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1、1 第二节函数的单调性与最值 考纲传真 (教师用书独具 )1.理解函数的单调性、最大 (小)值及其几何意义 .2.会 运用基本初等函数的图象分析函数的性质 基础知识填充 1增函数、减函数 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，区间 D? I，如果对于任意 x1，x2D，且 x1x2，则都有： (1)f(x)在区间 D 上是增函数 ? f(x1)f(x2)； (2)f(x)在区间 D 上是减函数 ? f(x1)f(x2) 2单调性、单调区间的定义 若函数 yf(x)在区间 D 上是增函数或减函数， 则称函数 yf(x)在这一区间上 具有(严格的 )单调性，区间 D 叫做 yf(x)的单调区间
2、3函数的最值 前提设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足 条件 对于任意的 xI，都有 f(x)M； 存在 x0I，使得 f(x0)M 对于任意的 xI，都有 f(x)M； 存在 x0I，使得 f(x0)M 结论M 是 yf(x)的最大值M 是 yf(x)的最小值 知识拓展 函数单调性的常用结论 (1)对? x1，x2D(x1x2)， f x1f x2 x1x2 0? f(x)在 D 上是增函数， f x1f x2 x1x2 0? f(x)在 D 上是减函数 (2)对勾函数 yxa x(a0)的增区间为 (， a和a，)，减区间为 2 a，0)和(0，a (3)在区间 D 上
3、，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数 (4)函数 f(g(x)的单调性与函数yf(u)和 ug(x)的单调性的关系是 “同增异 减” 基本能力自测 1(思考辨析 )判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)对于函数 f(x)， xD， 若对任意 x1， x2D， x1x2且(x1x2) f(x1)f(x2)0， 则函数 f(x)在区间 D 上是增函数 () (2)函数 y 1 x的单调递减区间是 (， 0)(0， )( ) (3)函数 y|x|是 R 上的增函数 () (4)函数 yx 22x 在区间 3， )上是增函数，则函数 yx22x 的单调递 增区间为 3
4、， )() 答案(1)(2)(3)(4) 2(2017 深圳二次调研 )下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是() Ayx 3 Byx Cy1 x Dy 1 2 x C选项 A，B 中函数在定义域内均为单调递增函数，选项D 为在定义域内 为单调递减函数， 选项 C 中，设 x1x2(x1，x20)， 则 y2y1 1 x2 1 x1 x1x2 x1x2 ， 因为 x1x20，当 x1，x2同号时 x1x20， 1 x2 1 x10，当 x 1，x2异号时 x1x2 0， 1 x2 1 x10，所以函数 y 1 x在定义域上不是单调函数，故选 C 3(教材改编 )已知函数 f(x) 2 x1
5、，x2,6，则 f(x)的最大值为 _，最小 值为_ 2 2 5 可判断函数 f(x) 2 x1在2,6上为减函数，所以 f(x) maxf(2)2， f(x)min 3 f(6) 2 5. 4函数 y(2k1)xb 在 R 上是减函数，则 k 的取值范围是 _ ， 1 2 由题意知 2k10，得 k 1 2. 5f(x)x 22x，x2,3的单调增区间为 _，f(x)max _. 1,38f(x)(x1) 21，故 f(x)的单调增区间为 1,3，f(x) maxf(2)8. (对应学生用书第10 页) 函数单调性的判断 (1)(2017 全国卷 )函数 f(x)ln(x22x8)的单调递增
6、区间是 () A(， 2)B(，1) C(1， ) D(4， ) (2)试讨论函数 f(x)xk x(k0)的单调性 【导学号： 79170017】 (1)D由 x 22x80，得 x4 或 x2. 设 tx 22x8，则 yln t 在 t(0，)上为增函数 欲求函数 f(x)的单调递增区间，即求函数tx 22x8 的单调递增区间 函数tx22x8 的单调递增区间为 (4，)， 函数f(x)的单调递增区间为 (4，) 故选 D (2)法一：由解析式可知，函数的定义域是(，0)(0，)在(0，) 内任取 x1，x2，令 0x1x2，那么 f(x2)f(x1) x2 k x2 x1 k x1 (
7、x2x1) k 1 x2 1 x1 (x2x1) x1x2k x1x2 . 4 因为 0x1x2，所以 x2x10，x1x20. 故当 x1，x2(k，)时，f(x1)f(x2)， 即函数在 ( k，)上单调递增 当 x1，x2(0，k)时，f(x1)f(x2)， 即函数在 (0，k)上单调递减 考虑到函数f(x)xk x(k0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的 单调性，故在 (，k)上单调递增，在 (k，0)上单调递减 综上，函数 f(x)在(，k)和( k，)上单调递增， 在(k，0)和(0， k) 上单调递减 法二：f(x)1 k x 2. 令 f(x)0 得 x 2k，即 x
8、(， k)或 x( k，)，故函数的单调增 区间为 (，k)和( k，) 令 f(x)0 得 x 2k，即 x( k，0)或 x(0， k)，故函数的单调减区间为 (k，0)和(0，k) 故函数 f(x)在(，k)和(k，)上单调递增，在 (k，0)和(0，k) 上单调递减 规律方法 1.函数 yf(g(x)的单调性应根据外层函数yf(t)和内层函数t g(x)的单调性判断，遵循 “同增异减 ”的原则 2利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后应注意差式的分解变形要彻 底 3利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确 易错警示： 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单
9、调区间，如本 5 题(1) 变式训练 1(1)(2016北京高考 )下列函数中，在区间 (1,1)上为减函数的是 () Ay 1 1x Bycos x Cyln(x1) Dy2 x (2)函数 f(x)log1 2(x 24)的单调递增区间是 ( ) A(0， ) B(，0) C(2， ) D(， 2) (1)D(2)D(1)选项 A 中，y 1 1x在(，1)和(1，)上为增函数，故 y 1 1x 在(1,1)上为增函数； 选项 B 中，ycos x 在(1,1)上先增后减； 选项 C 中，yln(x1)在(1，)上为增函数，故yln(x1)在(1,1)上 为增函数； 选项 D 中，y2 x
10、 1 2 x 在 R 上为减函数，故 y2 x 在(1,1)上是减函数 (2)由 x 240 得 x2 或 x2，所以函数 f(x)的定义域为 (，2)(2， )，因为 ylog1 2t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间， 即求函数 tx 24 的单调递减区间，可知所求区间为 (，2) 利用函数的单调性求最值 已知 f(x)x 22xa x ，x1， )，且 a1. (1)当 a 1 2时，求函数 f(x)的最小值； (2)若对任意 x1， )，f(x)0 恒成立，试求实数a 的取值范围 思路点拨 (1)先判断函数 f(x)在1，)上的单调性，再求最小值；(2)根据 6 f(x)
11、min0 求 a 的范围，而求 f(x)min应对 a 分类讨论 解(1)当 a1 2时，f(x)x 1 2x2，f(x)1 1 2x 20，x1，)， 即 f(x)在1，)上是增函数， f(x)minf(1)1 1 212 7 2. 4 分 (2)f(x)x a x2，x1，) 法一：当 a0 时，f(x)在1，)内为增函数 f(x)minf(1)a3. 要使 f(x)0 在 x1，)上恒成立，只需 a30， 3a0. 7 分 当 0a1 时，f(x)在1，)内为增函数， f(x)minf(1)a3， a30，a3，0a1. 综上所述， f(x)在1，)上恒大于零时， a 的取值范围是 (3
12、,1. 12分 法二：f(x)x a x20， x1，x 22xa0， 8 分 a(x 22x)，而 (x22x)在 x1 时取得最大值 3，3a1，即 a 的取值范围为 (3,1. 12分 规律方法 利用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法，若函数 f(x) 在闭区间 a，b上是增函数，则 f(x)在a，b上的最大值为 f(b)，最小值为 f(a) 请思考，若函数 f(x)在闭区间 a，b上是减函数呢？ 变式训练 2(1)函数 f(x) 1 x，x1， x 22，x1 的最大值为 _ (2)(2016 北京高考 )函数 f(x) x x1(x2)的最大值为 _. 7 【导学号： 7917
13、0018】 (1)2(2)2(1)当 x1 时，函数 f(x)1 x为减函数，所以 f(x)在 x1 处取得最 大值，为 f(1)1；当 x1 时，易知函数 f(x)x 22 在 x0 处取得最大值， 为 f(0)2. 故函数 f(x)的最大值为 2. (2)法一： f(x) 1 x1 2， x2 时，f(x)0 恒成立， f(x)在2，)上单调递减， f(x)在2，)上的最大值为 f(2)2. 法二： f(x) x x1 x11 x1 1 1 x1， f(x)的图象是将 y1 x的图象向右平移 1个单位，再向上平移 1个单位得到的 y1 x在1，)上单调递减，f(x)在2，)上单调递减，故
14、f(x)在2，) 上的最大值为 f(2)2. 法三： 由题意可得 f(x)1 1 x1. x2，x11， 0 1 x1 1， 11 1 x12，即 1 x x12. 故 f(x)在2，)上的最大值为 2. 函数单调性的应用 角度 1比较大小 8 (2017河南百校联盟质检 )已知 f(x)2x2 x，a 7 9 1 4，b 9 7 1 5，c log27 9，则 f(a)，f(b)，f(c)的大小顺序为 ( ) Af(b)f(a)f(c) Bf(c)f(b)f(a) Cf(c)f(a)f(b) Df(b)f(c)f(a) B易知 f(x)2 x2x 为单调递增函数，而a 7 9 1 4 9 7
15、 1 4 9 7 1 5b0，c log27 90，所以 f(c)f(b)f(a)，故选 B 角度 2解不等式 (2017 重庆重点高中联合协作体联考 )已知函数f(x)x 3sin x，x( 1,1)，则满足 f(a 21)f(a1)0 的 a 的取值范围是 ( ) A(0,2) B(1，2) C(1,2) D(0，2) B由题意知 f(x)(x) 3sin(x)x3sin x(x3sin x)f(x)，x (1,1)， f(x)在区间 (1,1)上是奇函数； 又 f(x)3x 2cos x0， f(x)在区间 (1,1)上单调递增， f(a21)f(a1)0， f(a1)f(a 21)，
16、f(1a)f(a21)， 11a1， 1a 211， 1aa 21， 解得 1a2，故选 B 角度 3求参数的取值范围 9 (1)若函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的， 则实数a 的取值范围是 () A 1 4， B 1 4， C 1 4，0 D 1 4，0 (2)已知函数 f(x) a2 x1，x1， logax，x1， 若 f(x)在(，)上单调递增， 则 实数 a 的取值范围为 _ (1)D(2)(2,3(1)当 a0 时，f(x)2x3，在定义域 R 上是单调递增的， 故 在(，4)上单调递增； 当 a0 时，二次函数 f(x)的对称轴为 x 1 a， 因为 f(x)
17、在(，4)上单调递增， 所以 a0，且 1 a4，解得 1 4a0. 综上所述，实数 a 的取值范围是 1 4，0 . (2)要使函数 f(x)在 R 上单调递增， 则有 a1， a20， f 1 0， 即 a1， a2， a210， 解得 2a3， 即实数 a 的取值范围是 (2,3 规律方法 1.比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单 调区间内，然后利用函数的单调性解决 2解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性 将“ f” 符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义 10 域 3利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确 定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数 易错警示： (1)若函数在区间 a，b上单调，则该函数在此区间的任意子区间上 也是单调的； (2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接 点的取值