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1、1 与解三角形有关的微专题 专题一判断三角形形状 例 1.在 ABC 中，若 sin A2sin Bcos C，且 sin 2Asin2Bsin2C，试判断 ABC 的形状 若将例题中的“sin A 2sin Bcos C”改为“ bsin Bcsin C” ，其余不变，试解答本题 利用正弦定理判定三角形的形状的两条途径 (1)化边为角 ：将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内 角的关系，进而确定三角形的形状 (2)化角为边 ：将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配 方等 )得到边的关系，如ab，a 2b2c2 等，
2、进而确定三角形的形状 1.(1)在 ABC 中，若 (sin Asin B)(sin Asin B)sin2C，则 ABC 是_三角形 (2)在 ABC 中， a 2tan B b2tan A，试判断三角形的形状 例 2.在 ABC 中，若 (accos B)sin B(bccos A) sin A，判断 ABC 的形状 . 利用余弦定理判断三角形形状的方法 (1)利用余弦定理(有时还要结合正弦定理)把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、 配方等方法得出 边的相应关系，从而判断三角形的形状 (2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解 3.在 ABC 中，角 A，B，
3、C 的对边分别为a，b，c，且 bc2ccos2A 2 ，则 ABC 是 () A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D等腰三角形 课后练习： 1.1 在中，若，则的形状一定是（）ABCcoscosaBbAABC 2 A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D等腰三角形 2. 设的内角所对的边分别为，若，则的形状为 （） A锐角三角形 B 直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 3. ABC中，若 a cosB b cosA ，则该三角形一定是( ) A等腰三角形但不是直角三角形 B直角三角形但不是等腰三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形 4.在ABC中，若 222 sinsinsin
4、ABC，则ABC的形状 是( ) A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D不能确定 5. 在ABC中，60B， 2 bac，则三角形一定是( ) A直角三角形 B 等边三角形 C 等腰直角三角形 D 钝角三角形 6设 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且满足 acos B bcos Ac，则 ABC 是() A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定 7.已知ABC的三个内角A B C, ,所对的边分别为a，b，c，向量(,)mac ba ，(, )nac b, 且mn. ( )求角C的大小； ( )若 22 2sin2sin1 22 AB ，判断ABC的形状 8在 ABC
5、 中，已知 ab a sin B sin Bsin A，且 cos(AB)cos C1cos 2C. (1)试确定 ABC 的形状； (2)求 ac b 的取值范围 与解三角形有关的微专题 专题一判断三角形形状 ABC,A B C, ,a b ccoscossinbCcBaAABC 3 例 1.在 ABC 中，若 sin A2sin Bcos C，且 sin2Asin2Bsin2C，试判断 ABC 的形状 解法一 ：根据正弦定理，得 a sin A b sin B c sin C， 因为 sin 2Asin2Bsin2C，所以 a2b2c2，所以 A 是直角， BC90， 所以 2sin Bc
6、os C2sin Bcos(90 B)2sin 2Bsin A1，所以 sin B 2 2 . 因为 0B90，所以B45， C45，所以 ABC 是等腰直角三角形 法二 ：根据正弦定理，得 a sin A b sin B c sin C， 因为 sin 2Asin2Bsin2C， 所以 a2b2c2，所以 A 是直角 因为 A180 (BC)， sin A2sin Bcos C， 所以 sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C， 所以 sin(BC)0. 又 90BC90，所以BC0，所以 BC， 所以 ABC 是等腰直角三角形 若将例题中的“sin A2
7、sin Bcos C”改为“ bsin Bcsin C” ，其余不变，试解答本题 解： 由正弦定理，设 a sin A b sin B c sin C2R， 从而得 sin A a 2R，sin B b 2R，sin C c 2R. 因为 bsin Bcsin C，sin2Asin2Bsin2C， 所以 b b 2R c c 2R， a 2R 2 b 2R 2 c 2R 2 ， 所以 b2c2，a2b2 c2， 所以 bc， A90. 所以 ABC 为等腰直角三角形 利用正弦定理判定三角形的形状的两条途径 (1)化边为角 ：将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到
8、三个内 角的关系，进而确定三角形的形状 (2)化角为边 ：将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配 方等 )得到边的关系，如ab，a2b2c2等，进而确定三角形的形状 3.(1)在 ABC 中，若 (sin Asin B)(sin Asin B)sin2C，则 ABC 是_三角形 (2)在 ABC 中， a 2tan B b2tan A，试判断三角形的形状 4 解： (1)由已知得sin2Asin2Bsin2C，根据正弦定理知 a 2b2c2，故 b2c2a2.所以 ABC 是直角三 角形故填直角 (2)由正弦定理得： a2Rsin A，b2Rsin B.
9、 因为 a2tan Bb2tan A， 所以 sin 2Asin B cos Bsin 2Bsin A cos A， 即 sin A cos B sin B cos A， 所以 sin Acos Asin Bcos B， 所以 sin 2Asin 2B， 所以 2A2B 或 2A 2B. 即 AB 或 AB 2 ， 所以三角形ABC 为等腰三角形或直角三角形 例 2.在 ABC 中，若 (accos B)sin B(bccos A) sin A，判断 ABC 的形状 . 解法一： 由正弦定理及余弦定理， 知原等式可化为： ac a 2c2 b2 2ac b bcb 2 c2 a2 2bc a，
10、 整理，得 (a 2b2)(a2 b2c2 )0. 所以 a2b2或 a2b2c20， 故ABC 为等腰三角形或直角三角形 法二： 由正弦定理，知原等式可化为： (sin A sin Ccos B)sin B(sin Bsin Ccos A)sin A， 所以 sin Bcos Bsin Acos A，所以 sin 2Bsin 2A， 所以 2B2A 或 2B2A， 所以 AB 或 AB 2 ， 故ABC 为等腰三角形或直角三角形 利用余弦定理判断三角形形状的方法 (1)利用余弦定理(有时还要结合正弦定理)把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、 配方等方法得出 5 边的相应关系，从而判断三角
11、形的形状 (2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解 3.在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 bc2ccos2A 2 ，则 ABC 是 () A直角三角形B锐角三角形 C钝角三角形D等腰三角形 解析： 选 A.因为 bc 2ccos 2A 2且 2cos 2A 2 1cos A， 所以 bc c(1cos A)，即 bccos A， 由余弦定理得b c b 2 c2 a2 2bc ，化简得 a2b2 c2， 所以 ABC 是直角三角形 课后练习： 1.1 在中，若，则的形状一定是（） A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D等腰三角形 【答案】
12、D 2. 设的内角所对的边分别为，若，则的形状为 （） A锐角三角形 B 直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 【答案】 B 3. ABC中，若 a cosB b cosA ，则该三角形一定是( ) A等腰三角形但不是直角三角形 B直角三角形但不是等腰三角形 ABCcoscosaBbAABC ABC,A B C, ,a b ccoscossinbCcBaAABC 6 C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形 【答案】 D 【解析】 试题分析：学科网由 cossin =sincossincossin2sin 2 cossin2 aBA AABBABAB bAB ab cosBcosA 得得或
13、A+B=选 D. 4.在ABC中，若 222 sinsinsinABC，则ABC的形状 是 ( ) A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D不能确定 【答案】 A 【解析】 试 题 分 析 ： 因 为 R c C R b B R a AR C c B b A a 2 si n, 2 si n, 2 s i n,2 s i nsi nsi n , 由 已 知 条 件 得 0 2 c o s,0 222 222 ab cba Ccba，所以 C 为钝角，所以ABC 为钝角三角形，故选A 5. 在ABC中，60B， 2 bac，则三角形一定是( ) A直角三角形 B 等边三角形 C 等腰直角三角形 D
14、 钝角三角形 【答案】 B 【解析】 试题分析：由余弦定理得 22222 2cosbacacBacac 2 ()0acac故选 B. 6设 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且满足 acos B bcos Ac，则 ABC 是() A锐角三角形B直角三角形 C钝角三角形D不确定 解析：选 B.利用正弦定理 a sin A b sin B c sin C化简已知的等式得： sin Acos Bsin Bcos Asin C， 即 sin (A B)sin C， 因为 A， B， C 为三角形的内角， 所以 ABC， 即 ABC90，则ABC 为直角三角形 故 选 B. 7.已
15、知ABC的三个内角A B C, ,所对的边分别为a，b，c，向量(,)mac ba ，(, )nac b, 且mn. ( )求角C的大小； ( )若 22 2sin2sin1 22 AB ，判断ABC的形状 【答案】 ( ) 3 ； （）等边三角形 7 8(选做题 )在 ABC 中，已知 ab a sin B sin B sin A，且 cos(AB)cos C1cos 2C. (1)试确定 ABC 的形状； (2)求 ac b 的取值范围 解： (1)在ABC 中，设其外接圆半径为R， 根据正弦定理得，sin A a 2R，sin B b 2R ， 代入 a b a sin B sin Bs
16、in A，得 ab a b b a ， 所以 b2a2ab. 因为 cos(AB)cos C1cos 2C， 所以 cos(AB)cos(AB)2sin2C， 所以 sin Asin Bsin2C. 由正弦定理，得 a 2R b 2R c 2R 2 ， 所以 ab c2. 把代入 得， b2a2c2，即 a2c2 b2. 8 所以 ABC 是直角三角形 (2)由(1)知 B 2 ，所以 AC 2 ， 所以 C 2 A. 所以 sin Csin 2 A cos A. 根据正弦定理，得 ac b sin Asin C sin B sin Acos A2sin A 4 . 因为 0A 2 ，所以 4 A 4 3 4 . 所以 2 2 sin A 4 1，所以 12sin A 4 2， 即 ac b 的取值范围是(1，2