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1、第 1 页 共 1 页 函数与方程 一、课标解读： 1.了解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间； 2.能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数； 3.根据具体的函数图象，能够用二分法求相应方程的近似解； 4.体会函数与方程的内在联系，初步建立用函数方程思想解决问题的思维方式 二、知识梳理： 方程的根与函数的零点 1.函数零点的概念： 对于函数yfxxD把使0fx成立的实数 x叫做函 y fxxD的零点 . 2.函数零点的意义： 函数)(xfy的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy的图象与 x轴交点的横坐标 . 即方程0)(xf有实
2、数根函数)(xfy的图象与x轴有交点函数)(xfy有零点 3.二次函数的零点：二次函数)0( 2 acbxaxy 0时，方程 0 2 cbxax有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两 个零点 0，方程0 2 cbxax有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个 二重零点或二阶零点 0 ，方程 0 2 cbxax无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点 三、方法归纳： 1、函数零点的求法： （1） （代数法）求方程0)(xf的实数根； （2） （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的 性质找出零点 2
3、、对于一元二次方程根的分布问题，可以利用一元二次方程和二次函数的关系，借助图象来处理. 四、课堂例题精讲： 第 2 页 共 2 页 1.若函数 2 fxxaxb 的两个零点是2 和 3，则函数 2 1g xbxax的零点是 _ 答案： 1 2 和 1 3 解析：由题意，得 2 2 220 330 ab ab ，解得 5 6 a b . 2 651g xxx，令0g x，很容易得到其零点为 1 2 和 1 3 . 2.求函数132)( 3 xxxf零点的个数为. 答案： 3 解析：因 332 ( )2312212 (1)(1)f xxxxxxx xx 2 (1)(221)xxx， 又 2 221
4、0xx显然有两个实数根，故132)( 3 xxxf共三个零点 . 3.已知11yx xx的图象如图所示，今考虑110.01fxx xx，则方程0fx 有三个实根； 当1x时，恰有一实根（有一实根且仅有一实根）； 当10x时，恰有一实根； 当 01x时，恰有一实根； 当1x时，恰有一实根 则正确结论的编号为. 答案： 解析：22310.015.990f，10.010f，即210ff， 在2, 1 内有一个实根 由图中知，方程0fx在, 1 上只有一个实根，所以正确； 又00.010f，由图知0fx在1,0 上没有实数根，所以不正确； 又0.50.50.51.50.010.3650f，10.010
5、f，即0.510ff， 所以0fx在0.5,1 上必有一个实根， 又0.500ff，0fx在 0,0.5 上也有一个实根 0fx在 0,1 上有两个实根，不正确； 由10f且 fx 在 1,上是增函数，0fx在 1,上没有实根不正确 并且由此可知也正确 4.若函数 x fxaxa（0a且1a）有两个零点，则实数a 的取值范围是. 答案：1a 解析：设函数 (0, x yaa且 1a）和函数yxa， 第 3 页 共 3 页 则由函数 x fxaxa（0a且1a）有两个零点，知 函数(0, x yaa且1a）与函数yxa有两个交点， 由图象可知当10a时两函数只有一个交点，不符合， 当1a时，函数
6、(1) x yaa的图象过点0,1 ， 而直线yxa所过的点一定在点0,1 的上方，所以一定有两个交点. 所以实数a 的取值范围是1a . 5.当关于x的方程的根满足下列条件时，求实数a的取值范围： （1）方程 2 340axxa的两根都小于1； （2）方程02 2 axx至少有一个实根小于1 解析： （1）当0a时，0x满足题意 当0a时，设 2 ( )34f xaxxa. 若要方程两根都小于1，只要 2 33 9160 44 33 10 22 3(1)0 0 5 a a aa a af aa 或 或 3 0 4 a 综上，方程的根都小于1 时， 3 0 4 a （2）设 2 ( )2f x
7、xax，若方程的两个实根都小于1， 则有 2 80 2 222 12 2 3 ( 1)0 a aa a a a f 或 2 23a 若方程的两个根一个大于1，另一个小于1，则有( 1)30fa，3a 若方程的两个根中有一个等于1，由根与系数关系知另一根必为2， 12a，3a 综上，方程至少有一实根小于1时，2 2a 6.已知二次函数 2 ( )f xaxbxc和一次函数( )g xaxb，其中abc，且(1)0f， （1）求证：两函数( )f x、( )g x的图象交于不同两点A、B； 第 4 页 共 4 页 （2）求线段AB在x轴上投影 11 AB长度的取值范围 解析： （1）(1)0fab
8、c，abc，0a，0c 由 2 yaxbxc yaxb 得 2 ()0axba xcb， 因为 2 ()40baac，所以两函数( )f x、( )g x的图象必交于不同的两点； （2）设 11 (,)A x y， 22 (,)B xy，则 2 11 |AB 22 12 ()(2)4 c xx a 0abc，abc， 1 2 2 c a ， 11 |AB（ 2 3 ，32） 7.关于 x 的二次方程 2 110xmx在区间0,2 上有解，求实数m 的取值范围 解析：设 2 11fxxmx，0,2x， 若0fx在区间0,2 上有一解，010f，则应有20f， 又 2 22121fm，解得 3 2
9、 m. 若0fx在区间0,2 上有两解， 则 0 1 02 2 20 m f ，即 2 140 31 41210 m m m ，解得 3 1 2 m 由可知1m. 五、课堂训练： 1.已知函数2 x fxexa 有零点，则a 的取值范围是_ 答案：,2ln 22 解析：设 x g xe ，2h xxa ，当两条曲线相切时，函数有零点，再通过图像即可得到答案. 2.设全集为R，集合|sin(2), 642 Ay yxx，集合|RBa关于 x 的方程01 2 axx的 根一个在0,1 上，另一个在1,2 上 . 求（ RA）（RB）. 解析：由2 422 xx得， 51 2,sin(2)1 366
10、26 xx， 第 5 页 共 5 页 即 1 |1 2 Ayy，RA 1 |1 2 y yy或 又关于 x 的方程01 2 axx的根一个在0,1 上，另一个在1,2 上， 设函数1)( 2 axxxf， 则满足 (0)0, 20 (1)0, 520 (2)0, f a f a f 即， 5 2 2 a 5 |2 2 R Baaa或 （ RA） （RB） 15 | 21 22 xxxx或或 3.设 1 x与 2 x分别是实系数方程 2 0axbxc和 2 0axbxc的一个根，且 1212 ,0,0xx xx， 求证：方程 2 0 2 a xbxc 有且仅有一根介于 1 x和 2 x之间 .
11、解析：令 2 ( ), 2 a f xxbxc由题意可知 22 1122 0,0axbxcaxbxc 故 22 1122 ,bxcaxbxcax 则 2222 111111 (), 222 aaa f xxbxcxaxx 2222 222222 3 (), 222 aaa f xxbxcxaxx 因为 12 0,0,0axx 12 ()()0f xf x， 即方程 2 0 2 a xbxc有且仅有一根介于 1 x和 2 x之间 . 4.已知函数421 xx fxm有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点 解析：421 xx fxm有且仅有一个零点，即方程 2 2210 xx m仅有一个
12、实根 设 20 x t t，则 2 10tmt. 当 0 时，即 m240，2m， 当 m 2 时， t1；m2 时， t 1（不合题意，舍去） ， 2x1，解得 x0 符合题意 当 0时，即 m2 或 m0 的解集是 _ 3.若函数 2 ( )4f xxxa的零点个数为3，则a_. 4.当关于x的方程的根满足下列条件时，求实数a的取值范围： （1）方程 22 70xaxa的两个根一个大于2，另一个小于2； （2）方程 22 (4)2530xaxaa的两根都在区间 1,3上； （3）方程 22 7(13)20xaxaa的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上； 5.已知 a 是实数
13、，函数f（ x） 2ax 22x3 a.如果函数 yf（ x）在区间 1，1上有零点，求a 的取值 范围 参考答案： 1.6m或2m 2. x| 3 20，即（ 4x 22x6）0? 2x2x30， 故解集为x| 3 2x1 3. 答案： 3 解析：作出函数 2 4yxx与函数4y的图象，发现它们恰有3个交点 . 4. 解析：（1）设 22 ( )70f xxaxa，其图象为开口向上的抛物线 若要其与x轴的两个交点在点(2,0)的两侧，只需(2)0f， 即 2 4270aa，13a （2）设 22 ( )(4)253f xxaxaa 第 7 页 共 7 页 则方程两个根都在 1,3上等价于：
14、2 2 2 ( 1)0 340 (3)0 0 4 13 62 2 4 (32)0 ()0 2 f aa f aa a a a a f 01a （3）设 22 ( )7(13)2f xxaxaa， 则方程一个根在(0,1)上，另一根在(1,2)上等价 2 2 2 20 (0)0 (1)0280 (2)0 30 aa f faa f aa 12 24 03 aa a aa 或 或 21a或34a 5.解析：当0a时，( )23f xx，显然在1 , 1上没有零点，所以0a. 令 2 48382440aaaa， 解得 37 2 a 当 37 2 a时，yfx恰有一个零点在1,1上； 当05111aaff，即15a时，yfx在1,1上也恰有一个零点. 当yfx在1,1上有两个零点时， 则 2 0 82440 1 11 2 10 10 a aa a f f 或 2 0 82440 1 11 2 10 10 a aa a f f 解得5a或 35 2 a . 综上所求实数a的取值范围是1a或 35 2 a.