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1、第4讲 直线、平面平行的判定与性质,1.理解以下判定定理. 如果平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.,2.理解以下性质定理，并能够证明. 如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行. 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行. 3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.,(续表),1.设 AA是长方体的一条棱，这个长方体中与 AA平行,),C,的棱共有( A.1 条 C.3 条,B.2 条 D.4 条,2.下
2、列命题中，正确的是(,),D,A.若 a，b 是两条直线，且 ab，那么 a 平行于经过 b 的 任何平面 B.若直线 a 和平面满足 a，那么 a 与内的任何直线 平行 C.若直线 a，b 和平面满足 a，b，那么 ab D.若直线 a，b 和平面满足 ab，a，b ，则 b,3.下列命题中，正确命题的个数是(,),A,若直线 l 上有无数个点不在平面内，则 l； 若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任意一条直线都 平行； 如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么 另一条直线也与这个平面平行； 若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任意一条直线都 没有公共点.,A.1 个,
3、B.2 个,C.3 个,D.4 个,4.(2018 年浙江)已知平面，直线m，n 满足 m ，n，,),A,则“mn”是“m”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,考点 1,直线与平面平行的判定与性质,例 1：(1)(2017 年新课标)在下列四个正方体中，A，B为 正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正,方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是(,),A,B,C,D,解析：由 B 图知 ABMQ，则直线 AB平面 MNQ；由 C 图知 ABMQ，则直线 AB平面 MNQ；由 D 图知 ABNQ， 则直线 AB平面
4、MNQ.故选 A.,答案：A,(2)如图 8-4-1，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，P 分别 为其所在棱的中点，能得出 AB平面 MNP 的图形的序号是 _(写出所有符合要求的图形序号).,图 8-4-1,解析：如题图，MNAC，NPAD，平面 MNP 平面 ADBC.AB平面 MNP.如题图，假设 AB平面 MNP， 设 BDMPQ，则 NQ 为平面 ABD 与平面 MNP 的交线.AB NQ.N 为 AD 的中点，Q 为 BD 的中点.但由 M，P 分别为,如题图，BD 与 AC 平行且相等，四边形 ABDC 为平行四 边形.ABCD.又M，P 为棱的中点，MPCD.ABMP. 从而
5、可得 AB平面 MNP.如题图，假设 AB平面 MNP，并,设直线 AC平面 MNPD，则有 ABMD.M 为 BC 中点， D 为 AC 中点，显然与题设条件不符，得不到 AB平面,MNP.,答案：,【规律方法】证明直线 a 与平面平行，关键是在平面内 找一条直线 b，使 ab，如果没有现成的平行线，应依据条件 作出平行线.有中点的常作中位线.,【互动探究】 1.(2017 年山东济南模拟)在如图 8-4-2 所示的三棱柱 ABC- A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置 关系是( ) 图 8-4-2,A.异面,B.平行,C.相交,D.以上均有可能,解析：在
6、三棱柱 ABC-A1B1C1中，ABA1B1. AB平面 ABC，A1B1 平面 ABC， A1B1平面 ABC.,过 A1B1 的平面与平面 ABC 交于 DE， DEA1B1.DEAB. 答案：B,考点 2,平面与平面平行的判定与性质,例 2：如图8-4-3，在三棱锥 S-ABC 中，平面 SAB平面 SBC，ABBC，ASAB.过点 A 作 AFSB，垂足为 F，点 E， G 分别是棱 SA，SC 的中点.求证： (1)平面 EFG平面 ABC； (2)BCSA. 图 8-4-3,证明：(1)ASAB，AFSB，F 是 SB 的中点. E，F 分别是 SA，SB 的中点，EFAB. 又E
7、F 平面 ABC，AB平面 ABC， EF平面 ABC.同理，FG平面 ABC. 又EFFGF，EF，FG平面 EFG， 平面 EFG平面 ABC.,(2)平面 SAB平面 SBC，且交线为 SB， AF平面 SAB，且 AFSB，AF平面 SBC. 又BC平面 SBC，AFBC.,又ABBC，ABAFA，AB平面 SAB，AF平面 SAB，,BC平面 SAB.,又SA平面 SAB，BCSA.,【规律方法】证明平面与平面平行，就是在一个平面内找 两条相交直线平行于另一个平面，从而将面面平行问题转化为 线面平行问题.,【互动探究】 2.在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E 为
8、棱 AD 中,点，过点B1，且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为( ),图 D72 答案：C,考点 3,线面、面面平行的综合应用,例 3：如图 8-4-4，已知有公共边 AB 的两个正方形 ABCD 和 ABEF 不在同一平面内，P，Q 分别是对角线 AE，BD 上的点， 且 APDQ.求证：PQ平面 CBE. 图 8-4-4,证明：方法一，如图 8-4-5(1)，连接 AQ 并延长交 BC 于 G， 连接 EG，,则,AQ QG,DQ QB,.,APDQ，PEBQ，,AQ AP . QG PE,PQEG. 又 PQ 平面 CBE，EG平面 CBE， PQ平面 CBE.,(1),(2),(
9、3),图 8-4-5,CDAB，AEBD，PEBQ， PKQH. 四边形 PQHK 是平行四边形. PQKH. 又 PQ 平面 CBE，KH平面 CBE， PQ平面 CBE. 方法三，如图 8-4-5(3)，过点 P 作 POEB，交 AB 于点 O， 连接 OQ，,平面 POQ平面 CBE.,又PQ 平面 CBE，PQ平面 POQ， PQ平面 CBE.,【规律方法】证明线面平行，关键是在平面内找到一条直 线与已知直线平行.方法一是作三角形得到的；方法二是通过作 平行四边形得到在平面内的一条直线KH；方法三利用了面面平 行的性质定理.,【互动探究】 3.(2015 年安徽)已知 m，n 是两条
10、不同的直线，是两个,不同的平面，则下列命题正确的是(,),A.若，垂直于同一平面，则与平行 B.若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行 C.若，不平行，则在内不存在与平行的直线 D.若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面,解析：若，垂直于同一平面，则，可以相交、平行， 故 A 错误；若 m，n 平行于同一平面，则 m，n 可以平行、相 交、异面，故 B 错误；若，不平行，但平面内会存在平行 于的直线，如平面中平行于，交线的直线，故 C 错误；其 逆否命题为“若 m 与 n 垂直于同一平面，则 m，n 平行”是真 命题，故 D 项正确.故选 D.,答案：D,难点突破
11、立体几何中的探究性问题 例题：(2018 年新课标)如图 8-4-6，矩形 ABCD 所在平面 与半圆弧 所在平面垂直，M 是 上异 于 C，D 的点. (1)证明：平面 AMD平面 BMC； (2)在线段 AM 上是否存在点 P，使得,MC平面 PBD？说明理由.,图 8-4-6,(1)证明：由题设知，平面 CMD平面 ABCD，交线为 CD. 因为 BCCD，BC平面 ABCD， 所以 BC平面 CMD.故 BCDM.,因为 M 为 上异于 C，D 的点，且 DC 为直径， 所以 DMCM.,又 BCCMC，所以 DM平面 BMC.,而 DM平面 AMD，故平面 AMD平面 BMC.,(2
12、)解：当 P 为 AM 的中点时，MC平面 PBD. 证明如下：如图 8-4-7，连接 AC 交 BD 于 O.,图 8-4-7,因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 AC 中点.,连接 OP，因为 P 为 AM 中点，所以 MCOP.,又 MC 平面 PBD，OP平面 PBD，所以 MC平面 PBD.,【规律方法】解决探究性问题一般先假设求解的结果存在， 从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，若找到了 使结论成立的充分条件，则存在；若找不到使结论成立的充分 条件(出现矛盾)，则不存在.而对于探求点的问题，一般是先探 求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合 要求的证明.,【互动探究】 4.如图848，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，D1分别 为AC，A1C1上的点.,图 8-4-8,解：(1)如图 D73，取 D1为线段A1C1的中点，此时,连接 A1B 交 AB1 于点 O，连接 OD1. 由棱柱的性质，知四边形 A1ABB1 为平行 四边形， 点 O 为 A1B 的中点. 在A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1,图 D73,的中点. OD1BC1.,