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1、第三章不等式本章复习学习目标1.理解生活中存在着大量的数量关系,了解不等式(组)的实际背景,理解不等式一些基本性质.2.深刻理解三个二次之间的关系.以二次函数为中心,能运用二次函数的图象、性质解答不等式的有关问题.渗透函数与方程思想、数形结合思想及分类讨论思想.3.能从实际情境中抽象出二元一次不等式组;并能用平面区域表示;能熟练解答线性规划问题,并理解其中蕴含的数形结合思想.4.能够灵活熟练地利用基本不等式解决相关的最值问题.合作学习一、设计问题,创设情境题组一:再现型题组求解下列各题,并思考每道题目考查的知识点.1.已知ab,有下列结论:acbc;a2b2;1ab3.其中正确结论的序号为.
2、2.不等式x2-2x-150的解集是.3.二元一次不等式x-y-10表示的平面区域在直线x-y-1=0的方.4.若变量x,y满足约束条件y2x,x+y1,y-1,则x+2y的最大值是. 5.已知x0,y0,且x+y=2,则x2+y2的最小值为. 二、运用规律,解决问题【例1】已知函数f(x)=x2-(a+1)x+a,aR.(1)若不等式f(x)0的解集是1,3,求实数a的值.(2)是否存在实数a,使得不等式f(x)0有实数解?若存在,求出所有的实数a;若不存在,请说明理由.(3)解关于x的不等式f(x)0.师生交流1:本题中所体现的思想方法可以推广到一般情形吗?请你尝试总结一下.【例2】已知实
3、数x,y满足2x+y6,x+3y9,x+y6.(1)求y-1x+1的最大值和最小值;(2)若目标函数z=ax+y(a1时,x|1xa;当a=1时,x|x=1;当a1时,x|ax1.师生交流1:规律一:不等式f(x)0、方程f(x)=0都可以看做是y=f(x)的特殊情形.因此,不等式问题的求解策略,一般有两个:一是直接求不等式的解集;二是构造相应的函数,将不等式问题转化为函数的值域、最值问题或利用函数的图象求解.如本题中不等式的能成立、恒成立问题,可以通过求不等式的解集完成;可以转化为相应函数的最值问题求解;也可以根据图象求解.【例2】解:作出可行域,如图所示(阴影部分).(1)因为y-1x+1
4、表示可行域内的点(x,y)与点P(-1,1)连线的斜率,结合图形可以知道,该斜率介于直线PC和直线PA之间.解方程组x+y=6,x+3y=9,得点C的坐标为x=92,y=32.又A(0,6),所以32-192+1y-1x+16-10+1,即111y-1x+15.所以y-1x+1最大值为5,最小值为111.(2)z=ax+y可化为y=-ax+z,它表示斜率为-a的一族直线,因为a0,故直线经过点C时,z最小为3.将x=92,y=32代入3=ax+y,解得a=13.师生交流2:数形结合思想;例如y-1x+1几何意义,甚至更细致一些是哪两个点之间的连线斜率都要观察出来;再如目标函数对应的直线的斜率与
5、边界直线斜率之间的比较;再如直线过定点问题等等.规律二:运用数形结合思想解答问题时,首先要观察数学式子中的各个系数对图象的制约,与图象对应起来;然后,在图形中观察出的规律、结论也要对应到数学式子中的相应系数上来.【例3】解:(1)xy=12x(2y)12x+2y22=18.当且仅当x=2y,x+2y=1,即x=12,y=14时,xy的最大值为18.(2)方法一:因为x+2y=1,所以1x+1y=1x+1y(x+2y)=3+2yx+xy3+22.当且仅当2yx=xy,x+2y=1,即x=2-1,y=2-22时,1x+1y最小值为3+22.方法二:因为x+2y=1,所以x=1-2y,又x0,y0,
6、所以0y12,所以1x+1y=11-2y+1y=1-yy(1-2y),(*)令t=1-y,则12t1,(*)式可化为t(1-t)(2t-1)=t-2t2+3t-1=1-2t+1t+313-22.当且仅当2t=1t,即t=22,x=2-1,y=2-22时,1x+1y最小值为3+22.师生交流3:有,可以消元,转化为一元函数求最值.规律三:“二元函数的最值问题”的求解方法,一般有三种:(1)通过消元转化为“一元”函数求解,体现了化归转化的数学思想;(2)寻求条件、结论的几何意义,数形结合求解,体现了数形结合思想;(3)构造基本不等式所必须的条件,运用基本不等式求解,体现了化归转化思想.要观察条件、
7、结论的特征,根据这些特征合理选择方法.三、变式训练,深化提高变式训练1:解:结合二次函数图象可知,只需f(1)0,f(3)0,即00,6-2a0,解得a3.所以实数a的取值范围是3,+).变式训练2:解:由2x+y6,x+3y9,kx+y6.可确定如图所示的平面区域,又因为z=x+y的最小值为5,即直线x+y=5与平面区域相交在最靠下的位置.由x+3y=9,x+y=5解得B(3,2),又因为直线kx+y=6过点B(3,2),所以3k+2=6,解得k=43.变式训练3:解:x+y=xy2xy,即xy2xy,又x,y为正实数,所以xy2,xy4.当且仅当x=y,x+y=xy,即x=y=2时,等号成立.四、反思小结,观点提炼1. 三个二次之间的关系在解决一元二次不等式问题中的应用;线性规划问题的求解策略;灵活运用基本不等式求最大(小)值.2.函数与方程、分类讨论、数形结合、化归转化的数学思想.