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1、第 1 页 共 1 页 2018年高二数学逻辑用语经典讲义教师用 第一讲命题及其关系、充分条件与必要条件 2018 年考试大纲要求 1理解命题的概念 2了解“若p，则 q”形式的命题及其逆命题、 否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系 3理解必要条件、充分条件与充要条件的意义 知识要点 1四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性 两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系 必记结论 由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化 为判断它的逆否命题的真假 提醒 易混否
2、命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题 的结论 2充分条件、必要条件与充分必要条件的概念 若 p? q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件 p 是 q 的充分不必要条件 p? q 且 qp p 是 q 的必要不充分条件 pq 且 q? p p 是 q 的充分必要条件p? q p 是 q的既不充分也不必要条件 pq 且 qp 经典例题 1已知 a，b，cR，命题“若abc3，则 a 2b2c23”的否命题是 () A若 abc3，则 a 2b2c23 B若 abc3，则 a 2 b2c23 第 2 页 共 2 页 C若 abc3，则 a 2 b
3、2c23 D若 a 2b2 c2 3，则 a bc3 解析： 同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题 答案： A 2命题“若a 2b，则 bab”的逆否命题为() A若 a 2b，则 a b或 ab B若 a 2b，则 a b或 ab C若 ab或 ab，则 a 2b D若 ab或 ab，则 a 2b 解析： 因为 “a2b”的否定为 “ a2 b”，“ bab”的否定为 “ab或 ab”，所以 逆否命题为 “ 若 ab或 ab，则 a2b” 答案： C 3(2018 唐山模拟 )已知 a，b 为实数，则“a 3b3”是“ 2a2b”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件
4、C充要条件 D既不充分又不必要条件 解析： 由于函数yx3，y2x在 R 上单调递增，所以a3 b3? a b? 2a2b，即 “a3b3”是“2a 2 b”的充要条件 答案： C 4已知命题p：“正数a 的平方不等于0”，命题q：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是 p 的() A逆命题B否命题 C逆否命题D否定 解析： 命题 p：“正数 a 的平方不等于0”写成 “若 a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是 p 的否命题 答案： B 5(2016 高考四川卷 )设 p：实数x， y 满足 x1 且 y1， q：实数x，y 满足 xy 2，则 p 是 q 的 () A充分不必
5、要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 第 3 页 共 3 页 解析： x1， y 1， xy2，即 p? q. 而当 x0，y3 时，有 xy3 2，但不满足x1 且 y1，即 qp故 p 是 q 的充分不必要条 件 答案： A 6命题“对任意x 1,2)，x 2a0”为真命题的一个充分不必要条件可以是 () Aa 4Ba4 Ca 1 Da1 解析： 要使 “对任意 x1,2)， x2 a0”为真命题，只需要a4， a4 是命题为真的充分不必要 条件 答案： B 易错通关 1易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的 结论 2易
6、忽视 A 是 B 的充分不必要条件(A? B 且 BA)与 A 的充分不必要条件是B(B? A 且 AB)两者 的不同 小题纠偏 1设 a，b均为非零向量，则“ab”是“ a 与 b的方向相同”的_条件 答案： 必要不充分 2“在 ABC 中，若 C90 ，则 A，B 都是锐角”的否命题为：_. 解析： 原命题的条件：在ABC 中， C90 ， 结论： A，B都是锐角否命题是否定条件和结论， 即“在 ABC 中，若 C 90 ，则 A，B 不都是锐角 ” 答案： 在 ABC 中，若 C90 ，则 A，B 不都是锐角 课堂练习 1. 设 m R,命题 “ 若 m0,则方程 x 2+x-m=0 有
7、实根 ” 的逆否命题是 () A.若方程 x 2+x-m=0 有实根 , 则 m0 B.若方程 x 2+x-m=0 有实根 , 则 m 0 C.若方程 x 2+x-m=0 没有实根 , 则 m0 D.若方程 x 2+x-m=0 没有实根 , 则 m 0 第 4 页 共 4 页 2.(2018陕西五校三模 ) 已知命题p: “ 正数 a的平方不等于0” , 命题 q: “ 若 a 不是正数 , 则它的平方等于0” , 则 q 是 p 的() A.逆命题B. 否命题C.逆否命题D.否定 3. 设 a,b 是实数 , 则“ ab” 是“ a 2b2” 的 ( ) A.充分而不必要条件B. 必要而不充
8、分条件 C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 4.(2015安徽 ,3,5分) 设 p:x0 C. ? ? 1D. ? ? b, 则 ac 2bc2” 以及它的逆命题、否命题、逆否命题中 , 真命题的个数为 () A.0B.1C.2D.4 8. 直线 x-y+m=0 与圆 x 2+y2-2x-1=0 有两个不同交点的一个充分不必要条件是 () A.-3b, 则 a 2b2 ” 的否命题 ; 第 5 页 共 5 页 “ 若 x+y=0, 则 x,y 互为相反数 ” 的逆命题 ; “ 若 x 21，则 x0”的否命题是_ 答案： 若 x1，则 x0 16如果 “ x 21” 是“ x1，得
9、x1， 又“ x21” 是“ x1” ，反之不成立，所以 a1，即 a 的 最大值为 1. 答案： 1 第二讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 第 9 页 共 9 页 2018 年考试大纲要求 1了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义 2理解全称量词与存在量词的意义 3能正确地对含有一个量词的命题进行否定 知识点总结 1简单的逻辑联结词 (1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词 (2)命题 p 且 q、p 或 q、非 p 的真假判断 p q p 且 q p 或 q 非 p 真真真真假 真假假真假 假真假真真 假假假假真 必记结论 1真值表中 “p 且 q”全真才真， “p 或 q”全假才假
10、2“或”“ 且” 联结词的否定形式：“p 或 q”的否定是 “非 p 且非 q”； “p且 q” 的否定是 “非 p 或非 q” 2全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“? ”表示；含有全称 量词的命题叫做全称命题 (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“? ”表示；含有 存在量词的命题叫做特称命题 必记结论 1判定全称命题为真，需证明对任意xM，p(x)恒成立；判定全称命题为假，我们只需找到一个x M，使 p(x)不成立即可 2判定特称命题为真，只需找到一个xM，使 p(x)成立即可；判定特称命题为假，
11、需证明对任意x M，p(x)均不成立 3含有一个量词的命题的否定 第 10 页 共 10 页 命题命题的否定 ? xM，p(x)? x0M，非 p(x0) ? x0M，p(x0) ? xM，非 p(x) 必记结论 对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否 定，否则易出错 经典例题 1命题“ ? x00，x 2 00”的否定是 ( ) A? x0，x 20 B? x0，x20 C? x00，x 2 00 D? x00，x2 00 答案： A 2已知命题p：对任意x R，总有 |x|0； q：x1 是方程 x20 的根 则下列命题为真命题的是() Ap非
12、 qB非 pq C非 p非 qDpq 解析： 由题意知命题p是真命题，命题q 是假命题，故非p 是假命题，非q 是真命题，由含有逻辑联 结词的命题的真值表可知p非 q 是真命题 答案： A 3已知命题p：“ x 3”是“ x 2 9”的充要条件，命题 q：“ a 2b2”是“ ab”的充要条件，则 () Ap q为真Bpq 为真 Cp 真 q 假Dpq 为假 解析： 由 x 3能够得出x29，反之不成立，故命题p 是假命题；由a2b2可得 |a|b|，但 a 不一定 大于 b，反之也不一定成立，故命题q 是假命题所以pq 为假 答案： D 4(2018 唐山模拟 )已知命题p：? x0N， x
13、 3 0 x 2 0；命题 q：? a(0,1)(1， )，函数 f(x) loga(x 1)的图象过点 (2,0)，则 () Ap 假 q 真Bp 真 q 假 Cp 假 q 假Dp 真 q 真 解析： 由 x3 0x 2 0，得 x 2 0(x01)0，解得 x0 0 或 0x01，在这个范围内没有自然数，命题p 为 假命题；对任意的a(0,1)(1， )，均有 f(2) loga10，命题 q为真命题 答案： A 5下列四个命题： 第 11 页 共 11 页 p1：对任意 xR，都有 2x0； p2：存在 xR，使得 x 2x 10； p3：对任意 xR，都有 sin x2x； p4：存在
14、 xR，使得 cos xx 2x1. 其中的真命题是() Ap1，p2Bp2，p3 Cp3，p4Dp1，p4 解析： 由指数函数的性质可知p1为真命题；x2x1 x 1 2 23 40 恒成立， p2 为假命题； sin 3 2 1 2 3 2 ， p3为假命题；当x 1 2时， cos xcos 6 3 2 1 2 2 1 2 1， p4为真命题故选D. 答案： D 6若命题“对 ? xR，kx 2kx1 0”是真命题，则 k的取值范围是 _ 解析： “ 对? xR， kx 2kx10”是真命题，当 k 0 时，则有 10；当 k0 时，则有k0 且 (k) 24k(1)k24k0，解得 4
15、k0，综上所述，实数 k 的取值范围是(4,0 答案： (4,0 易错通关 1注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定； 2注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或” 小题纠偏 1命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是_ 答案： 存在两个全等三角形的面积不相等 2命题“若ab0，则 a0 或 b0”，其否定为_ 答案： 若 ab0，则 a0 且 b0 课堂练习 1.(2015湖北 ,3,5分) 命题 “ ? x0(0,+ ),lnx0=x0-1 ” 的否定是 () A.? x(0,+ ),lnxx-1 B.? x?(0,+ ),ln
16、x=x-1 C.? x0(0,+ ),lnx0 x0-1 D.? x0?(0,+ ),lnx 0=x0-1 2.(2015浙江 ,4,5分) 命题 “ ? nN *,f(n) N *且 f(n) n” 的否定形式是() 第 12 页 共 12 页 A.? nN * ,f(n)?N *且 f(n)n B.? nN * ,f(n)?N *或 f(n)n C.? n0N *,f(n 0) ?N *且 f(n 0)n0 D.? n0N *,f(n 0) ?N *或 f(n 0)n0 3. 已知命题p: 对任意 xR,总有 |x| 0;q:x=1是方程 x+2=0 的根 . 则下列命题为真命题的是()
17、A.p(?q)B.(?p) q C.(?p) (?q)D.pq 4. 下列命题中的假命题为() A.? xR,e x0 B. ? xN,x 2 0 C.? x0R,lnx 0x2 C.a+b=0 的充要条件是 ? ? =-1 D.“ a1,b1 ” 是“ ab1” 的充分条件 7.(2016云南昆明一中考前强化) 已知命题p: ? xR,x+ 1 ? 2; 命题 q: ? x 0, 2 , 使 sinx+cosx=2, 则下列 命题中 , 为真命题的是 () A.(?p) qB.p (?q) C.(?p) (?q)D.pq 8. 已知命题p: ? x0R,使 sinx0= 5 2 ; 命题 q
18、: ? xR,都有 x 2+x+10, 给出下列结论 : 命题 “ pq” 是真命题 ; 命题 “ p(?q) ” 是假命题 ; 命题 “ (?p) q” 是真命题 ; 命题 “ (?p) (?q) ” 是假命 题. 第 13 页 共 13 页 其中正确的结论是() A.B.C.D. 9. 命题 p 的否定是 “ 对所有正数x,? x+1” ,则命题 p 是. 10. 已知命题p:a 2 0(a R), 命题 q: 函数 f(x)=x2 -x 在区间 0,+ )上单调递增 , 则下列命题 : pq; pq; (?p) (?q); (?p) q. 其中为假命题的序号为. 11. 若命题 p: 关于 x 的不等式ax+b0 的解集是 ? |x - ? ? ,命题 q: 关于 x 的不等式 (x-a)(x-b)0 14命题“ ? xR， |x| x 20”的否定是 _ 答案： ? x0 R， |x0|x2 00 15设命题p：函数ysin 2x 的最小正周期为 2；命题 q：函数ycos x 的图象关于直线x 2对 称则下列判断正确的是_ p 为真非 q 为假 pq 为假 pq 为真 第 17 页 共 17 页 非 p非 q为真非 (pq)为真 解析： p、q 均为假，故p q为假， pq为假 非 p非 q为真， 非(pq)为真 答案：