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1、考点规范练22三角恒等变换考点规范练B册第14页一、基础巩固1.2sin47-3sin17cos17=()A.-3B.-1C.3D.1答案D解析原式=2sin47-sin17cos30cos17=2sin(17+30)-sin17cos30cos17=2sin 30=1.故选D.2.已知2sin 2=1+cos 2,则tan 2=()A.43B.-43C.43或0D.-43或0答案C解析因为2sin 2=1+cos 2,所以2sin 2=2cos2.所以2cos (2sin -cos )=0,解得cos =0或tan =12.若cos =0,则=k+2,kZ,2=2k+,kZ,所以tan 2=
2、0.若tan =12,则tan 2=2tan1-tan2=43.综上所述,故选C.3.已知函数f(x)=3sin xcos x+3cos2x(0)的最小正周期为2,将函数f(x)的图象向左平移(0)个单位后,得到的函数图象的一条对称轴为x=8,则的值不可能为()A.524B.1324C.1724D.2324答案B解析f(x)=3sin xcos x+3cos2x=32sin 2x+31+cos2x2=3sin2x+6+32,22=2,即=2,f(x)=3sin4x+6+32.平移后的函数为g(x)=3sin4(x+)+6+32=3sin4x+4+6+32.由题意,得48+4+6=k+2,kZ,
3、解得=k4-24,kZ,故选B.4.已知f(x)=sin2x+sin xcos x,则f(x)的最小正周期和一个单调递增区间分别为()A.,0,B.2,-4,34C.,-8,38D.2,-4,4答案C解析由f(x)=sin2x+sin xcos x=1-cos2x2+12sin 2x=12+2222sin2x-22cos2x=12+22sin2x-4,则T=22=.又2k-22x-42k+2(kZ),k-8xk+38(kZ)为函数的单调递增区间.故选C.5.已知5sin 2=6cos ,0,2,则tan 2=()A.-23B.13C.35D.23答案B解析由题意,知10sin cos =6co
4、s ,又0,2,sin =35,cos =45,tan 2=sin 2cos 2=2sin222sin 2cos 2=1-cossin=1-4535=13.6.已知tan+4=-12,且2,则sin2-2cos2sin-4等于()A.255B.-3510C.-255D.-31010答案C解析sin2-2cos2sin-4=2sincos-2cos222(sin-cos)=22cos ,由tan+4=-12,得tan+11-tan=-12,解得tan =-3.因为20,02的图象的相邻两对称轴之间的距离为,且在x=6时取得最大值2,若f()=95,且623,则sin2+23的值为()A.1225
5、B.-1225C.2425D.-2425答案D解析由题意知,T=2,即T=2=2,即=1.又当x=6时,f(x)取得最大值,即6+=2+2k,kZ,即=3+2k,kZ.02,=3,f(x)=sinx+3+1.f()=sin+3+1=95,可得sin+3=45.623,可得2+30),则A=,b=.答案21解析因为2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x=2sin2x+4+1,所以A=2,b=1.9.(2018江苏,16)已知,均为锐角,且tan =43,cos(+)=-55.(1)求cos 2的值;(2)求tan(-)的值.解(1)因为tan =43,tan =sincos,
6、所以sin =43cos .因为sin2 +cos2=1,所以cos2=925,因此cos 2=2cos2 -1=-725.(2)因为,为锐角,所以+(0,).又因为cos+=-55,所以sin(+)=1-cos2(+)=255,因此tan(+)=-2.因为tan =43,所以tan 2=2tan1-tan2=-247.因此,tan(-)=tan2-(+)=tan2-tan(+)1+tan2tan(+)=-211.10.已知函数f(x)=sinx-6+cosx-3-2sin2x2(0)的周期为.(1)求的值;(2)若x0,2,求f(x)的最大值与最小值.解(1)函数f(x)=sinx-6+co
7、sx-3-2sin2x2=sin xcos6-cos xsin6+cos xcos3+sin xsin3-21-cosx2=3sin x+cos x-1=2sinx+6-1(0),f(x)的周期为2=,=2.(2)x0,2,2x+66,76.sin2x+6-12,1.f(x)的最大值为1,最小值为-2.11.已知点4,1在函数f(x)=2asin xcos x+cos 2x的图象上.(1)求a的值和f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在(0,)内的单调递减区间.解(1)函数f(x)=2asin xcos x+cos 2x=asin 2x+cos 2x.f(x)的图象过点4,1,即1=as
8、in2+cos2,可得a=1.f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin2x+4.函数f(x)的最小正周期T=22=.(2)由2k+22x+432+2k,kZ,可得k+8x58+k,kZ.函数f(x)的单调递减区间为k+8,58+k,kZ.x(0,),当k=0时,可得单调递减区间为8,58.二、能力提升12.已知m=tan(+)tan(-+),若sin2(+)=3sin 2,则m=()A.-1B.34C.32D.2答案D解析sin2(+)=3sin 2,sin(+)-(-)=3sin(+)-(+-),sin(+)cos(-)-cos(+)sin(-)=3sin(+)cos(+-)-3cos
9、(+)sin(+-),即-2sin(+)cos(+-)=-4cos(+)sin(+-),tan(+)=2tan(+-),故m=tan(+)tan(-+)=2,故选D.13.已知cos =13,cos(+)=-13,且,0,2,则cos(-)的值等于()A.-12B.12C.-13D.2327答案D解析0,2,2(0,).cos =13,cos 2=2cos2-1=-79,sin 2=1-cos22=429,又,0,2,+(0,),sin(+)=1-cos2(+)=223,cos(-)=cos 2-(+)=cos 2cos(+)+sin 2sin(+)=-79-13+429223=2327.14
10、.已知函数f(x)=2sinx+524cosx+524-2cos2x+524+1,则f(x)的最小正周期为;函数f(x)的单调递增区间为.答案k-3,k+6(kZ)解析f(x)=2sinx+524cosx+524-2cos2x+524+1=sin2x+512-cos2x+512=2sin2x+512cos4-cos2x+512sin4=2sin2x+512-4=2sin2x+6.f(x)的最小正周期T=22=.因此f(x)=2sin2x+6.当2k-22x+62k+2(kZ),即k-3xk+6(kZ)时,函数f(x)的单调递增区间是k-3,k+6(kZ).15.已知函数f(x)=23sinx+
11、6cos x(02),且f(x)的图象过点512,32.(1)求的值及函数f(x)的最小正周期;(2)将y=f(x)的图象向右平移6个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,已知g2=536,求cos2-3的值.解(1)函数f(x)=23sinx+6cos x=23sinx32+23cos x12cos x=3sin2x+6+32.f(x)的图象过点512,32,3sin2512+6+32=32,2512+6=k,kZ,即=6k-15.再结合00,所以sin A=32,所以A=3.(2)因为A+B+C=,所以sin B=sin-(A+C)=sin(A+C),所以sin B+sin C=sin3+C+sin C=32cos C+32sin C=3sinC+6.因为在锐角三角形ABC中,A=3,所以B+C=23,B=23-C,所以023-C2,0C2,故6C2,由正弦函数的单调性可知,sin B+sin C的取值范围为32,3.