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1、解答题专项练1.立体几何1.(2018江苏省金陵中学月考)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD平面ABCD，APAD，点M在棱PD上， AMPD，点N是棱PC的中点，求证：(1) MN平面PAB；(2) AM平面PCD.证明(1)因为在PAD中， APAD，AMPD，所以点M是棱PD的中点.又点N是棱PC的中点，所以MN是PDC的中位线，所以MNDC.因为底面ABCD是矩形，所以ABDC，所以MNAB.又AB平面PAB, MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)因为平面PAD平面ABCD, CD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，CDAD，所以CD平面PAD.又A
2、M平面PAD，所以CDAM.因为PDAM，CDAM, CDPDD，CD平面PCD，PD平面PCD，所以AM平面PCD.2.已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABDC，ABC60，DC1，AD，PBPC，且M，N分别为BC，PA的中点. (1)求证：DN平面PBC；(2)求证：MNBC.证明(1)取PB的中点E，连结NE，CE，AC，因为ABCD是直角梯形，ABDC，ABC60，DC1，AD，易得ACCBAB2.又N为PA的中点，所以NECD且NECD，所以四边形CDNE是平行四边形，所以DNCE.又CE平面PBC，DN平面PBC，所以DN平面PBC.(2)连结AM，PM.因为P
3、BPC，所以PMBC，因为ACAB，所以AMBC，又AMPMM，AM，PM平面PAM，所以BC平面PAM.因为MN平面APM，所以MNBC.3.(2018扬州市邗江区模拟)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EFAB，EFFB，AB2EF，BFC90，BFFC，H为BC的中点.(1)求证：FH平面EDB；(2)求证：AC平面EDB.证明(1)设AC与BD的交点为G，连结GE，GH，如图，以H为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，令BH1，则A(1，2,0)，B(1,0,0)，C(1,0,0)，D(1，2,0)，E(0，1,1)，F(0,0,1
4、)，G(0，1,0)，(0,0,1), 又(0,0,1)，GE平面EDB，HF平面EDB，FH平面EDB.(2)(2,2,0)，(0,0,1)，0，ACGE.又ACBD，且GE平面EDB，BD平面EDB，GEBDG，AC平面EDB.4.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别为棱A1C1和AB的中点.(1)求证：MN平面BCC1B1；(2)若平面ACC1A1平面A1B1C1，且A1B1B1C1，求证：平面B1MN平面ACC1A1.证明(1)方法一如图，设BC的中点为H，连结NH，HC1.在ABC中，因为N为AB的中点，所以NHAC，且NHAC，在三棱柱ABCA1B1C1中，因为ACA1C
5、1，且ACA1C1，M为A1C1的中点，所以MC1AC，且MC1AC，所以NHMC1，且NHMC1，所以四边形MC1HN为平行四边形，所以 MNC1H，又MN平面BCC1B1，C1H平面BCC1B1，所以MN平面BCC1B1.方法二如图2，在侧面ACC1A1中，连结AM并延长交直线CC1于点Q，连结BQ.在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1CC1，所以，因为M为A1C1的中点，所以M为AQ的中点.又因为N为AB中点，所以MNBQ，又MN平面BCC1B1，BQ平面BCC1B1，所以MN平面BCC1B1. 方法三如图3，取A1B1的中点O，连结OM，ON. 在A1B1C1中，因为O，M分别为A1B
6、1，A1C1的中点，所以OMB1C1. 因为OM平面BCC1B1，B1C1平面BCC1B1，所以OM平面BCC1B1.在三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1AB且A1B1AB，又因为O，N分别为A1B1，AB的中点，所以OB1NB，OB1NB，所以四边形OB1BN为平行四边形，所以ONB1B，又ON平面BCC1B1，B1B平面BCC1B1，所以ON平面BCC1B1.因为OM平面BCC1B1，ON平面BCC1B1，OMONO，OM平面OMN，ON平面OMN，所以平面OMN平面BCC1B1，又MN平面OMN，所以MN平面BCC1B1.(2)因为A1B1B1C1, M为A1C1的中点，所以B1MA1
7、C1，因为平面ACC1A1平面A1B1C1，平面ACC1A1平面A1B1C1A1C1，B1M平面A1B1C1，所以B1M平面ACC1A1，又B1M平面B1MN，所以平面B1MN平面ACC1A1.5.如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点.(1)若弧BC的中点为D，求证：AC平面POD；(2)如果PAB的面积是9，求此圆锥的表面积.(1)证明方法一设BCODE，D是弧BC的中点，E是BC的中点.又O是AB的中点，ACOE.又AC平面POD，OE平面POD，AC平面POD.方法二AB是底面圆的直径，ACBC.弧BC的中点为D，ODBC.又AC，OD共面，
8、ACOD.又AC平面POD，OD平面POD，AC平面POD.(2)解设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，hr，lr.由SPAB2rhr29，得r3，S表rlr2rrr29(1).6.已知四棱锥SABCD的底面ABCD为正方形，顶点S在底面ABCD上的射影为其中心O，高为，设E，F分别为AB，SC的中点，且SE2，M为CD边上的点. (1)求证：EF平面SAD；(2)试确定点M的位置，使得平面EFM底面ABCD.(1)证明取SB的中点P，连结PF，PE. F为SC的中点，PFBC，又底面ABCD为正方形，BCAD，即PFAD，又PESA，PEPFP，SAADA，平面PFE平面SAD.EF平面PFE，EF平面SAD.(2)解连结AC，AC的中点即为点O，连结SO，由题意知SO平面ABCD，取OC的中点H，连结FH，则FHSO，FH平面ABCD，平面EFH平面ABCD，连结EH并延长，则EH与DC的交点即为M点.连结OE，由题意知SO，SE2.OE1，AB2，AE1，MCAECD，即点M在CD边上靠近C点距离为的位置.