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1、专题十专题十 不等式不等式 【考试内容考试内容】 均值不等式均值不等式;一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法;二元一次不二元一次不 等式组等式组;简单线性规划问题简单线性规划问题 【近近5年新课标卷考点统计年新课标卷考点统计】 年份年份 试卷类型试卷类型 20142015201620172018 新课标新课标卷卷55555 新课标新课标卷卷55555 新课标新课标卷卷555 重要考点回顾重要考点回顾 一、均值不等式一、均值不等式 两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 若若a,b0,则则 (当且仅当当且仅当a=b时取等号时取等号) 基本变形基本变
2、形: 2 ab ab 2 22 222 2(0,0);(); 2 ,R,2,() 22 ab abab abab abab a babab 若则 基本应用基本应用:求函数最值求函数最值:注意注意:一正二定三取等一正二定三取等;积定和小积定和小, 和定积大和定积大. 当当ab=p(常数常数),当且仅当当且仅当a=b时时,a+b最小值为最小值为 当当 a+b=S(常数常数),当且仅当当且仅当a=b时时,ab最大值为最大值为 2;p 2 ; 4 S 二、常用的基本不等式二、常用的基本不等式 1.设设a,bR,则则a20,(a-b)20(当且仅当当且仅当a=b时取等号时取等号) 2.|a|a(当且仅当
3、当且仅当a0时取等号时取等号);|a|-a(当且仅当当且仅当a0时取等号时取等号) 3.ab,ab01 1 ; ab 注意注意:(1)特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法,此法此法 尤其适用于不成立的命题尤其适用于不成立的命题. (2)另外需要特别注意另外需要特别注意: 若若ab0,则则 时时,有有ab(a0):若若a0,则则x ;若若a0,则则x ; 2.一元二次不等式一元二次不等式:一元二次不等式二次项系数小于零的一元二次不等式二次项系数小于零的,同同 解变形为二次项系数大于零解变形为二次项系数大于零; 注注:要对要对进行讨论进行讨论. 3.绝对
4、值不等式绝对值不等式:若若a0,则则|x|a;xa. b a b a b a b a 4.二次不等式与二次函数及二次方程的关系二次不等式与二次函数及二次方程的关系(a0): 12 2 b xx a 判别式判别式 =b2-4ac 二次函数二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的图象 二次方程二次方程 ax2+bx+c=0 的根的根 二次不等式二次不等式 ax2+bx+c0 的解集的解集 二次不等式二次不等式 ax2+bx+c0 有两相异实有两相异实 根根x1,x2(x1x2 x|x10在平面直角坐标系中表示在平面直角坐标系中表示 Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域某一侧所有点组成的平面
5、区域.只需在直线某一侧取只需在直线某一侧取 一个特殊点一个特殊点(x0,y0),从从Ax0+By0+C的正负即可判断的正负即可判断Ax+By+C0表示表示 直线哪一侧的平面区域直线哪一侧的平面区域.特别地特别地,当当C0时时,通常把原点作为此特殊通常把原点作为此特殊 点点. 一般地一般地,我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当当 我们在坐标系中画不等式我们在坐标系中画不等式Ax+By+C0所表示的平面区域时所表示的平面区域时,此区此区 域应包括边界直线域应包括边界直线,则把直线画成实线则把直线画成实线. 2.求线性规划问题的步骤是求线性规划问题
6、的步骤是: (1)根据实际问题的约束条件列出不等式根据实际问题的约束条件列出不等式; (2)作出可行域作出可行域,写出目标函数写出目标函数; (3)确定目标函数最优位置确定目标函数最优位置,从而获得最优解从而获得最优解. 1.设设a,bR,若若a-|b|0,则下列不等式中正确的是则下列不等式中正确的是( ) A.b-a0B.a3+b30D.a2-b2b1,cloga(b-c), 其中所有的正确结论的序号是其中所有的正确结论的序号是( ) A.B.C.D. D,3,2,1,D.abc 【解析】 特殊值法 取故选 ; cc ab 3.不等式不等式 的解集是的解集是 ( ) A.(1,+)B.(-,
7、-2) C.(-2,1)D.(-,-2)(1,+) C120,21,() C )( . xxx 【解析】 原不等式等价于解得 故选 1 0 2 x x 4.不等式不等式x2-5x+60的解集为的解集为 . | ()() 23 230,23,23. | xx xxxxx 【解析】 解得解集为 5.不等式不等式|x-1|f(1)的解集是的解集是( ) A.(-3,1)(3,+)B.(-3,1)(2,+) C.(-1,1)(3,+)D.(-,-3)(1,3) 2 A11 463,1 3. 63463 :01330, 00 13,1 ( )( )( ) ( ) ( )( )()(3A),. ff xf
8、 f x xxx xxx xx f xf 【解析】 因为所以不等式的 解集就是的解集 于是有或解得或或 即不等式的解集是故选 2 46,0 ( ) 6,0 xxx f x xx 7.在在R上定义运算上定义运算:ab=ab+2a+b,则满足则满足x(x-2)1,b1,若若ax=by=3,a+b= ,则则 最大值是最大值是( ) A.2B.C.1D. 33 2 33333 C1,13:log 3,log 3, 11 :log,log 11 :logloglogloglog 31 2 11 ,1,C. () xy ab ababxy ab xy ab abab xy ab xy 【解析】 由且得 于
9、是有 从而有 当且仅当时 上式成立等号 此时取大值 故选 2 3 11 xy 3 2 1 2 10.若正数若正数x,y满足满足x+3y=5xy,则则3x+4y的最小值是的最小值是 ( ) A.B.C.5D.6 ()( 31 C35:5,: 1 311 123 343413 55 1123 2135 5 )( C ) () . xyxy xy yx xyxy xyxy yx xy 【解析】 由得于是有 故选 24 5 28 5 11.若变量若变量x、y满足满足 ,则则z=3x+2y的最大值是的最大值是 . max 70. ,32,32. 240 250 10,20 :3 102 2070. ()
10、 xyzBzxy xy xy B z 【解析】 原不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示 易知 当直线过点 时目标函数取最大值 由方程组 解得点 的坐标为 即 240 250 0 0 xy xy x y 12.已知平面直角坐标系已知平面直角坐标系xOy上的区域上的区域D由不等式组由不等式组 给给 定定,若若M(x,y)为为D上的动点上的动点,点点A的坐标为的坐标为 ,则则 的的 最大值为最大值为( ) A.3B.4C.3D.4 B. ,1 . 2, ,2 ()( 2 ) ( 2) , 2. ,2 ,4,B. D OMx y OA zOM OAxy xyzB zOM OAxy Bz 【解析】
11、 原不等式组所表示的平面区域 如图中阴影部分所示 由条件可知 于是有 易知 当直线过点 时 目标函数取最大值 显然于是有 的最大值为故选 02 2 2 x y xy ( 2,1)zOM OA 22 13.已知变量已知变量x,y满足约束条件满足约束条件 ,则则z=x+2y的最小值为的最小值为( ) A.3B.1C.-5D.-6 min () C. ,2, 2. 1, 2 . :1225,C).( xyzB zxy B z 【解析】 原不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示 易知 当直线过点 时 目标函数取最小值 易得点 的坐标为 即故选 1 1 10 xy xy x 14.满足约束条件满足约
12、束条件|x|+2|y|2的目标函数的目标函数z=y-x的最小值是的最小值是 . min 2. , . 2,0 :2. () yxzC zyx C z 【解析】 原不等式所表示的平面区域如图中阴影部分所示 易知 当直线过点 时 目标函数取最小值 易得点 的坐标为 即 15.不等式组不等式组 所表示的平面区域的面积等于所表示的平面区域的面积等于( ) C, 4 0,40, 3 3403401,1 , 144 41.C. 2 ()() () () 33 ABC ABC AB xyxyC S 【解析】 不等式组表示的平面区域如图 为三角形 易得、 又直线与的交点为 所以故选 0 34 34 x xy
13、xy 3243 A.B.C.D. 2334 16.设设x,y满足满足 ,则则z=x+y( ) A.有最小值有最小值2,最大值最大值3B.有最小值有最小值2,无最大值无最大值 C.有最大值有最大值3,无最小值无最小值D.既无最小值既无最小值,也无最大值也无最大值 min B. 2,0,2, ,. ) . ( B yxzAz z 【解析】 原不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分 易知当直线过点时 因原区域为开放区域 故 无最大值故选 24 1 22 xy xy xy 17.在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,若不等式组若不等式组 (a为常数为常数)所表所表 示的平面区域内的面积等于示的平面区域
14、内的面积等于2,则则a的值为的值为 ( ) A.-5B.1C.2D.3 D1010 , 100,1 , . 2,1,1 ,0,1 ,1,0 , 1 :1 () ()()() (12,3,)D. 2 ABC ABC xxy axy ABC SAaBC Saa 【解析】 如图得出的区域即为满足与的 平面区域 而直线恒过点 故原不等式组表示的平面区域即为 于是易知 故有所以故选 10 10 10 xy x axy 18.某公司租赁甲、乙两种设备生产某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品两类产品,甲种设备每甲种设备每 天能生产天能生产A类产品类产品5件和件和B类产品类产品10件件,乙种设备每天能生
15、产乙种设备每天能生产A类类 产品产品6件和件和B类产品类产品20件件.已知设备甲每天的租赁费为已知设备甲每天的租赁费为200元元,设备设备 乙每天的租赁费为乙每天的租赁费为300元元,现该公司每天至少要生产现该公司每天至少要生产A类产品类产品50 件件,B类产品类产品140件件,所需租赁费最少为所需租赁费最少为 元元. 2300, , ,200300 , ,: x y zzxy A B 【解析】 设甲种设备需要每天租赁 套 乙种设备需要 每天租赁 套 该公司每天所需租赁费为 元 则 甲、乙两种设备生产两类产品的情况为下表所示 产品产品 设备设备 A类类产品产品 (件件)(50) B类类产品产品
16、 (件件)(140) 租赁费租赁费 (元元) 甲设备甲设备510200 乙设备乙设备620300 6 10 5650 5 1020140,:214 , 0,00,0 , 200300 6 10 4,5,5 214 200 ( 3002300. ) xy xy xyxy xyxy zxy xy A xy zxy 则满足的关系为即 作出不等式表示的平面区域 可知当对应的直线过 两直线的交点时 目标函数取得最小值为元 19.设设x,y满足约束条件满足约束条件 ,则则z=2x-y的最大值为的最大值为 . 3.20 ( , 3,3, 2 333. ) xy Az z 【解析】 画出可行域如图所示画出直线
17、并平移 当直线经过点时 取最大值 且最大值为 13 10 x xy 20.若变量若变量x,y满足约束条件满足约束条件 ,从可行域内任意取一点从可行域内任意取一点 (x,y),则则2x-y0的概率为的概率为( ) B, 20 . xy 【解析】 画出可行域如图所示 通过寻找与可行域的交集部分 利用面积比求出概率 24 0 0 xy x y 2111 A.B.C.D. 3234 21.变量变量x、y满足线性约束条件满足线性约束条件 ,则目标函数则目标函数z=kx-y, 仅在点仅在点(0,2)取得最小值取得最小值,则则k的取值范围是的取值范围是 ( ) A.k1C.-3k1D.-1k1 () ( C
18、, 0,2 0),2 3203, 21. z xy yx 【解析】 画出可行域如图 可知需要满足目标函数 在点取得最小值 则需绕点旋转的直线簇中斜率 大于的斜率 小于的斜率 320 2 1 xy yx yx 22.若变量若变量x,y满足约束条件满足约束条件 ,则则 的最小值为的最小值为 . 22 2 5 , 5 , 0,0. () () zxyx y OH 【解析】 画出可行域如图所示 的几何意义为可行域上的点 到的距离即为所求 22 2 1 xy x y 22 xy 23.设设x,y满足约束条件满足约束条件 ,且且z=x+ay的最小值为的最小值为7,则则a=( ) A.-5B.3C.-5或或
19、3D.5或或-3 11 () 22 B, . ,0, , 11 ( , 7,53. 5, ) 22 ,. aa aa xay Az aaa az 【解析】 画出不等式组对应的平面区域 如图所示 在平面区域内 平移直线 可知在点处 取得最值 故解得或 但时 取得最大值 故舍去 1 xya xy 24.若若x,y满足约束条件满足约束条件 ,则则z=2x+3y-5的最大值为的最大值为 . min 10, , 235( 1, 1 , 21 ) ()()31510. zxyA z 【解析】 作出不等式组满足的平面区域 如图所示 由图知当目标函数经过点时 取得最小值 即 210 210 1 xy xy x
20、 25.某高科技企业生产产品某高科技企业生产产品A和产品和产品B需要甲、乙两种新型材需要甲、乙两种新型材 料料.生产一件产品生产一件产品A需要甲材料需要甲材料1.5kg,乙材料乙材料1kg,用用5个工时个工时;生产生产 一件产品一件产品B需要甲材料需要甲材料0.5kg,乙材料乙材料0.3kg,用用3个工时个工时,生产一件产生产一件产 品品A的利润为的利润为2100元元,生产一件产品生产一件产品B的利润为的利润为900元元.该企业现有该企业现有 甲材料甲材料150kg,乙材料乙材料90kg,则在不超过则在不超过600个工时的条件下个工时的条件下,生产生产 产品产品A,产品产品B的利润之和的最大值为的利润之和的最大值为 元元. * 216000, , 1.50.5150 0.390 : 53600, 0,0 NN 2100900 , () () () () , 0,0 , 90,0 , 60,100 , 0,200 . 6 ( 0, ) )100( AxBy xy xy xy xy xy zxy 【解析】 设生产 产品 件产品 件 根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件 构造线性规则约束条件为 ， 目标函数 作出可行域为图中的四边形 包括边界 其四顶点为 在处,2100 60900 100216000.z 取得最大值元