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1、课时跟踪检测(十五) 导数与函数的单调性课时跟踪检测(十五) 导数与函数的单调性 一、题点全面练 1下列函数中，在(0，)上为增函数的是( ) Af(x)sin 2x Bf(x)xex Cf(x)x3x Df(x)xln x 解析 ： 选 B 对于 A，f(x)sin 2x的单调递增区间是(kZ)； 对于 B， k 4 ，k 4 f(x)ex(x1)，当x(0，)时，f(x)0，函数f(x)xex在(0，)上为增函 数；对于 C，f(x)3x21，令f(x)0，得x或x，函数f(x)x3x在 3 3 3 3 和上单调递增 ； 对于D，f(x)1 ， 令f(x)0， 得0x (， 3 3) (
2、3 3 ，) 1 x x1 x 1，函数f(x)xln x在区间(0,1)上单调递增综上所述，应选 B. 2已知函数f(x)x22cos x，若f(x)是f(x)的导函数，则函数f(x)的大致图象 是( ) 解析：选 A 设g(x)f(x)2x2sin x，则g(x)22cos x0，所以函数f(x) 在 R 上单调递增，结合选项知选 A. 3若函数f(x)(x2cx5)ex在区间上单调递增，则实数c的取值范围是( ) 1 2，4 A(，2 B(，4 C(，8 D2,4 解析 ： 选 B f(x)x2(2c)xc5ex， 函数f(x)在区间上单调递增， x2 1 2，4 (2c)xc50对任意
3、x恒成立， 即(x1)cx22x5对任意x恒成立， 1 2，4 1 2，4 c对任意x恒成立，x，x14，当且 x22x5 x1 1 2，4 1 2，4 x22x5 x1 4 x1 仅当x1 时等号成立，c4. 4 (2019咸宁联考)设函数f(x)x29ln x在区间a1，a1上单调递减， 则实数a 1 2 的取值范围是( ) A(1,2 B(4，) C(，2) D(0,3 解析 ： 选 A f(x)x29ln x，f(x)x (x0)，由x 0，得 0x3，f(x) 1 2 9 x 9 x 在(0,3上是减函数，则a1，a1(0,3，a10 且a13，解得 1a2. 5(2019南昌联考)
4、已知函数f(x1)是偶函数，当x(1，)时，函数f(x)sin xx，设af，bf(3)，cf(0)，则a，b，c的大小关系为( ) ( 1 2) Abac Bcab Cbca Dabc 解析 ： 选 A 函数f(x1)是偶函数， 函数f(x)的图象关于直线x1 对称， af(1 2) f，bf(3)，cf(0)f(2)又当x(1，)时，函数f(x)sin xx，当x(1，) ( 5 2) 时，f(x)cos x10，即f(x)sin xx在(1，)上为减函数，bac. 6 已 知 函 数yf(x)(x R)的 图 象 如 图 所 示 ， 则 不 等 式xf(x)0 的 解 集 为 _ 解析
5、： 由f(x)图象特征可得， 在和2， )上f(x)0, 在 上f(x) (， 1 2( 1 2，2) 0， 所以xf(x)0Error!或Error!0x 或x2， 所以xf(x)0的解集为2， 1 20， 1 2 ) 答案：2，) 0， 1 2 7(2019岳阳模拟)若函数f(x)x2exax在 R 上存在单调递增区间，则实数a的取 值范围是_ 解析：函数f(x)x2exax在 R 上存在单调递增区间， f(x)2xexa0，即a2xex有解 设g(x)2xex，则g(x)2ex， 令g(x)0，得xln 2， 则当xln 2 时，g(x)0，g(x)单调递增， 当xln 2 时，g(x)
6、0，g(x)单调递减， 当xln 2 时，g(x)取得最大值，且g(x)maxg(ln 2)2ln 22，a2ln 22. 答案：(，2ln 22) 8设f(x)a(x5)26ln x，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与y轴 相交于点(0,6) (1)确定a的值； (2)求函数f(x)的单调区间 解：(1)因为f(x)a(x5)26ln x， 所以f(x)2a(x5) . 6 x 令x1，得f(1)16a，f(1)68a， 所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y16a(68a)(x1)， 由点(0,6)在切线上，可得 616a8a6，解得a . 1 2 (2)由
7、(1)知，f(x) (x5)26ln x(x0)， 1 2 f(x)x5 . 6 x x2x3 x 令f(x)0，解得x2 或x3. 当 0x2 或x3 时，f(x)0； 当 2x3 时，f(x)0， 故函数f(x)的单调递增区间是(0,2)，(3，)，单调递减区间是(2,3) 9已知 e 是自然对数的底数，实数a是常数，函数f(x)exax1 的定义域为(0，) (1)设ae，求函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程； (2)判断函数f(x)的单调性 解：(1)ae，f(x)exex1， f(x)exe，f(1)1，f(1)0. 当ae 时，函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的
8、切线方程为y1. (2)f(x)exax1，f(x)exa. 易知f(x)exa在(0，)上单调递增 当a1 时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增； 当a1 时，由f(x)exa0，得xln a， 当 0xln a时，f(x)0，当xln a时，f(x)0， f(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增 综上，当a1 时，f(x)在(0，)上单调递增； 当a1 时，f(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增 二、专项培优练 (一)易错专练不丢怨枉分 1(2019南昌模拟)已知函数f(x)xsin x，x1，x2，且f(x1)f(x2)，那 (
9、 2 ， 2) 么( ) Ax1x20 Bx1x20 Cxx0 Dxx0 2 12 22 12 2 解析：选 D 由f(x)xsin x，得f(x)sin xxcos xcos x(tan xx)，当x 时，f(x)0，即f(x)在上为增函数，又f(x)xsin(x)xsin x (0， 2)(0， 2) f(x)， f(x)为偶函数， 当f(x1)f(x2)时， 有f(|x1|)f(|x2|)， |x1|x2|，xx0， 2 12 2 故选 D. 2函数f(x)x2ln x的单调递减区间为_ 1 2 解析：由题意知，函数f(x)的定义域为(0，)，由f(x)x 0，得 0x1，所 1 x 以
10、函数f(x)的单调递减区间为(0,1) 答案：(0,1) 3(2019郴州模拟)已知函数f(x)x24x3ln x在区间t，t1上不单调，则 1 2 实数t的取值范围是_ 解析：由题意知f(x)x4 ，由f(x)0 得函数f(x) 3 x x1x3 x 的两个极值点为1和3， 则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内， 函数f(x)在区间t，t 1上就不单调， 1(t，t1)或 3(t，t1)Error!或Error!0t1 或 2t3. 答案：(0,1)(2,3) (二)素养专练学会更学通 4.直观想象已知函数yxf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函 数f(x)的导函数)， 下面四个
11、图象中，yf(x)的图象大致是( ) 解析：选 C 当 0x1 时，xf(x)0，f(x)0，故yf(x)在(0,1)上为减函数； 当x1 时，xf(x)0， f(x)0， 故yf(x)在(1， )上为增函数， 因此排除 A、 B、 D， 故选 C. 5逻辑推理已知函数f(x)x32xex，其中 e 是自然对数的底数若f(a1) 1 ex f(2a2)0，则实数a的取值范围是_ 解析：由f(x)x32xex， 1 ex 得f(x)x32xexf(x)， 1 ex 所以f(x)是 R 上的奇函数 又f(x)3x22ex3x2223x20，当且仅当x0 时取等号， 1 ex ex 1 ex 所以f
12、(x)在其定义域内单调递增 因为f(a1)f(2a2)0， 所以f(a1)f(2a2)f(2a2)， 所以a12a2，解得1a ， 1 2 故实数a的取值范围是. 1， 1 2 答案：1，1 2 6逻辑推理、数学运算已知f(x)ax ，g(x)ln x，x0，aR 是常数 1 x (1)求函数yg(x)的图象在点P(1，g(1)处的切线方程； (2)设F(x)f(x)g(x)，讨论函数F(x)的单调性 解：(1)因为g(x)ln x(x0)， 所以g(1)0，g(x) ，g(1)1， 1 x 故函数g(x)的图象在P(1，g(1)处的切线方程是yx1. (2)因为F(x)f(x)g(x)ax
13、ln x(x0)， 1 x 所以F(x)a a 2 . 1 x2 1 x( 1 x 1 2) 1 4 当a 时，F(x)0，F(x)在(0，)上单调递增； 1 4 当a0 时，F(x)，F(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减； 1x x2 当 0a 时，由F(x)0，得 1 4 x10，x20，且x2x1， 1 14a 2a 1 14a 2a 故F(x)在，上单调递增，在上 (0， 1 14a 2a) ( 1 14a 2a ，) ( 1 14a 2a ，1 14a 2a) 单调递减； 当a0 时，由F(x)0，得 x10，x20， 1 14a 2a 1 14a 2a F(x)在上
14、单调递增，在上单调递减 (0， 1 14a 2a)( 1 14a 2a ，) (三)难点专练适情自主选 7已知函数f(x)axln x，g(x)eax2x，其中aR. (1)当a2 时，求函数f(x)的极值； (2)若存在区间D(0，)，使得f(x)与g(x)在区间D上具有相同的单调性，求实数a 的取值范围 解：(1)当a2 时，f(x)2xln x，定义域为(0，)，则f(x)2 ， 1 x 故当x时，f(x)0，f(x)单调递减；当x 时，f(x)0，f(x)单 (0， 1 2)( 1 2，) 调递增 所以f(x)在x 处取得极小值，且f1ln 2，无极大值 1 2( 1 2) (2)由题
15、意知，f(x)a ，g(x)aeax2， 1 x 当a0 时，g(x)0，即g(x)在 R 上单调递增，而f(x)在上单调递增，故 ( 1 a，) 必存在区间D(0，)，使得f(x)与g(x)在区间D上单调递增； 当a0 时，f(x) 0，故f(x)在(0，)上单调递减，而g(x)在(0，) 1 x 上单调递增，故不存在满足条件的区间D； 当a0时，f(x)a 0， 即f(x)在(0， )上单调递减， 而g(x)在 1 x(， 1 aln( 2 a) 上单调递减，在上单调递增，若存在区间D(0，)，使得f(x)与g(x)在 ( 1 aln( 2 a)，) 区间D上有相同的单调性，则有 ln0，解得a2. 1 a( 2 a) 综上可知，实数a的取值范围为(，2)(0，)