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1、数学是科学的大门和钥匙-培根平行线的性质及尺规作图（提高）知识讲解 责编：常春芳【学习目标】1掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；2了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念；3了解尺规作图的基本知识及步骤；4. 通过用尺规作图活动，进一步丰富对“平行线及角”的认识. 【要点梳理】要点一、平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等. 性质2：两直线平行，内错角相等. 性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行” (2)从角的关系得到两直线平行，是
2、平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质 要点二、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离要点诠释：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等要点三、尺规作图1. 定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图 要点诠释：（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题（2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可
3、以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度（3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度2.八种基本作图（有些今后学到）：（1）作一条线段等于已知线段（2）作一个角等于已知角（3）作已知线段的垂直平分线 （4）作已知角的角平分线（5）过一点作已知直线的垂线（6）已知一角、一边做等腰三角形（7）已知两角、一边做三角形（8）已知一角、两边做三角形【典型例题】类型一、平行线的性质1.（2015春荣昌县期末）如图，已知射线AB与直线CD交于点O，OF平分BOC，OGOF于O，AEOF，且A=30（1）求DOF的度数；（2）试说明OD平分AOG【思路点拨】（1）根据两直线
4、平行，同位角相等可得FOB=A=30，再根据角平分线的定义求出COF=FOB=30，然后根据平角等于180列式进行计算即可得解；（2）先求出DOG=60，再根据对顶角相等求出AOD=60，然后根据角平分线的定义即可得解【答案与解析】解：（1）AEOF，FOB=A=30，OF平分BOC，COF=FOB=30，DOF=180COF=150；（2）OFOG，FOG=90，DOG=DOFFOG=15090=60，AOD=COB=COF+FOB=60，AOD=DOG，OD平分AOG【总结升华】本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，垂线的定义，（2）根据度数相等得到相等的角是关键举一反三：【变式】（2
5、015青海）如图，直线ab，直线l与a相交于点P，与直线b相交于点Q，且PM垂直于l，若1=58，则2= 【答案】32 类型二、两平行线间的距离2.下面两条平行线之间的三个图形，图 的面积最大，图 的面积最小【思路点拨】两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半；两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半.因为高相同，所以可以通过比较平行四边形的底的长短，得出平行四边形面积的大小. 【答案】图3，图2【解析】解：因为它们的高相等，三角形的底是8，824，梯形的上、下底之和除以2，（2+7）24.5；54.5
6、4；所以，图3平行四边形的面积最大，图2三角形的面积最小.【总结升华】根据平行线的性质，得出梯形、三角形、平行四边形的高相等，求出三角形底的一半，梯形上、下底之和的一半，与平行四边形的底进行比较，由此得出正确答案.举一反三：【变式】下图是一个方形螺线已知相邻均为1厘米，则螺线总长度是 厘米.【答案】35类型三、尺规作图3. 如图所示，已知和，利用尺规作AOB，使AOB2（-）【答案与解析】作法：如图所示（1）作COD；（2）以射线OD为一边，在COD的外部作DOA，使DOA；（3）以射线OC为一边，在COA的内部作COE，使COE；（4）以射线OE为一边，在EOA内部作EOB，使EOB，则AO
7、B就是所求作的角【总结升华】本题考查作一个差角的倍数角，本题的做法有两种：一种可以先做倍数角再做差角，如本题提供的答案；另一种也可以先做差角再做倍数角4. (苏州中考模拟)如图所示，在长为50m，宽为22m的长方形地面上修筑宽度都为2 m的道路，余下的部分种植花草，求种植花草部分的面积【思路点拨】因种植花草部分比较分散，且有的是不规则的图形，所以直接求其面积较困难因小路都是宽度相同的长方形，所以可想到把小路平移到一起，这样种植花草部分将汇集成一个长方形，问题便迎刃而解【答案与解析】解：如图所示把几条2米宽的小路分别平移到大长方形的上边缘和左边缘，则种植花草部分汇集成一个长方形，显然，这个长方形
8、的长是50-248(m)，宽是22-220(m)，于是种植花草部分的面积为4820960(m2)【总结升华】若分步计算则较繁琐但采用“平移”的手段从整体上把握，问题便迅速求解举一反三：【变式】如图，在宽为20m、长为30m的矩形地面上修建两条同样宽度的道路，余下部分作为耕地根据图中数据，可得耕地的面积为 ( ) A600m2 B551m2 C550m2 D500m2 【答案】B类型四、平行的性质与判定综合应用5. (黄冈调考)如图所示，ABCD，分别写出下面四个图形中A与P，C的数量关系，请你从所得到的关系中任选一图的结论加以说明【思路点拨】过P点作AB的平行线，问题便会迅速得到求解【答案与解
9、析】解： (1)A+CP； (2)A+P+C360； (3)AP+C； (4)CP+A 现以（3）的结论加以证明如下：如上图，过点P作PHAB ，因为ABCD，所以PHABCD所以HPAA180，即HPA180A； HPAPC180，即180APC180，也即AP+C【总结升华】随着折点的不同，结论也会不同，但解法却如出一辙都是过折点作平行线求解 举一反三：【变式1】如图，ABCD，ABG42，CDE68，DEF26求证：BGEF【答案】如图，分别过点G、F、E作GPAB，FQAB，ERCD，又因为ABCD，所以ABGPFQCDFQ142，23，45，52668，5682642，且454212422；4342312423，即BGFGFEBGEF【变式2】如图所示，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐角A是120，第二次拐的角B是150，第三次拐的角是C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则C是( ) A120 B130 C140 D150【答案】D数学是最宝贵的研究精神之一-华罗庚