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1、高二文科数学选修11 试题 1. 已知 P:（2x3） 23 C.a3 D.a3 9. 已知二次函数 2 ( )f xaxbxc的导数为( )fx，(0)0f，对于任意实数x都有( )0f x， 则 (1) (0) f f 的最小值为 ( ) A 3B 2C 5 2 D 3 2 10.已知双曲线1 36 22 yx 的焦点为 F1、 F2， 点 M 在双曲线上 ,且 MF1x 轴，则 F1到直线 F2M 的距离为 ( ) A. 5 63 ；B. 6 65 ；C. 5 6 ；D. 6 5 二、填空题：（每题 5 分，共 20 分） 11. 函数 2 2 1 ln)(xxxf在2 , 2 1 上的
2、极大值是. 12.椭圆 2 25 x + 2 9 y =1 上各点与其左焦点所连线段中点的轨迹方程为. 13. 曲线 3 1yxx在点（ 1 , 3）处的切线方程是 _. 14.过抛物线 y 2=4x 的焦点，作倾斜角为 4 的直线交抛物线于P、Q 两点， O 为坐标原点，则 POQ 的面积为 _ 三、解答题： 15.（12 分）设命题 p：对于任意实数 x，不等式 2 10xxa恒成立，命题 q：关于 x 的方 程 x22xa=0 在2 2 ， 有两个不相等的实根，若pq为真， pq为假，求实数 a 的取值 范围 16. （12 分） 在椭圆 40 x 2 10 y 2 =1 内有一点 M(
3、4, 1),弦 AB 的中点正好为点 M，求弦 AB 所在 的直线的方程。 17. （14 分） 用长为 18 m的钢条围成一个长方体的框架， 要求长方体底面的长与宽之比为21， 则该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 18. （14 分）已知函数 f（x）=2ax 3+bx26x 在 x= 1处取得极值 (1) 讨论 f（1）和 f（1）是函数 f（x）的极大值还是极小值 ; (2) 试求函数 f（x）在区间 3,2 上的最值。 19 （14 分）一条斜率为 1 的直线 l 与离心率为3的双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 交于,P Q两 点，直线 l
4、 与 y 轴交于 R点,且3,4,OP OQPQRQ求直线与双曲线的方程 . 20. （14 分）设函数 1 ( )ln().f xxax aR x (I)讨论( )f x的单调性； （II）若( )f x有两个极值点 12 xx和，记过点 1122 (,(),(,()A xf xB xf x的直线的斜率为 k ，问： 是否存在a，使得2?ka 若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由 高二文科数学十二月月考试题参考答案： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D D A C C C C B C 11 2 1 ；12. 2 24 25 x + 2 4 9 y =1 1341yx; 14
5、. 22. 15 解：(1)由1410a得 3 4 a，即 p 为真命题时，实数a 的取值范围是 3 4 a. 若关于 x 的方程 x22xa=0 在2 2 ， 有两个不相等的实根，则 由于顶点 x12,2 所以 440 ( 2)44001 (2)440 a faa fa 即 q 为真时，实数 a 的取值范围是 01a. 由“pq或” 为真同时 “pq且” 为假，故 p q,必一真一假 . 当 p真 q假时： 3 , 4 01. a aa或 解此不等式组，得0a； 当 p假 q真时： 3 , 4 01. a a 解此不等式组，得 3 1 4 a. 综上，得实数 a 的取值范围 3 |01 4
6、a aa或. 16解：设直线 AB 的斜率为 k，则 y1=k(x4), 与椭圆 40 x 2 10 y 2 =1 联立， 消去 y得(14k 2)x2(32k28k)x400， x1x2= 2 2 k41 k8k32 =8, 解得 k=1, AB 的方程是 xy5=0 17. 解：设长方体的宽为x m，则长为 2x m，高为 h1812x 4 4.53x(0x 3 2)故长方体 的体积为 V(x)2x2(4.53x)9x26x3(0x 3 2)，从而 V( x)18x18x 218x(1x)令 V( x) 0，得 x0(舍去)或 x1.当 0x1 时，V(x)0；当 1x 3 2时，V( x
7、)0，故在 x1 处 V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值，从而最大体积 VV(1)9 1 26 133， 此时长方体的长为2 m，高为 1.5 m即当长方体的长为2 m、宽为 1 m、高为 1.5 m时，体积 最大，最大体积为3 m 3 . 18 （1）f（x）=2x 36x; 故 f（1）= 4 是极小值 ,f（1）=4 是极大值 （2）最大值为 f（1）=f(2)=4, 最小值为 f（3）=36 19解：由 2222 332ecaba双曲线方程为 222 22xya 设直线 1122 :,(0,),(,),(,)lyxm RmP xyQ xy 则 12 222 2222
8、2 12 2 220(1) 222 xxmyxm xmxma xyax xma 又因为3,4,OQPQRQOP 则有： 2 12121212 32()30.(3)x xy yx xm xxm 21212 21221 43 .(2) 4()34 xxxxx yyymyym 由（1） ， （2）得 22 21 ,3,xm xm ma代入（ 3）得 22 1,1ma 22 1,1,2mab 所以，所求的直线与双曲线方程分别是 2 2 1,1 2 y yxx 20.解析： （I）( )f x的定义域为(0,). 2 22 11 ( )1 axax fx xxx 令 2 ( )1,g xxax其判别式
9、2 4.a (1)当| | 2,0,( )0,afx时 故 ( )(0,)f x 在 上单调递增 (2)当2a时, 0,g(x)=0的两根都小于 0，在(0,)上，( )0fx，故( )(0,)f x 在上单 调递增 (3)当2a时, 0,g(x)=0的两根为 22 12 44 , 22 aaaa xx， 当 1 0xx时，( )0fx；当 12 xxx时，( )0fx；当 2 xx时，( )0fx，故( )f x分 别在 12 (0,),(,)xx上单调递增，在 12 (,)xx上单调递减 （II）由（ I）知，2a 因为 12 121212 12 ()()()(lnln) xx f xf xxxaxx x x ，所以 1212 121212 ()()lnln1 1 f xf xxx ka xxx xxx 又由(I)知， 12 1x x于是 12 12 lnln 2 xx ka xx 若存在a，使得2.ka 则 12 12 lnln 1 xx xx 即 1212 lnlnxxxx亦即 222 2 1 2ln0(1)(*)xxx x 再由（ I）知，函数 1 ( )2lnh ttt t 在(0,)上单调递增，而 2 1x，所以 22 2 11 2ln12ln10. 1 xx x 这与(*)式矛盾故不存在a，使得2.ka