《2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第六章 第六节 直接证明与间接证明 Word版含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第六章 第六节 直接证明与间接证明 Word版含答案.pdf（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第六节 直接证明与间接证明 2019 考纲考题考情 1直接证明 2.间接证明 反证法：假设命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成 立)，经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从 而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。 1分析法与综合法的应用特点：对较复杂的问题，常常先 从结论进行分析，寻求结论与条件的关系，找到解题思路，再运 用综合法证明；或两种方法交叉使用。 2利用反证法证明的特点，要假设结论错误，并用假设的 命题进行推理，如果没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推 理过程是错误的。 一、走进教材 1 (选修12P42练习T1改编)对于任意角， 化简cos4sin4 (
2、) A2sin B2cos Csin2 Dcos2 解析 因为 cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2) cos2sin2cos2。故选 D。 答案 D 2(选修 12P42练习 T2改编)若 P，Qa6a7 (a0)，则 P，Q 的大小关系是( )a8a5 APQ BPQ CPQ，只需 P2Q2，即 2a132 a6a7 2a132，只需 a213a42a213a40。因 a8a5 为 4240 成立，所以 PQ 成立。故选 A。 答案 A 二、走出误区 微提醒：“至少”否定出错；应用分析法寻找的条件不 充分；不会用反证法解题。 3 利用反证法证明 “已知 a0， b0， 且
3、 ab2， 证明， 1b a 中至少有一个小于 2”时的反设是_。 1a b 解析 假设，都不小于 2，则2 且2。 1b a 1a b 1b a 1a b 答案 2 且2 1b a 1a b 4 若用分析法证明 “设 abc 且 abc0， 求证0；ac0；(ab)(ac)0；(ab)(ac)bc 且 abc0， 可得 bac， a0， c0，即证 a(ac)(ac)(ac)0，即证(ac)(ab)0。 答案 5设 a，b，c 都是正数，则 a ，b ，c 三个数( ) 1 b 1 c 1 a A都大于 2 B都小于 2 C至少有一个不大于 2 D至少有一个不小于 2 解析 因为 (a 1
4、b) (b 1 c) (c 1 a) (a 1 a) (b 1 b) 6，当且仅当 abc1 时取等号，所以三个数中至少 (c 1 c) 有一个不小于 2。故选 D。 答案 D 考点一 分析法 【例 1】 已知 a， bR， abe(其中 e 是自然对数的底数)， 用分析法求证：baab。 证明 因为 abe，ba0，ab0，所以要证 baab，只需证 alnbblna，只需证。 lnb b lna a 取函数 f(x)， 因为 f(x)， 所以当 xe 时， f(x)be 时，有 f(b)f(a)， 即。得证。 lnb b lna a 分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结 论
5、成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、 公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证。 【变式训练】 已知 a0， 求证 ： a 2。 a2 1 a2 2 1 a 证明 要证 a 2， a2 1 a2 2 1 a 只要证 2a 。 a2 1 a2 1 a 2 因为 a0， 故只要证 22， 即 a2 ( a2 1 a22) (a 1 a 2) 4 4a2222， 1 a2 a2 1 a2 1 a2 2(a1 a) 从而只要证 2 ， a2 1 a2 2(a1 a) 只要证 42， (a 2 1 a2) (a 22 1 a2) 即 a22， 1 a2 而上述不等式显然
6、成立，故原不等式成立。 考点二 综合法 【例 2】 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 已知 sinAsinBsinBsinCcos2B1。 (1)求证：a，b，c 成等差数列； (2)若 C，求证：5a3b。 2 3 证明 (1)由已知得 sinAsinBsinBsinC2sin2B， 因为 sinB0，所以 sinAsinC2sinB， 由正弦定理，有 ac2b，即 a，b，c 成等差数列。 (2)由 C， c2ba 及余弦定理得(2ba)2a2b2ab， 2 3 即有 5ab3b20，即 5a3b。 综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推 导出所要证明
7、的等式或不等式成立。因此，综合法又叫做顺推证 法或由因导果法。其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就 要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性。 【变式训练】 已知函数 f(x)ln(1x)，g(x)abx x2 1 2 x3，函数 yf(x)与函数 yg(x)的图象在交点(0,0)处有公共切 1 3 线。 (1)求 a，b 的值； (2)证明：f(x)g(x)。 解 (1)f(x)，g(x)bxx2，由题意得Error!Error!解得 a 1 1x 0，b1。 (2)证明：令 h(x)f(x)g(x)ln(x1) x3 x2x(x 1 3 1 2 1)。 h(x)x2x1。 1
8、 x1 x3 x1 h(x)在(1,0)上为增函数，在(0，)上为减函数。 h(x)maxh(0)0，h(x)h(0)0， 即 f(x)g(x)。 考点三 反证法 【例 3】 设 a0，b0，且 a2b2。证明 ： a2a0，b0，所以 ab1。 因为 a2b22ab2(当且仅当 ab1 时等号成立)， ab22(当且仅当 ab1 时等号成立)，ab 所以 a2ab2b2ab24(当且仅当 ab1 时等ab 号成立)， 这与假设矛盾，故假设错误。 所以 a2a1。求证：a，b，c，d 中至少有一个是负数。 证明 假设 a，b，c，d 都是非负数，因为 abcd1， 所以(ab)(cd)1， 即 acbdadbc1，又 acbdadbcacbd， 所以 acbd1， 与题设矛盾， 故假设不成立， 故 a， b， c， d 中至少有一个是负数。