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1、8 8. .4 4 直线、平面平行的直线、平面平行的判定与判定与性质性质 知识梳理 -2- 知识梳理双基自测231 1.直线与平面平行的判定与性质 a= a,b,ab a a,a,=b a= ab 知识梳理 -3- 知识梳理双基自测231 2.面面平行的判定与性质 = a,b,ab=P, a,b ,=a, =b 知识梳理 -4- 知识梳理双基自测231 3.常用结论 (1)两个平面平行的有关结论 垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a,a,则. 平行于同一平面的两个平面平行,即若,则. (2)在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则会出现 错误. 知识梳理 2 -5- 知识梳理双基自测
2、3415 1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于 这个平面.( ) (2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的 任一条直线.( ) (3)若直线a与平面内无数条直线平行,则a.( ) (4)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平 面平行.( ) (5)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行 或异面.( ) 答案 答案 关闭 (1) (2) (3) (4) (5) 知识梳理 -6- 知识梳理双基自测23415 2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,下列结论正确的是 (填序 号).
3、 AD1BC1; 平面AB1D1平面BDC1; AD1DC1; AD1平面BDC1. 答案 答案 关闭 知识梳理 -7- 知识梳理双基自测23415 所以四边形AD1C1B为平行四边形. 故AD1BC1,从而正确; 易证BDB1D1,AB1DC1, 又AB1B1D1=B1,BDDC1=D, 故平面AB1D1平面BDC1,从而正确; 由图易知AD1与DC1异面,故错误; 因AD1BC1,AD1平面BDC1,BC1平面BDC1, 故AD1平面BDC1,故正确. 知识梳理 -8- 知识梳理双基自测23415 3.已知P是正方体ABCD-A1B1C1D1棱DD1上任意一点(不与端点重 合),则该在正方
4、体的12条棱中,与平面ABP平行的直线是 . 答案解析解析 关闭 DC,D1C1,A1B1均平行于直线AB,依据直线与平面平行判定定理,均可证明 它们平行于平面ABP 答案解析 关闭 DC,D1C1,A1B1 知识梳理 -9- 知识梳理双基自测23415 4.(教材习题改编P62TA3)在四面体ABCD中,M,N分别是平面 ACD,BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是 . 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 知识梳理 -10- 知识梳理双基自测23415 5.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱 CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点
5、M在四边形EFGH及其 内部运动,则点M满足条件 时,有MN平面 B1BDD1. 答案解析解析 关闭 由题意易知平面HNF平面B1BDD1,当点M满足在线段FH上时有MN平 面B1BDD1. 答案解析 关闭 M线段FH -11- 考点1考点2考点3 例1(1)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题 中正确的是( ) A.若,m,n,则mn B.若,m,n,则mn C.若mn,m,n,则 D.若m,mn,n,则 (2)设m,n表示不同直线,表示不同平面,则下列结论中正确的是 ( ) A.若m,mn,则n B.若m,n,m,n,则 C.若,m,mn,则n D.若,m,nm,n,则n
6、思考如何借助几何模型来找平行关系? 答案解析解析 关闭 (1)A中,m与n可相交、可异面、可平行;B中,m与n可平行、可异面;C中,若 ,仍然可满足mn,m,n,故C错误;故D正确. (2)A错误,n有可能在平面内;B错误,平面有可能与平面相交;C错误,n也 有可能在平面内;D正确,易知m或m,若m,又nm,n ,n, 若m,过m作平面交平面于直线l,则ml,又nm,nl,又 n ,l,n. 答案解析 关闭 (1)D (2)D -12- 考点1考点2考点3 解题心得线面平行、面面平行的命题真假判断多以小题出现,处 理方法是数形结合,画图或结合正方体等有关模型来解题. -13- 考点1考点2考点
7、3 对点训练对点训练1(1)若直线ab,且直线a平面,则直线b与平面的位 置关系是( ) A.b B.b C.b或b D.b与相交或b或b (2)给出下列关于互不相同的直线l,m,n和平面,的三个命题: 若l与m为异面直线,l,m,则; 若,l,m,则lm; 若=l,=m,=n,l,则mn. 其中真命题的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 答案解析解析 关闭 (1)可以构造一草图来表示位置关系,经验证,当b与相交或b或b时, 均可满足直线ab,且直线a平面的情况,故选D. (2)中,当与相交时,也能存在符合题意的l,m;中,l与m也可能异面; 中,l,l,=mlm,同理ln,则mn,
8、正确. 答案解析 关闭 (1)D (2)C -14- 考点1考点2考点3 例2在如图所示的多面体中,DE平面 ABCD,AFDE,ADBC,AB=CD,ABC=60,BC=2AD=4DE=4. (1)在AC上求作点P,使PE平面ABF,请写出作法并说明理由; (2)求三棱锥A-CDE的高. 思考证明线面平行的关键是什么? -15- 考点1考点2考点3 解:(1)取BC的中点G,连接DG,交AC于P,连接PE,此时P为所求作 的点,如图所示. 下面给出证明: BC=2AD,BG=AD,又BCAD, 四边形BGDA为平行四边形, DGAB,即DPAB, 又AB平面ABF,DP平面ABF, DP平面
9、ABF, AFDE,AF平面ABF,DE平面ABF,DE平面ABF, 又DP平面PDE,DE平面PDE,PDDE=D,平面ABF平面 PDE, 又PE平面PDE,PE平面ABF. -16- 考点1考点2考点3 (2)在等腰梯形ABCD中, ABG=60,BC=2AD=4, -17- 考点1考点2考点3 解题心得证明线面平行的关键点及探求线线平行的方法: (1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知 直线平行的直线; (2)利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质, 或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行; (3)注意说明已知的直线不在平面内,即三个条件缺一不可.
10、 -18- 考点1考点2考点3 对点训练对点训练2 如图,几何体E-ABCD是四棱锥,ABD为正三角 形,CB=CD,ECBD. (1)求证:BE=DE; (2)若BCD=120,M为线段AE的中点,求证:DM平面BEC. -19- 考点1考点2考点3 证明：(1)如图,取BD的中点O,连接CO,EO. 因为CB=CD,所以COBD. 又ECBD,ECCO=C,CO,EC平面EOC,所以BD平面EOC. 因为EO平面EOC,所以BDEO. 又O为BD的中点,所以BE=DE. -20- 考点1考点2考点3 (2)如图,取AB的中点N,连接DM,DN,MN. 因为M是AE的中点,所以MNBE. 又
11、MN平面BEC,BE平面BEC, 所以MN平面BEC. 又因为ABD为正三角形, 所以BDN=30. 又CB=CD,BCD=120, 所以CBD=30.所以DNBC. 又DN平面BEC,BC平面BEC,所以DN平面BEC,又 MNDN=N,所以平面DMN平面BEC. 又DM平面DMN,所以DM平面BEC. -21- 考点1考点2考点3 例3一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如 图所示. (1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由); (2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论. 思考证明面面平行的常用方法有哪些? -22- 考点1考点2考点3
12、解 (1)点F,G,H的位置如图所示. (2)平面BEG平面ACH.证明如下: 因为ABCD-EFGH为正方体, 所以BCFG,BC=FG, 又FGEH,FG=EH, 所以BCEH,BC=EH, 于是四边形BCHE为平行四边形. 所以BECH. 又CH平面ACH,BE平面ACH, 所以BE平面ACH. 同理BG平面ACH. 又BEBG=B,所以平面BEG平面ACH. -23- 考点1考点2考点3 解题心得证明面面平行的常用方法 (1)面面平行的判定定理(常用方 法):a,b,ab=P,a,b. (2)判定定理的推 论:a,b,ab=P,aa,bb,ab=P,a,b. (3)垂直于同一条直线的两
13、个平面平行. (4)平行于同一个平面的两个平面平行. (5)向量法:证明两个平面的法向量平行. -24- 考点1考点2考点3 对点训练对点训练3如图,B为ACD所在平面外一点,M,N,G分别为 ABC,ABD,BCD的重心. (1)求证:平面MNG平面ACD; (2)求SMNGSADC. -25- 考点1考点2考点3 (1)证明:连接BM,BN,BG,并延长分别交AC,AD,CD于P,F,H. M,N,G分别为ABC,ABD,BCD的重心, 连接PF,FH,PH,则MNPF. 又PF平面ACD,MN平面ACD. 同理可得MG平面ACD. MGMN=M,平面MNG平面ACD. MNGDCA,其相似比为13,SMNGSADC=19.