公式求解，属基础题.（湖南省岳阳市2019届高三第二次模拟考试数学（理）试题）18.如图,矩形和菱形所在的平面相互垂直,为的中点.(1)求证：平面；(2)若,求二面角的余弦值.【答案】()见解析；()【解析】【分析】（1）由面面垂直性质定理可得平面，即，根据菱形的性质可得，结合线面垂直判定定理即可的结果；（2）以为原点
34、，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面以及平面的法向量，求出法向量的夹角即可得二面角的余弦值.【详解】（1）证明：矩形和菱形所在的平面相互垂直，矩形菱形，平面，平面， 菱形中，为的中点.，即，平面. （2）由（1）可知两两垂直，以A为原点，AG为x轴，AF为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，设，则，故，则，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取，得， 设二面角的平面角为，则， 易知为钝角，二面角的余弦值为【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题.（湖南省邵阳市2019届高三上学期10月大联
35、考理科数学试题）20.如图，菱形的边长为4，矩形的面积为，且平面平面.(1)证明：；(2)求二面角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1) 因为四边形是矩形，所以,再由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直；（2）建立坐标系得到各个面的法向量，进而得到夹角的余弦值，再求正弦值.【详解】(1)证明：因为四边形是矩形，所以.因为平面平面，且平面平面，所以平面.又平面，所以.(2)解：设与的交点为，建立如图所示的空间直角坐标系.因为菱形的边长为4，且，所以.因为矩形的面积为8，所以.则，所以，.设平面的法向量为，则，令，则，所以.设平面的法向量为，则，令，则，所以.所以，所以.所
36、以二面角的正弦值为.【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，平面和平面的夹角。求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。面面角一般是要么定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，或者建系来做。（河北省邯郸市2019届高三第一次模拟考试数学（理）试题）19.如图，在多面体中，四边形为正方形，.（1）证明：平面平面.（2）若平面，二面角为，三棱锥的外接球的球心为，求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】证明平面即可证
37、明平面平面（2）由题确定二面角的平面角为，进而推出为线段的中点，以为坐标原点建立空间直角坐标系由空间向量的线面角公式求解即可【详解】（1）证明：因为四边形为正方形，所以，又，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知平面，又，则平面，从而，又，所以二面角的平面角为.以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，则，.因为三棱锥的外接球的球心为，所以为线段的中点，则的坐标为，.设平面的法向量为，则，即令，得.易知平面的一个法向量为，则.由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的判定，空间向量计算线面角，第二问确定球心O的位置是关键，是中档题.（广西梧州市、桂林
38、市、贵港市等2019届高三上学期期末理科数学试题）18.如图，在三棱锥中，平面ABC，且，证明：三棱锥为鳖臑；若D为棱PB的中点，求二面角的余弦值注：在九章算术中鳖臑是指四面皆为直角三角形的棱锥【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由条件已经知道，均为直角三角形，只需证为直角三角形即可得证.（2）利用空间向量求得两个面的法向量，求得即可.【详解】（1），为直角三角形.平面，均为直角三角形.，平面.又平面，为直角三角形.故三棱锥为鳖臑.（2）解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则，则，.设平面的法向量为，则令，则.易知平面的一个法向量为，则.由图可知二面角为锐角，则二面角
39、的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查四面体是否为鳖臑的判断与求法，考查二面角的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查空间向量的应用，是中档题（安徽省蚌埠市2019届高三第一次教学质量检查考试数学（文）试题）18.如图，在四棱锥中，交于点，底面 求证：底面；若是边长为2的等边三角形，求点到平面的距离【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】先推导出，由线面垂直的判定定理能证明平面；以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量垂直数量积为零列方程可得平面的法向量，从而能求出点到平面的距离【详解】证明：在四棱锥中，交于点O，底面ABCD，又，平面PBD以O
40、为原点，OD为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，交于点O，是边长为2的等边三角形，0，0，0，0，0，设平面PBC的法向量y，则，取，得，点到平面PBC的距离【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查向量法求点到平面的距离的求法，考查线面垂直的判定定理，是中档题解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于
41、另一个平面.（福建省2019届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列数学(理科)适应性练习（一）18.如图，等腰梯形中,为的三等分点，以为折痕把折起，使点 到达点的位置，且与平面所成角的正切值为（1）证明:平面平面；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据折叠前后关系可得再根据线面垂直判定定理可得，最后根据面面垂直判定定理得结果，（2）作，垂足为，则易得平面，过作，交于.以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解得各面法向量，利用向量数量积解得法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.【详解】（1）证明：依题意得，
42、所以， 因为，所以平面平面 （2）假设，由（1）过作，垂足为，则平面， 过作，交于.以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则 设平面的法向量为，则 即令，得为平面的一个法向量. 同理可得平面的一个法向量为， ， 所以二面角的余弦值为【点睛】本题考查空间直线、平面垂直的判定与性质、二面角的求解及空间向量的坐标运算基础知识；考查空间想象能力、推理论证及运算求解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想（黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第一次模拟考试（内考）数学（理）试题）19.如图所示，在四棱台中，底面，四边形为菱形，.（1）若为中点，求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）连接，可证 ，又因为底面，可得，即可得证.（2）如图建立空间直角坐标系，求出和平面 的一个法向量的坐标，则直线与平面所成角的正弦值.试题解析：（）四边形为菱形，连结，则为等边三角形，又为中点，由得底面，底面，又平面（）四边形为菱形，得， 又底面，分别以，为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系、，设平面的一个法向量，则有，令，则直线与平面所成角的正弦值点晴：本题考查的空间的线面关系以及空间的角.第一问通过证明直线和平面内的两条相交直线垂直，证明平面；第二问中通过建立空间直角坐标系，求得和平面的一个法向量，结合得到结论.