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1、第八章 直线和圆,20102019年高考全国卷考情一览表,考点89,考点90,考点91,考点92,考点89直线的方程、两条直线的位置关系、距离问题 1.(2018北京,理7,5分,难度)在平面直角坐标系中,记d为点P(cos ,sin )到直线x-my-2=0的距离.当,m变化时,d的最大值为( C ) A.1 B.2 C.3 D.4,考点89,考点90,考点91,考点92,2.(2016全国2,理4文6,5分,难度)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( A ),考点89,考点90,考点91,考点92,3.(2014四川,文9,5分,难度)设mR,
2、过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是( B ),解析由题意,得A(0,0),B(1,3), 因为1m+m(-1)=0,所以两直线垂直, 所以点P在以AB为直径的圆上,所以PAPB. 所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10, 设ABP=,考点89,考点90,考点91,考点92,4.(2013湖南,理8,5分,难度)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P为边AB上异于A,B的一点,光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P.若光线QR经过ABC的重心,则AP等于( D ),考点89,考点90,考点91
3、,考点92,解析以A为原点,AB为x轴,AC为y轴建立直角坐标系如图所示. 则A(0,0),B(4,0),C(0,4).,设P点坐标为(m,0),则P点关于y轴的对称点P1为(-m,0),因为直线BC方程为x+y-4=0,所以P点关于BC的对称点P2为(4,4-m),根据光线反射原理,P1,P2均在QR所在直线上,考点89,考点90,考点91,考点92,5.(2012浙江,理3,5分,难度)设aR,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的( A ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析l1与l2
4、平行的充要条件为a(a+1)=21且a41(-1),可解得a=1或a=-2,故a=1是l1l2的充分不必要条件. 6.(2010安徽,文4,5分,难度)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( A ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 解析设直线方程为x-2y+c=0,将点(1,0)代入,解得c=-1,故直线方程为x-2y-1=0.,考点89,考点90,考点91,考点92,7.(2019江苏,10,5分,难度)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+ (x0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是 4 .,考
5、点89,考点90,考点91,考点92,8.(2016上海,理3,5分,难度)已知平行直线l1:2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,则l1,l2的距离是 .,9.(2011浙江,文12,5分,难度)若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m= 1 . 解析由题意知12+(-2)m=0,即m=1.,考点89,考点90,考点91,考点92,考点90圆的方程 1.(2015全国2,理7,5分,难度)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( C ),解析设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点A,B,C代入,得,则圆的方程
6、为x2+y2-2x+4y-20=0. 令x=0得y2+4y-20=0, 设M(0,y1),N(0,y2),则y1,y2是方程y2+4y-20=0的两根, 由根与系数的关系,得y1+y2=-4,y1y2=-20,故|MN|=|y1-,考点89,考点90,考点91,考点92,考点89,考点90,考点91,考点92,3.(2015北京,文2,5分,难度)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( D ) A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2 解析圆的半径r= ,标准方程为(x-1)2+(y-1)2=
7、2.,考点89,考点90,考点91,考点92,4.(2018天津,文12,5分,难度)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为 x2+y2-2x=0 . 解析画出示意图如图所示,则OAB为等腰直角三角形,故所求圆的圆心为(1,0),半径为1,所以所求圆的方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.,考点89,考点90,考点91,考点92,5.(2016浙江,文10,5分,难度)已知aR,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是 (-2,-4) ,半径是 5 . 解析由题意,可得a2=a+2,解得a=-1或2.当a=-1时
8、,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,故圆心为(-2,-4),半径为5;当,考点89,考点90,考点91,考点92,6.(2016天津,文12,5分,难度)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0, )在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为 ,则圆C的方程为 (x-2)2+y2=9 .,考点89,考点90,考点91,考点92,解析由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为(4,0),(0,2),(0,-2),设圆心为(a,0)(a0),考点89,考点90,考点91,考点92,8.(2014陕西,理12,5分,难度)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线
9、y=x对称,则圆C的标准方程为 x2+(y-1)2=1 . 解析因为(1,0)关于y=x的对称点为(0,1),所以圆C是以(0,1)为圆心,以1为半径的圆,其方程为x2+(y-1)2=1.,考点89,考点90,考点91,考点92,9.(2010全国,理15,5分,难度)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为 (x-3)2+y2=2 . 解析由题意知A,B两点在圆C上, 线段AB的垂直平分线x=3过圆心C. 又圆C与直线y=x-1相切于点B(2,1), kBC=-1. 直线BC的方程为y-1=-(x-2), 即y=-x+3. y=-x+3与x=3联立得圆心
10、C的坐标为(3,0),圆C的方程为(x-3)2+y2=2.,考点89,考点90,考点91,考点92,10.(2010全国,文13,5分,难度)圆心在原点且与直线x+y-2=0相切的圆的方程为 x2+y2=2 .,考点89,考点90,考点91,考点92,考点91直线和圆的位置关系 1.(2018全国3,理6文8,5分,难度)直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则ABP面积的取值范围是( A ),考点89,考点90,考点91,考点92,2.(2015广东,理5,5分,难度)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是( A ) A
11、.2x+y+5=0或2x+y-5=0 B.2x+y+ =0或2x+y- =0 C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 D.2x-y+ =0或2x-y- =0 解析设与直线2x+y+1=0平行的直线方程为2x+y+m=0(m1), 因为直线2x+y+m=0与圆x2+y2=5相切,故所求直线的方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.,考点89,考点90,考点91,考点92,3.(2015山东,理9,5分,难度)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( D ),解析如图,作出点P(-2,-3)关于y轴的对称点P0(2,-3).
12、由题意知反射光线与圆相切,其反向延长线过点P0.故设反射光线为y=k(x-2)-3,即kx-y-2k-3=0.,考点89,考点90,考点91,考点92,4.(2015重庆,理8,5分,难度)已知直线l:x+ay-1=0(aR)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=( C ),解析依题意,直线l经过圆C的圆心(2,1),因此2+a-1=0,所以a=-1,因此点A的坐标为(-4,-1).,考点89,考点90,考点91,考点92,5.(2014全国2,文12,5分,难度)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得O
13、MN=45,则x0的取值范围是( A ),考点89,考点90,考点91,考点92,6.(2014浙江,文5,5分,难度)已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是( B ) A.-2 B.-4 C.-6 D.-8,考点89,考点90,考点91,考点92,7.(2014安徽,文6,5分,难度)过点P(- ,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是( D ),考点89,考点90,考点91,考点92,8.(2019天津,理12,5分,难度)设aR,直线ax-y+2=0和圆,命题点参数方程、直线和圆的位置关系. 解题思路由圆的
14、参数方程化为普通方程,求出圆心、半径,利用圆心到直线的距离等于半径,列方程求解.,考点89,考点90,考点91,考点92,9.(2019浙江,12,6分,难度)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则m= -2 ,r= .,10.(2018全国1,文15,5分,难度)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|= 2 .,考点89,考点90,考点91,考点92,11.(2018天津,理12,5分,难度)已知圆x2+y2-2x=0的圆心为C,考点89,考点90,考点91,考点92,12.(2016全国3,理16文
15、15,5分,难度)已知直线l:mx+y+3m- =0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2 ,则|CD|= 4 .,考点89,考点90,考点91,考点92,13.(2016全国1,文15,5分,难度)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2 ,则圆C的面积为 4 .,解析圆C的方程可化为x2+(y-a)2=2+a2,直线方程为x-y+2a=0,故圆C的面积为(2+a2)=4.,考点89,考点90,考点91,考点92,14.(2015江苏,10,5分,难度)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)
16、为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(mR)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 (x-1)2+y2=2 .,解析(方法一)设A(1,0).由mx-y-2m-1=0,得m(x-2)-(y+1)=0,则直线过定点P(2,-1),即该方程表示所有过定点P的直线系方程. 当直线与AP垂直时,所求圆的半径最大.,故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.,考点89,考点90,考点91,考点92,当m=0时,r=1; 当m0时,m2+12m(当且仅当m=1时取等号).,故半径最大的圆的方程为(x-1)2+y2=2.,考点89,考点90,考点91,考点92,15.(2014重庆,理13,5分,难度)
17、已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且ABC为等边三角形,则实数a= 4 .,考点89,考点90,考点91,考点92,16.(2015全国1,文20,12分,难度)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点. (1)求k的取值范围; (2)若 =12,其中O为坐标原点,求|MN|.,解(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1. 因为l与C交于两点,考点89,考点90,考点91,考点92,(2)设M(x1,y1),N(x2,y2). 将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1, 整理得
18、(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.,所以l的方程为y=x+1. 故圆心C在l上,所以|MN|=2.,考点89,考点90,考点91,考点92,17.(2015广东,理20,14分,难度)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B. (1)求圆C1的圆心坐标; (2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程; (3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.,考点89,考点90,考点91,考点92,解(1)由x2+y2-6x+5=0,得(x-3)2+y2=4, 从而可知圆C1的圆心坐标为(3,0
19、). (2)设线段AB的中点M(x,y), 由弦的性质可知C1MAB,即C1MOM. 故点M的轨迹是以OC1为直径的圆,即x2+y2-3x=0. 又因为点M为线段AB的中点,所以点M在圆C1内,考点89,考点90,考点91,考点92,(3)存在实数k满足题意.,又直线L:y=k(x-4)过定点D(4,0),考点89,考点90,考点91,考点92,18.(2014全国1,文20,12分,难度)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点. (1)求M的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及POM的面积.,考
20、点89,考点90,考点91,考点92,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0, 即(x-1)2+(y-3)2=2. 由于点P在圆C的内部, 所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.,考点89,考点90,考点91,考点92,考点92圆与圆的位置关系,考点89,考点90,考点91,考点92,2.(2016山东,文7,5分,难度)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a0)截直线x+y=0所得线段的长度是2 .则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( B ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离,解析圆M的方程可化为x2+(y-a)2=a2,故其圆心为M(0,a),半径R
21、=a.,圆N的圆心N(1,1),半径r=1.,显然R-r|MN|R+r,所以两圆相交.,考点89,考点90,考点91,考点92,3.(2014北京,文7,5分,难度)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m0).若圆C上存在点P,使得APB=90,则m的最大值为( B ) A.7 B.6 C.5 D.4 解析因为A(-m,0),B(m,0)(m0),所以使APB=90的点P在以线段AB为直径的圆上,该圆的圆心为O(0,0),半径为m. 而圆C的圆心为C(3,4),半径为1. 由题意知点P在圆C上,故两圆有公共点. 所以两圆的位置关系为外切、相交或内切, 故
22、m-1|CO|m+1, 即m-15m+1,解得4m6. 所以m的最大值为6.故选B.,考点89,考点90,考点91,考点92,4.(2013重庆,理7,5分,难度)已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( A ),解析圆C1,C2的圆心分别为C1,C2,由题意知|PM|PC1|-1,|PN|PC2|-3,|PM|+|PN|PC1|+|PC2|-4,故所求值为|PC1|+|PC2|-4的最小值.又C1关于x轴对称的点为C3(2,-3),考点89,考点90,考点91,考点
23、92,5.(2013江苏,17,14分,难度)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上. (1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程; (2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.,考点89,考点90,考点91,考点92,解(1)由题设,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在. 设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3,故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0. (2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为(x-a)2+y-2(a-2)2=1. 设点M(x,y),因为MA=2MO,x2+(y+1)2=4,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上. 由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2-1|CD2+1,考点89,考点90,考点91,考点92,