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1、-1- 本章整合 -2- 本章整合知识建构综合应用真题放送 -3- 本章整合知识建构综合应用真题放送 专题1专题2专题3专题4 专题1 利用导数的几何意义求切线方程 导数的几何意义主要应用在研究函数图象的切线问题中,此时关 键是抓住切点,它是联结曲线和其切线的“桥梁”,在做题时若题中没 有给出切点,则往往需要设出切点. -4- 本章整合知识建构综合应用真题放送 专题1专题2专题3专题4 (1)求a的值; (2)求f(x)在x=3处的切线方程. 解:(1)f(x)=x2+2ax-9=(x+a)2-a2-9, f(x)min=-a2-9. 由题意知-a2-9=-10,解得a=1或a=-1. a0,
2、a=1. (2)由(1)得a=1,f(x)=x2+2x-9. k=f(3)=6,f(3)=-10. f(x)在x=3处的切线方程为y+10=6(x-3), 即6x-y-28=0. -5- 本章整合知识建构综合应用真题放送 专题1专题2专题3专题4 应用2已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12,直线 m:y=kx+9,且f(-1)=0. (1)求a的值; (2)是否存在实数k,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是y=g(x)的 切线?如果存在,求出k的值;如果不存在,说明理由. 解:(1)因为f(x)=3ax2+6x-6a,且f(-1)=0, 所以3a-
3、6-6a=0,所以a=-2. -6- 本章整合知识建构综合应用真题放送 专题1专题2专题3专题4 (2)直线m过定点(0,9),先求过点(0,9)与曲线y=g(x)相切的直线方 程. 当x0=1时,g(1)=12,切点坐标为(1,21), 则切线方程为y=12x+9; 当x0=-1时,g(-1)=0,切点坐标为(-1,9), 则切线方程为y=9. -7- 本章整合知识建构综合应用真题放送 专题1专题2专题3专题4 下面求曲线y=f(x)的斜率为12和0的切线方程: 因为f(x)=-2x3+3x2+12x-11, 所以f(x)=-6x2+6x+12. 由f(x)=12,得-6x2+6x+12=1
4、2, 解得x=0或x=1. 当x=0时,f(0)=-11,此时切线方程为y=12x-11; 当x=1时,f(1)=2,此时切线方程为y=12x-10. 故y=12x+9不是公切线. 由f(x)=0,得-6x2+6x+12=0,解得x=-1或x=2. 当x=-1时,f(-1)=-18, 此时切线方程为y=-18;当x=2时,f(2)=9, 此时切线方程为y=9.故y=9是公切线. 综上所述,当k=0时,y=9是两曲线的公切线. -8- 本章整合知识建构综合应用真题放送 专题1专题2专题3专题4 专题2 利用导数研究函数的单调性、极值、最值 利用导数研究函数的性质,彰显了导数是研究函数性质的强有力
5、 工具,因此,应熟练掌握利用导数研究函数性质的方法. (1)在研究函数的单调性方面,主要有两种题型:一是求单调区间; 二是根据单调性求参数的取值范围,这类题目通常是根据单调性得 恒成立不等式,然后再分离参数求解. (2)在研究函数的极值方面,主要有三类题型:一是求极值;二是已 知极值求参数值,在这类题目中,由于导数为零是函数取得极值的 必要不充分条件,所以解出结果后要注意检验;三是解答函数零点 或方程根的个数问题. (3)在研究函数最值方面,主要是求最值与已知最值求参数. -9- 本章整合知识建构综合应用真题放送 专题1专题2专题3专题4 因为f(x)的定义域是(0,+), 所以当x(0,2)
6、时,f(x)0, 所以当a=4时,x=2是一个极小值点,故a=4. -10- 本章整合知识建构综合应用真题放送 专题1专题2专题3专题4 -11- 本章整合知识建构综合应用真题放送 专题1专题2专题3专题4 -12- 本章整合知识建构综合应用真题放送 专题1专题2专题3专题4 -13- 本章整合知识建构综合应用真题放送 专题1专题2专题3专题4 应用3已知函数f(x)=x3+ax2+b的图象上一点P(1,0),且在点P处的 切线与直线3x+y=0平行. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)在区间0,t(00. 要使g(x)=0在1,3上恰有两个相异实根, 故实数c的取值范围是(
7、-2,0. -16- 本章整合知识建构综合应用真题放送 专题1专题2专题3专题4 专题3 导数的实际应用 利用导数求函数的极大(小)值,求函数在区间a,b上的最大(小) 值或利用求导法解决一些实际问题是函数内容的继续与延伸,这种 解决问题的方法使复杂的问题简单化,因而已逐渐成为高考的又一 新热点. -17- 本章整合知识建构综合应用真题放送 专题1专题2专题3专题4 应用1某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄 水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与 表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为 160元/平方米,该蓄水池的总建造成本
8、为12 000元(为圆周率). (1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域; (2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积 最大. -18- 本章整合知识建构综合应用真题放送 专题1专题2专题3专题4 -19- 本章整合知识建构综合应用真题放送 专题1专题2专题3专题4 -20- 本章整合知识建构综合应用真题放送 专题1专题2专题3专题4 应用2某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其 中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器 的容积 .假设该容器的建造费用仅与其表面积 有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每
9、平 方米建造费用为c(c3)千元.设该容器的建造费用为y千元. (1)写出y关于r的函数解析式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的r. -21- 本章整合知识建构综合应用真题放送 专题1专题2专题3专题4 -22- 本章整合知识建构综合应用真题放送 专题1专题2专题3专题4 -23- 本章整合知识建构综合应用真题放送 专题1专题2专题3专题4 -24- 本章整合知识建构综合应用真题放送 专题1专题2专题3专题4 专题4 数学思想方法 1.分类讨论思想在导数中的应用 分类讨论是一种逻辑方法,也是一种数学思想,其实质是“化整为 零,各个击破,再积零为整”.通过分类讨论,可以把一
10、个变幻不定的 问题分解成若干个相对确定的问题,从而使问题变得条理清晰,层 次分明,易于解决. 分类讨论思想在本章中主要体现在问题中含有参数或问题是分 类给出的题型中.例如,单调性的判断、求极值、求最大(小)值等问 题往往要用到分类讨论. -25- 本章整合知识建构综合应用真题放送 专题1专题2专题3专题4 应用1设函数f(x)=x3-kx2+x(kR). (1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间; (2)当k0恒成立,所以f(x)在R上单调递增. 故函数f(x)的单调递增区间为(-,+),没有单调递减区间. (2)当k-1时,g(x)0,g(x)单调递增; 所以g(x)g(-1)=0. 因此
11、f(x)+e0. -41- 本章整合知识建构综合应用真题放送 234156789 7.(2018北京高考)设函数f(x)=ax2-(3a+1)x+3a+2ex. (1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线斜率为0,求a; (2)若f(x)在x=1处取得极小值,求a的取值范围. 解:(1)因为f(x)=ax2-(3a+1)x+3a+2ex, 所以f(x)=ax2-(a+1)x+1ex. f(2)=(2a-1)e2,由题设知f(2)=0, 即(2a-1)e2=0,解得 -42- 本章整合知识建构综合应用真题放送 234156789 -43- 本章整合知识建构综合应用真题放送 2341567
12、89 方法二:f(x)=(ax-1)(x-1)ex. 当a=0时,令f(x)=0得x=1. f(x),f(x)随x的变化情况如下表: f(x)在x=1处取得极大值,不符合题意. -44- 本章整合知识建构综合应用真题放送 234156789 当a0时,令f(x)=0得 当x1=x2,即a=1时,f(x)=(x-1)2ex0, f(x)在R上单调递增, f(x)无极值,不符合题意. 当x1x2,即01时,f(x),f(x)随x的变化情况如下表: f(x)在x=1处取得极小值,即a1满足题意. f(x)在x=1处取得极大值,不符合题意. 综上所述,a的取值范围为(1,+). -46- 本章整合知识
13、建构综合应用真题放送 234156789 -47- 本章整合知识建构综合应用真题放送 234156789 -48- 本章整合知识建构综合应用真题放送 234156789 -49- 本章整合知识建构综合应用真题放送 234156789 由(1)可知g(x)g(16). 又a3-4ln 2,故-g(x)-1+a-g(16)-1+a=-3+4ln 2+a0, 所以h(x)0,即函数h(x)在(0,+)上单调递减. 因此方程f(x)-kx-a=0至多1个实根. 综上,当a3-4ln 2时, 对于任意k0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点. -50- 本章整合知识建构综合应用真题放送 234156789 9.(2018课标全国高考)已知函数 (1)若a=3,求f(x)的单调区间; (2)证明:f(x)只有一个零点. -51- 本章整合知识建构综合应用真题放送 234156789