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1、第12讲 应用数学知识和方法 处理物理问题 第一部分 专题五 方法专题 题型1 应用几何图形解决物理问题 内容索引 NEIRONGSUOYIN 题型2 应用三角函数分析物理问题 题型3 应用函数表达式解决物理问题 题型4 数列和归纳法的应用 题型5 数学不等式的应用 题型6 微元法的应用 应用几何图形解决物理问题 题型1 1.动态平衡问题的几何解法 等效圆周角不变法 物体受三个力平衡：一个力恒定、另外两个力大小、方向都变化， 但两力夹角不变时可用此法(如图).由弦长的变化判断力的变化，此 类题也可用正弦定理求解. 2.与圆有关的几何知识 (1)周长：2r，面积：r2； (2)直径所对的圆周角是
2、直角； (3)同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于它所对圆心角的一半； (4)圆的函数方程：(xa)2(yb)2r2是以点(a，b)为圆心、r为半径的圆. 例1 如图所示，在半径R4 cm的圆形区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁 感应强度B0.1 T，圆的直径OA恰好落在x轴上，C为圆心.在原点O处有一粒子源， 可向xOy平面内的各个方向发射速度大小均为v8105 m/s、比荷 1108 C/kg的 带负电粒子，粒子重力不计. (1)当粒子的初速度方向与x轴夹角为时，恰好能从A点射出， 求角； 答案 见解析 解得：r18 cm.分析知，粒子做圆周运动的圆心与O、A三点组成等边三角形，由几 何
3、关系知：30 (2)调整粒子源的出射速度大小为2105 m/s，试用阴影图画出粒 子在磁场中能到达的区域，并求出该区域的面积(取3). 答案 见解析 解析 v改变后，粒子做圆周运动的半径：r22 cm，能到达的阴影区域如图所示 应用三角函数分析物理问题 题型2 例2 (2019广东肇庆市一模)如图a所示，一物体以一定的速度v0沿足够长的固定斜 面向上运动，此物体在斜面上的最大位移与斜面倾角的关系如图b所示.设各种条件 下，物体与斜面间的动摩擦因数不变，取g10 m/s2.试求： (1)物体与斜面之间的动摩擦因数及物体的初速度大小； 解析 当为90时，由运动学知识可得：v022gh 设动摩擦因数
4、为，当0时摩擦力大小为：Ffmg Ffma1 由运动学公式可得：v022a1x0 (2)为多大时，x值最小？求出x的最小值. 解析 对于任意角度，根据动能定理可得，物体对应的最大位移x满足的关系式： 应用函数表达式解决物理问题 题型3 例3 (2017全国卷17)如图所示，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直 径与地面垂直，一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小 物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时，对应的轨道半径为 (重力加速度大小为g) 小物块做平抛运动时，落地点到轨道下端的距离xv1t， 数列和归纳法的应用 题型4 数列是高中数学的一个重点，日
5、常生活中的很多实际问题都可以利用数列知识进行 求解，物理情境中也有很多问题与数列有关.某一复杂物理过程中如果同一物理情境 重复出现，往往会涉及数学归纳法和数列知识的应用. 高中物理涉及的数列知识主要有等差数列、等比数列、通项公式和前n项和公式的应 用等.解题的基本思路分三步：第一步，逐个分析开始阶段的几个物理过程；第二步， 利用数学归纳法寻找变化物理量的通项公式；第三步，应用数列知识分析求解. 例4 如图所示，竖直放置的半圆形光滑轨道半径为R，圆心为O，下端与水平轨道 在B点平滑连接.一质量为m的物块(可视为质点)，置于水平轨道上的A点.已知A、B两 点间的距离为L，物块与水平轨道间的动摩擦因
6、数为，重力加速度为g. (1)若物块能到达的最高点是半圆形轨道上与圆心O等高的C点，则物块在A点水平向 左运动的初速度应为多大？ (2)若对物块始终施加水平向左的恒力F mg，并将其从A点由静止释放，且运动过 程始终不脱离轨道，求物块第2n(n1,2,3，)次经过B点时的速度大小. 解析 设第2、4、6、2n次经过B点时的速度分别为v2、v4、v2n 第2、4、6、2n次离开B点向右滑行的最大距离分别为L1、L2、Ln，则有： 拓展训练1 (2019湖南省六校4月联考)如图所示，在光滑水平面上有一质量为 2018m的木板，板上有2018块质量均为m的相同木块1、2、2018.最初木板静止， 各
7、木块分别以v、2v、2018v同时向同一方向运动，木块和木板间的动摩擦因数 为，且木块间不发生碰撞和离开木板的现象.求最终木板的速度大小. 解析 木块与木板最终一起以速度v运动， 由动量守恒可知m(v2v2018v)22018mv； 数学不等式的应用 题型5 对于两个大于零的变量a、b，若其和ab为一定值，则当ab时，其积ab有极大值； 若其积ab为一定值，则当ab时，其和ab有极小值. 例5 为研究静电除尘，有人设计了一个盒状容器，容器侧面是绝缘的透明有机玻璃， 它的上下底面是面积S0.04 m2的金属板，间距L0.05 m，当连接到U2 500 V的 高压电源正负两极时，能在两金属板间产生
8、一个匀强电场，如图所示.现把一定量均 匀分布的烟尘颗粒密闭在容器内，每1 m3有烟尘颗粒11013个，假设这些颗粒都处 于静止状态，每个颗粒的带电荷量q1.01017 C，质量m2.01015 kg，不考 虑烟尘颗粒之间的相互作用和空气阻力，并忽略烟尘颗粒所受的重力.问合上开关后： (1)经过多长时间烟尘颗粒可以被全部吸附？ 答案 0.02 s 解析 由题意可知，只要位于上板表面的烟尘能被吸附到下板，烟尘即被认为全部 吸收. (2)除尘过程中电场力对烟尘颗粒共做了多少功？ 答案 2.5104 J 解析 由于板间烟尘颗粒均匀分布，可以认为烟尘的重心位于板间中点位置， (3)经过多长时间容器中烟尘
9、颗粒的总动能达到最大？ 答案 0.014 s 解析 设烟尘颗粒下落的距离为x，则板内烟尘的总动能为： 微元法的应用 题型6 例6 (2019金丽衢十二校联考)如图所示，空中等间距分布水平方向的条形匀强磁场， 竖直方向磁场区域足够长、磁感应强度均一样，每一条形磁场区域的宽及相邻条形 磁场区域的间距均为d.现让一边长为L(Ld)、质量为m、总电阻为R的匀质正方形线 框MNOP受到瞬时的水平冲量I0，使线框从左侧磁场边缘水平进入磁场.(不计空气阻 力，线框运动过程中始终保持MN与磁场边缘线平行) (1)线圈进入磁场的全过程中，MN边相当于产生感 应电流的“电源”，这“电源”的非静电力与什么 力有关？
10、 答案 洛伦兹力 解析 与洛伦兹力有关 (2)线圈刚穿过第一个磁场区域后水平速度变为v1，求线圈完全处在第一个磁场中时 的水平速度大小v； 线框进入第一个磁场区域过程，水平方向由动量定理有： BiLtmvmv0 即有：BLqmv0mv 线框出第一个磁场区域过程，水平方向由动量定理有： BiLtmv1mv 即有：BLqmvmv1 (3)若L0.2 m，m0.1 kg，R0.1 ，d0.5 m，I00.9 Ns，且每个区域磁场的磁 感应强度B1.0 T，求线框从刚进入磁场到运动方向开始竖直向下的过程中已穿过 完整条形磁场的区域个数n和产生的焦耳热Q. 答案 5 4.05 J 解析 线框运动方向开始竖直向下时水平方向速度为0.设线框从刚进入磁场到运动 方向开始竖直向下的过程中已穿过完整条形磁场区域n个，整个过程由动量定理有： 2nBLqmv00 拓展训练2 (多选)(2019安徽合肥市第二次质检)如图所示，足够长的光滑平行金属 导轨与水平面成角放置，导轨间距为L且电阻不计，其顶端接有一阻值为R的电阻， 整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下.一质量 为m的金属棒以初速度v0由导轨底端上滑，经一段时间滑行距离x到达最高点后，又 返回底端.棒与两导轨始终垂直且接触良好，其接入电路中的电阻为r，重力加速度为 g.下列说法正确的是