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1、第二课时 等比数列的性质及应用,目标导航,新知导学,课堂探究,等比数列的常用性质,新知导学素养养成,qn-m,aman,思考:你能证明等比数列下面的性质吗? 若等比数列an中,m,n,s,tN*且m+n=s+t,则aman=asat.,利用等比数列的性质解题 (1)基本思路:充分发挥项的“下标”的指导作用,分析等比数列项与项之间的关系,选择恰当的性质解题;,名师点津,(2)优缺点:简便快捷,但是适用面窄,有一定的思维含量.,课堂探究素养提升,题型一 等比数列性质的应用,(2)若an0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5; (3)若an0,a5a6=9,求log3a1+log3a
2、2+log3a10的值.,(3)由等比数列的性质知 a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9, 所以log3a1+log3a2+log3a10=log3(a1a2a10) =log3(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6) =log395=10.,方法技巧,有关等比数列的计算问题,基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组,先解出a1和q,然后利用通项公式求解,但有时运算稍繁,而利用等比数列的性质解题,却简便快捷,为了发现性质,要充分发挥项的“下标”的指导作用.,即时训练1-1:在等比数列an中,各项都是正数,a6a10+a3a5=41,a4a8=4,
3、则a4+a8= .,答案:7,备用例1(2019宿州检测)在等比数列an中. (1)已知a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值; (2)已知a1+a2=324,a3+a4=36,求a5+a6的值.,题型二 巧设“对称项”解等比数列问题,例2有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.,方法技巧,即时训练2-1:已知三个数成等比数列,它们的积为27,它们的平方和为91,求这三个数.,备用例2(1)三个数成等比数列,若第二个数加4就成等差数列,再把这个等差数列的第三项加32又成等比数列,求这三个数;,(2)有
4、四个数成等比数列,将这四个数分别减去1,1,4,13,则成等差数列,求这四个数.,题型三 等差、等比数列的综合应用 例3在公差d不为零的等差数列an和等比数列bn中,已知a1=1,且a1=b1,a2=b2,a8=b3. (1)求数列an的公差d和数列bn的公比q;,(2)是否存在常数a,b使得对于一切正整数n,都有an=logabn+b成立,若存在,求出a和b;若不存在,说明理由.,方法技巧,求解等差、等比数列的综合问题的技巧 (1)理清各数列的基本特征量,明确两个数列间各量的关系.,(2)发挥两个数列的基本量a1,d或b1,q的作用,并用好方程这一工具. (3)结合题设条件对求出的量进行必要
5、的检验.,备用例3(1)在公差为d的等差数列an中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列. 求d,an;,解:(1)由题意得,a15a3=(2a2+2)2, 由a1=10,an为公差为d的等差数列得,d2-3d-4=0, 解得d=-1或d=4, 所以an=-n+11(nN*)或an=4n+6(nN*).,若d0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.,(2)(2019宝鸡中学月考)设an是公比为q的等比数列,且a1,a3,a2成等差数列. 求q的值;,设bn是以2为首项,q为公差的等差数列,其前n项和为Sn,当n2时,比较Sn与bn的大小,并说明理由.,例4已知四个实数-9
6、,a1,a2,-1成等差数列,五个实数-9,b1,b2,b3,-1成等比数列,则b2(a2-a1)的值为 .,题型四 易错辨析忽视题目的隐含条件致误,答案:8,答案:-8,学霸经验分享区,(1)在准确掌握等比数列的定义及通项公式的前提下认识等比数列的性质,可以提高解题速度与解题的准确率.,(2)对于等比数列基本量之间的运算应先考虑是否能用性质解决,然后再考虑是否能列出关于a1,d的方程组.,1.公比为2的等比数列an的各项都是正数,且a3a11=16,则a5等于( ) (A)1 (B)2 (C)4 (D)8,课堂达标,A,2.将公比为q的等比数列an依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2,
7、a2a3,a3a4,.此数列是( ) (A)公比为q的等比数列 (B)公比为q2的等比数列 (C)公比为q3的等比数列 (D)不一定是等比数列,B,D,4.设数列an为公比q1的等比数列,若a4,a5是方程4x2-8x+3=0的两根,则a6+a7= .,答案:18,答案:455,5.在7和56之间插入a,b两数,使7,a,b,56成等差数列,插入c,d两数,使7,c,d,56成等比数列,则a+b+cd= .,解析:因为7,a,b,56成等差数列, 所以a+b=7+56=63. 又因为7,c,d,56成等比数列, 所以cd=756=392, 所以a+b+cd=63+392=455.,点击进入 课时作业,