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1、第十章 概 率 第一节 随机事件的概率 2019 考纲考题考情 1事件 (1)在条件 S 下， 一定会发生的事件， 叫做相对于条件 S 的必 然事件。 (2)在条件 S 下， 一定不会发生的事件， 叫做相对于条件 S 的 不可能事件。 (3)在条件 S 下， 可能发生也可能不发生的事件， 叫做相对于 条件 S 的随机事件。 2概率和频率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否 发生， 称 n 次试验中事件 A 发生的次数 nA为事件 A 发生的频数， 称事件 A 发生的比例 fn(A)为事件 A 发生的频率。 nA n (2)对于给定的随机事件 A，由于事件 A 发
2、生的频率 fn(A)随 着试验次数的增加稳定于概率 P(A)，因此可以用频率 fn(A)来估 计概率 P(A)。 3事件的关系与运算 4.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0P1。 (2)必然事件的概率 P(E)1。 (3)不可能事件的概率 P(F)0。 (4)概率的加法公式： 如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(AB)P(A)P(B)。 (5)对立事件的概率： 若事件 A 与事件 B 互为对立事件， 则 AB 为必然事件， P(A B)1，P(A)1P(B)。 1频率与概率 频率是随机的，不同的试验，得到频率也可能不同，概率是 频率的稳定值，反映了随机事件发生的可能性的大小。 2
3、互斥与对立 对立事件一定互斥，但互斥事件不一定对立。 3概率加法公式的注意点 (1)要确定 A，B 互斥方可运用公式。 (2)A，B 为对立事件时并不一定 A 与 B 发生的可能性相同， 即 P(A)P(B)可能不成立。 一、走进教材 1 (必修 3P121练习 T4)一个人打靶时连续射击两次， 事件 “至 少有一次中靶”的互斥事件是( ) A至多有一次中靶 B两次都中靶 C只有一次中靶 D两次都不中靶 解析 射击两次的结果有：一次中靶；两次中靶；两次都不 中靶，故至少有一次中靶的互斥事件是两次都不中靶。故选 D。 答案 D 2(必修 3P123A 组 T3改编)李老师在某大学连续 3 年主讲
4、经 济学院的高等数学， 下表是李老师这门课 3 年来的考试成绩分布 ： 成绩人数 90 分以上42 8089 分172 7079 分240 6069 分86 5059 分52 50 分以下8 经济学院一年级的学生王小明下学期将选修李老师的高等 数学课，用已有的信息估计他得以下分数的概率： (1)90 分以上的概率：_。 (2)不及格(60 分及以上为及格)的概率：_。 解析 (1)0.07。(2)0.1。 42 600 528 600 答案 (1)0.07 (2)0.1 二、走近高考 3(2018江苏高考)某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现 从中任选 2 名学生去参加活动，则恰好选中
5、2 名女生的概率为 _。 解析 记 2 名男生分别为 A，B,3 名女生分别为 a，b，c，则 从中任选 2 名学生有 AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc， 共 10 种情况， 其中恰好选中 2 名女生有 ab， ac， bc， 共 3 种情况， 故所求概率为。 3 10 答案 3 10 4(2018全国卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率 为 0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为 0.15，则不用现 金支付的概率为( ) A0.3B0.4 C0.6D0.7 解析 设“只用现金支付”为事件 A，“既用现金支付也用 非现金支付” 为事件 B， “不用现金支付”
6、为事件 C， 则 P(C)1 P(A)P(B)10.450.150.4。故选 B。 答案 B 三、走出误区 微提醒：求基本事件时出错；确定对立事件时出错； 互斥事件判定出错。 5甲、乙两人做出拳(锤子、剪刀、布)游戏，则平局的概率 为_；甲赢的概率为_。 解析 设平局(用表示)为事件 A， 甲赢(用表示)为事件 B， 乙赢(用表示)为事件 C。容易得到如图。 平局含 3 个基本事件(图中的)，P(A) 。甲赢含 3 个 3 9 1 3 基本事件(图中的)，P(B) 。 3 9 1 3 答案 1 3 1 3 6 从一箱产品中随机地抽取一件， 设事件A抽到一等品， 事件B抽到二等品， 事件C抽到三
7、等品， 且P(A)0.65，P(B) 0.2，P(C)0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为 _。 解析 因为“抽到的不是一等品”的对立事件是“抽到的是 一等品” ， 且 P(A)0.65， 所以 “抽到的不是一等品” 的概率为 1 0.650.35。 答案 0.35 7已知某射击运动员每次击中目标的概率都是 0.8。现采用 随机模拟的方法估计该运动员射击 4 次，至少击中 3 次的概率。 先由计算器算出 09 之间取整数值的随机数，指定 0,1 表示没 有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9 表示击中目标，因为射击 4 次，所以 以每 4 个随机数为一组，代表射击 4 次的结果。经随
8、机模拟产生 了 20 组随机数： 5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281 据此估计，该射击运动员射击 4 次至少击中 3 次的概率为 _。 解析 该射击运动员射击 4 次至少击中 3 次， 考虑该事件的 对立事件， 故看这 20 组数据中每组数据含有 0 和 1 的个数多少， 含有 2 个或 2 个以上的有 5 组数据，故所求概率为0.75。 15 20 答案 0.75 考点一 随机事件关系的判断 【例 1】 (1)把语文、 数学、 英
9、语三本学习书随机地分给甲、 乙、丙三位同学，每人一本，则事件 A：“甲分得语文书” ，事 件 B：“乙分得数学书” ，事件 C：“丙分得英语书” ，则下列说 法正确的是( ) AA 与 B 是不可能事件 BABC 是必然事件 CA 与 B 不是互斥事件 DB 与 C 既是互斥事件也是对立事件 (2)一袋中装有5个大小形状完全相同的小球， 其中红球3个， 白球 2 个，从中任取 2 个小球，若事件“2 个小球全是红球”的 概率为，则概率是的事件是( ) 3 10 7 10 A恰有一个红球 B两个小球都是白球 C至多有一个红球 D至少有一个红球 解析 (1)“A，B，C”都是随机事件，可能发生，也
10、可能不 发生，故 A、B 两项错误；“A，B”可能同时发生，故“A”与“B” 不互斥，C 项正确；“B”与“C”既不互斥，也不对立，D 项错误。 故选 C。 (2)因为1，所以概率是的事件是“2 个小球全是 7 10 3 10 7 10 红球”的对立事件，应为：“一个红球一个白球”与“两个都是 白球”的和事件，即为“至多有一个红球” 。 答案 (1)C (2)C 互斥、对立事件的判别方法 1在一次试验中，不可能同时发生的两个事件为互斥事件。 2两个互斥事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为 对立事件。 提醒：对立事件一定是互斥事件。 【变式训练】 从 1,2,3,4,5 这五个数中任取两个数
11、，其中： 恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；至少有一个是奇数和两 个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一 个是奇数和至少有一个是偶数。上述事件中，是对立事件的是 ( ) AB CD 解析 从 1,2,3,4,5 这五个数中任取两个数有 3 种情况：一奇 一偶，两个奇数，两个偶数。其中“至少有一个是奇数”包含一 奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件。 又中的事件可以同时发生，不是对立事件。 答案 C 考点二 随机事件的频率与概率 【例 2】 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整 理得到下表： 电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类 电影部数1405030
12、0200800510 好评率0.40.20.150.250.20.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数 的比值。 (1)从电影公司收集的电影中随机选取 1 部， 求这部电影是获 得好评的第四类电影的概率； (2)随机选取 1 部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； (3)电影公司为增加投资回报， 拟改变投资策略， 这将导致不 同类型电影的好评率发生变化。 假设表格中只有两类电影的好评 率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加 0.1，哪类电影的 好评率减少 0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总 部数的比值达到最大？(只需写出结论) 解 (1)由题意知，样本中电
13、影的总部数是 14050300 2008005102 000， 第四类电影中获得好评的电影部数是 2000.2550。 故所求概率为0.025。 50 2 000 (2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是 1400.4 500.2 3000.15 2000.25 8000.2 5100.15610455016051372。 故所求概率估计为 10.814。 372 2 000 (3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率。 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的， 而概率是一个确定的值， 通常用概率来反映随机事件发生的可能 性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值。
14、 【变式训练】 (2017全国卷)某超市计划按月订购一种 酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未 售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完。根据 往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关。如 果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶 ； 如果最高气温位于区间 ， 需求量为 300 瓶 ； 如果最高气温低于 20， 需求量为 200 20，25) 瓶。为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最 高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40 天数216362574
15、以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的 概率。 (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)。当六 月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值， 并估计 Y 大于零的概率。 解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶， 当且仅当最高 气温低于 25，由表格数据知，最高气温低于 25 的频率为 0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概 21636 90 率的估计值为 0.6。 (2)当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时， 若最高气温不低于 25， 则 Y6450445
16、0900； 若最高气温位于区间20,25)， 则 Y63002(450300)4450300； 若最高气温低于 20， 则 Y62002(450200)4450 100。 所以，Y 的所有可能值为 900,300，100。 Y 大于零当且仅当最高气温不低于 20，由表格数据知，最高 气温不低于 20 的频率为0.8，因此 Y 大于零的概 362574 90 率的估计值为 0.8。 考点三 互斥事件与对立事件 【例 3】 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息， 安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数 据，如下表所示。 一次购物量1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 1
17、2 件 13 至 16 件17 件及以上 顾客数/人x3025y10 结算时间 /(分钟/人) 11.522.53 已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%。 (1)确定x， y的值， 并估计顾客一次购物的结算时间的平均值 ； (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率。 (将频率视为概率) 解 (1)由已知得 x3045,25y1055， 所以 x15， y 20。该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集 的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本， 顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平 均数估计，其
18、估计值为 1.9(分 1 151.5 302 252.5 203 10 100 钟)。 (2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分 钟” ，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为 1 分钟”“该顾客一次购物的结算时间为 1.5 分钟”“该顾客一次 购物的结算时间为 2 分钟” ，将频率视为概率得 P(A1)，P(A2)，P(A3) 。 15 100 3 20 30 100 3 10 25 100 1 4 因为 AA1A2A3，且 A1，A2，A3是互斥事件， 所以 P(A)P(A1A2A3) P(A1)P(A2)P(A3) 。 3 20 3 10 1 4
19、7 10 故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为。 7 10 解 ： 记 A 表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟” ，则 A 的对立事件为“一位顾客一次购物的结算时间超 A 过 2 分钟” ，由题表，知 P()。 A 2010 100 3 10 所以 P(A)1P()1。 A 3 10 7 10 故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为。 7 10 1求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系，以及把 所求事件用已知概率的事件表示出来。 2求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求 解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率，再 求和
20、； 二是间接法， 先求该事件的对立事件的概率， 再由 P(A)1 P()求解。当题目涉及“至多” 、“至少”型问题，多考虑间 A 接法。 【变式训练】 公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的 值的范围是 3.141 592 63.141 592 7。为纪念祖冲之在圆周率 上的成就，把 3.141 592 6 称为“祖率” ，这是中国数学的伟大成 就。某小学教师为帮助同学们了解“祖率” ，让同学们从小数点 后的7位数字1,4,1,5,9,2,6中随机选取2位数字， 整数部分3不变， 那么得到的数大于 3.14 的概率为( ) AB 28 31 19 21 CD 22 31 17 21 解析 选择数
21、字的总的方法有 56131(种)，其中得到 的数不大于 3.14 的数为 3.11,3.12,3.14，所以得到的数大于 3.14 的概率为 P1。故选 A。 3 31 28 31 答案 A Error!Error! (配合例 2 使用)某超市随机选取 1 000 位顾客，记录了他们 购买甲、 乙、 丙、 丁四种商品的情况， 整理成如下统计表， 其中 “” 表示购买，“”表示未购买。 商品 顾客人数 甲乙丙丁 100 217 200 300 85 98 (1)估计顾客同时购买乙和丙的概率； (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率； (3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙
22、、丙、丁中哪种 商品的可能性最大？ 解 (1)从统计表可以看出， 在这 1 000 位顾客中有 200 位顾 客同时购买了乙和丙， 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为0.2。 200 1 000 (2)从统计表可以看出，在这 1 000 位顾客中，有 100 位顾客 同时购买了甲、丙、丁，另有 200 位顾客同时购买了甲、乙、丙， 其他顾客最多购买了 2 种商品。 所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率可以 估计为0.3。 100200 1 000 (3)与(1)同理，可得 顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为0.2， 200 1 000 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为 100200300 1 000 0.6。 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为0.1。 100 1 000 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最 大。