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1、第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划 2019 考纲考题考情 1二元一次不等式(组)表示的平面区域 2线性规划中的有关概念 3.确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法 确定二元一次不等式(组)表示的平面区域时，经常采用“直 线定界，特殊点定域”的方法。 (1)直线定界，不等式含等号，直线在区域内，不含等号，直 线不在区域内。 (2)特殊点定域， 在直线上方(下方)取一点， 代入不等式成立， 则区域就为上方(下方)，否则就是下方(上方)。特别地，当 C0 时，常把原点作为测试点；当 C0 时，常选点(1,0)或者(0,1)作 为测试点。 在通过求直线的截距 的最值间接求出 z 的最
2、值时，要注意 ： z b 当 b0 时， 截距 取最大值时， z 也取最大值 ； 截距 取最小值时， z z b z b 也取最小值；当 b0 内 B点(0,0)在区域 xy14， x ay2，则( ) A对任意实数 a，(2,1)A B对任意实数 a，(2,1)A C当且仅当 a4，x y2， 显然(2,1)不满足xy4， xy2， 所以 A 不正确 ； 当 a 4 时，集合 A(x，y)|xy1,4xy4，x4y2，显然(2,1) 都满足上述三个不等式， 在可行域内， 所以 B 不正确 ； 当 a1 时， 集合 A(x， y)|xy1， xy4， xy2， 显然(2,1)不满足 x y4，
3、所以(2,1)A，所以 C 不正确。故选 D。 答案 (1)D (2)D 解决求平面区域面积问题的方法步骤 1画出不等式组表示的平面区域。 2判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的 边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图 形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求 解。 提醒：求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性。 【变式训练】 已知不等式组Error!Error!表示的平面区域的面 积等于 3，则 a 的值为_。 解析 由题可推出 a0，依据不等式组画出可行域如图中阴 影部分所示，由图可知其表示的平面区域为ABC，所以 S1 2 2|AC|3
4、， 所以|AC|3， 即 C(2,3)， 又点 C 在直线 axy20 上，得 a 。 1 2 答案 1 2 考点二 求目标函数的最值微点小专题 方向 1：求线性目标函数的最值 【例 2】 (2018全国卷)若 x，y 满足约束条件 Error!Error!则 zxy 的最大值为_。 解析 画出不等式组所表示的平面区域， 如图中阴影部分所 示。作出直线 xy0，平移该直线，当直线过点 A(5,4)时，z 取 得最大值，zmax549。 答案 9 求目标函数 zaxby 的最大值或最小值，先准确作出可行 域，令目标函数 z0，将直线 axby0 平行移动，借助目标函 数的几何意义求目标函数的最值
5、。 方向 2：求非线性目标函数问题的最值 【例 3】 已知 x，y 满足约束条件Error!Error!则 z的 xy2 x1 取值范围是_。 解析 画出满足条件的平面区域，如图所示： 由Error!Error!解得 A(1,2)， 由Error!Error!解得 B(3， 1)， 而 z xy2 x1 1， 而的几何意义表示过平面区域内的点与 C(1， y1 x1 y1 x1 1)的直线的斜率， 显然直线AC斜率最大， 直线BC斜率最小， kAC ，kBC ，所以 z的最大值是 1 ， 21 11 3 2 11 31 1 2 xy2 x1 3 2 5 2 最小值为 1 。 1 2 3 2 答
6、案 3 2， 5 2 目标函数不是直线形式时， 此类问题常考虑目标函数的几何 意义，常见代数式的几何意义主要有： 1.表 示 点 (x， y)与 原 点 (0,0)间 的 距 离 ，x2y2 表示点(x，y)与点(a，b)间的距离； xa2yb2 2. 表示点(x， y)与原点(0,0)连线的斜率，表示点(x， y)与 y x yb xa 点(a，b)连线的斜率。 方向 3：含参数的线性规划问题 【例 4】 (2019山西八校联考)若实数 x，y 满足不等式组 Error!Error!且 z3(xa)2(y1)的最大值为 5，则 a_。 解析 设 z3(xa)2(y1)，作出不等式组表示的平面
7、区 域如图中阴影部分所示， 由 z3(xa)2(y1)，得 y x，作出直线 y 3 2 3a2z 2 x，平移该直线，易知当直线过点 A(1,3)时，z 取得最大值， 3 2 又目标函数的最大值为 5， 所以 3(1a)2(31)5， 解得 a2。 答案 2 求解线性规划中含参数问题的基本方法有两种：一是把参数 当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目 标函数确定最值， 通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范 围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式 子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数。 【题点对应练】 1(方向 1)若 x，y 满足约束条件Er
8、ror!Error!则 zx3y 的最小 值是_，最大值是_。 解析 由题可得，该约束条件表示的平面区域是以(2,2)， (1,1)，(4，2)为顶点的三角形及其内部区域(图略)。由线性规 划的知识可知，目标函数 zx3y 在点(2,2)处取得最大值，在 点(4， 2)处取得最小值， 则最小值 zmin462， 最大值 zmax 268。 答案 2 8 2(方向 2)若 x，y 满足约束条件Error!Error!则 zx22xy2的 最小值为( ) A B C D 1 2 1 4 1 2 3 4 解析 画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所 示， zx22xy2(x1)2y21， 其几
9、何意义是平面区域内的 点(x，y)到定点(1,0)的距离的平方再减去 1，观察图形可得， 平面区域内的点到定点(1， 0)的距离的最小值为 ， 故 zx22x 1 2 y2的最小值为 zmin 1 。故选 D。 1 4 3 4 答案 D 3(方向 3)已知实数 x，y 满足约束条件Error!Error!若 z2xy 的最小值为 3，则实数 b( ) A B C1 D 9 4 3 2 3 4 解析 作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所 示。 由 z2xy 得 y2xz，平移直线 y2x，由图可知当 直线 y2xz 经过点 A 时，直线 y2xz 的截距最小，此 时 z 最小，为 3，即
10、 2xy3。由Error!Error!解得Error!Error!即 A， ( 3 4， 3 2) 又点 A 也在直线 yxb 上， 即 b， 所以 b 。 故选 A。 3 2 3 4 9 4 答案 A 考点三 线性规划的实际应用 【例 5】 电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧 时，需要播放广告。已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧 播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示： 连续剧播放时长 (分钟) 广告播放时长 (分钟) 收视人次 (万) 甲70560 乙60525 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟，广告的总播放时间不少于 30 分钟，且甲连续剧
11、播放 的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍。分别用 x，y 表示每周 计划播出的甲、乙两套连续剧的次数。 (1)用 x，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的 平面区域。 (2)问电视台每周播出甲、 乙两套连续剧各多少次， 才能使总 收视人次最多？ 解 (1)由已知，x，y 满足Error!Error! 即Error!Error! 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部 分： (2)设总收视人次为z万， 则目标函数为z60x25y。 考虑z 60x25y，将它变形为 yx，这是斜率为，随 z 变 12 5 z 25 12 5 化的一组平行直线。为直线在 y 轴上的截距， 当
12、取得最大值 z 25 z 25 时，z 的值最大。又因为 x，y 满足约束条件，所以由图可知， 当直线 z60x25y 经过可行域上的点 M 时，截距最大，即 z z 25 最大。 解方程组Error!Error!得点 M 的坐标为(6,3)。 所以，电视台每周播出甲连续剧 6 次、乙连续剧 3 次时才能 使总收视人次最多。 利用线性规划解决实际问题的一般步骤 1审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确 有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系。 2设元：设问题中起关键作用的(或关联较多的)量 为未知量 x，y，并列出相应的不等式组和目标函数。 3作图：准确作出可行域，平移找点
13、(最优解)。 4求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)。 5检验：根据结果，检验反馈。 【变式训练】 某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产 甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克；生产乙产品 1 桶 需耗 A 原料 2 千克、 B 原料 1 千克。 每桶甲产品的利润是 300 元， 每桶乙产品的利润是 400 元。公司在生产这两种产品的计划中， 要求每天消耗 A，B 原料都不超过 12 千克。通过合理安排生产 计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利 润是( ) A1 800 元 B2 400 元 C2 800 元 D3 100 元 解析 设该公司生产甲
14、产品 x 桶， 生产乙产品 y 桶， 获利为 z 元，则 x，y 满足的线性约束条件为Error!Error!目标函数 z300x 400y。作出可行域，如图中四边形 OABC 的边界及其内部整点。 作直线 l0： 3x4y0，平移直线 l0经可行域内点 B 时，z 取最大 值， 由Error!Error!得 B(4,4)， 满足题意， 所以 zmax430044002 800(元)。故选 C。 答案 C Error!Error! 1 (配合例 1 使用)不等式组Error!Error!的解集记为 D。 有下面四 个命题： p1：(x，y)D，x2y2； p2：(x，y)D，x2y3； p3：
15、(x，y)D，x2y ； 2 3 p4：(x，y)D，x2y2。 其中的真命题是( ) Ap2，p3 Bp1，p4 Cp1，p2 Dp1，p3 解析 不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分， 由Error!Error!解得Error!Error!所以 M。 由图可知， 当直线 zx ( 4 3， 1 3) 2y 过点 M处时，z 取得最小值，且 zmin 2 ，所 ( 4 3， 1 3) 4 3 1 3 2 3 以真命题是 p2，p3。故选 A。 答案 A 2(配合例 3 使用)已知实数 x，y 满足Error!Error!则 的最小值为 y x _。 解析 不等式组Error!Error!
16、表示的平面区域如图中阴影部分所 示， 表示可行域内的点(x，y)与原点连线的斜率，设 k ，由可 y x y x 行域可知 k 取得最小值时曲线 yx4 与直线 ykx 相切，设 1 12 1 4 此时切点为 P(x0，y0)(x00)，由 yx4 可得 y x3，所以切 1 12 1 4 1 3 线方程为 yy0 x (xx0)，又 y0x ，所以切线方程可化 1 3 3 0 1 12 4 0 1 4 为 y x x x x ， 即 y x x x ， 又该切线过原点 1 3 3 0 1 3 4 0 1 12 4 0 1 4 1 3 3 0 1 4 4 0 1 4 O(0,0)， 所以有 x 1， 所以 x01， 切线的斜率为 x ， 则 min 4 0 1 3 3 0 1 3 ( y x) 。 1 3 答案 1 3 3(配合例 4 使用)若实数 x，y 满足Error!Error!使 zaxy 取得 最大值的最优解有两个，则 maxy1 的最小值为( ) A0 B2 C1 D1 解析 如图所示， 画出不等式组所表示的区域。 因为 zax y 取得最大值的最优解有两个， 所以a1， 即 a1， 所以当 x 1，y0 或 x0，y1 时，zaxyxy 有最小值1， 所以 axy1 的最小值是 0。故选 A。 答案 A