《2019版数学人教A版必修4课件：2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 .pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版数学人教A版必修4课件：2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 .pptx（27页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.2.3 向量数乘运算及其几何意义,1.理解并掌握向量数乘的定义及其几何意义,会作向量ma+nb. 2.熟练掌握和运用向量数乘的运算律,会化简向量关系式,并能用已知向量表示未知向量. 3.掌握向量共线定理,会判定或证明两个向量共线.,1,2,3,4,1.向量的数乘,1,2,3,4,名师点拨1.实数与向量可以进行数乘运算,其结果是一个向量,不是实数;但实数与向量不能进行加减运算,如+a,-a是错误的.,3.a的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小到原来的|倍.,1,2,3,4,【做一做1】 已知非零向量a,b满足a=4b,则( ) A.|a|=|b| B.4|a|=|b| C.a
2、与b的方向相同 D.a与b的方向相反 解析:a=4b,40,|a|=4|b|. 4b与b的方向相同,a与b的方向相同. 答案:C,1,2,3,4,2.向量数乘的运算律 向量的数乘运算满足下列运算律: 设,为实数,则 (1)(a)=()a; (2)(+)a=a+a; (3)(a+b)=a+b(分配律). 特别地,我们有(-)a=-(a)=(-a),(a-b)=a-b.,1,2,3,4,【做一做2】 3(2a-4b)等于( ) A.5a+7b B.5a-7b C.6a+12b D.6a-12b 解析:原式=32a-34b=6a-12b. 答案:D,1,2,3,4,3.共线向量定理 向量a(a0)与
3、b共线,当且仅当有唯一一个实数,使b=a. 归纳总结1.向量共线的条件:当向量a=0时,a与任一向量b共线;当向量a0时,对于向量b,如果有一个实数,使b=a,则由实数与向量的积的定义知b与a共线. 反之,已知向量b与a(a0)共线且向量b的长度是向量a长度的倍,即|b|=|a|,则当b与a同方向时b=a,当b与a反方向时b=-a. 3.如果非零向量a与b不共线,且a=b,那么=0.,1,2,3,4,【做一做3】 下列说法正确的是( ) A.若向量b与a共线,则存在唯一的实数使b=a B.若b=a,则a与b共线 C.若a=0,则a=0 D.若|b|=2|a|,则b=2a 解析:A错,当b=0,
4、a=0时,实数不唯一;B正确,由向量共线定理可知其正确.C错,若a=0,则a=0或=0;D错,若|b|=2|a|,则b与2a不一定共线.故选B. 答案:B,1,2,4,3,4.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,对于任意向量a,b,以及任意实数,1,2,恒有(1a2b)=1a2b.,1,2,4,3,A.a+b B.a-b C.2a+3b D.2a-3b,答案:C,共线向量定理的应用 剖析:共线向量定理可以分为两个定理: 判定定理:如果存在一个实数满足b=a(a0),那么ab. 性质定理:如果ab,a0,那么存在唯一一个实数,使得b=a. (1)判定定理的结论是ab,则用
5、共线向量定理可以证明两个向量共线.此时证明向量ab,只需找到满足a=b或b=a的实数的值即可.,(3)判定定理的结论是ab,当a和b所在的直线分别是直线m和n时,则有直线m,n平行或重合.即用共线向量定理可以证明两条直线平行.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思向量的数乘运算类似于代数式的运算,主要是“合并同类项”“提取公因式”,但这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练1】 计算下列各式: (1)4(a+b)-3(a-b); (2)3(a-2b+c)-(2a+b-3c);,解:(1)4(a+b)-3
6、(a-b)=4a-3a+4b+3b=a+7b. (2)3(a-2b+c)-(2a+b-3c) =3a-6b+3c-2a-b+3c=a-7b+6c.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,答案:D,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,【例3】 已知向量a,b,如图,求作向量2a-3b. 分析:分别作出有相同起点的向量2a与3b,利用三角形法则作出向量2a-3b.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练3】 已知向量a和向量b,求作向量: (1) b-2a;(2)2a-b.,题
7、型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,【例4】 已知非零向量a,b不共线.,(2)欲使ka+b和a+kb共线,试确定实数k的值. 分析:对于(1),欲证A,B,D三点共线,只需证存在实数,使 即可;对于(2),由于ka+b与a+kb共线,根据向量共线定理,存在实数,使ka+b=(a+kb),因此借助等式两边a,b的系数,列方程组可解得k的值.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思1.证明三点共线,往往要转化为证明过同一点的两条有向线段所表示的向量共线,如本例题(1). 2.已知向量ma+nb与ka+pb(a与b不共线)共线求参数的值的步骤: (1)设ma+nb=(ka+pb); (3)解方程组得参数的值,如本例题(2).,题型一,题型二,题型三,题型四,A,B,D三点共线.,