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1、考点规范练23解三角形考点规范练A册第16页一、基础巩固1.在ABC中,c=3,A=75,B=45,则ABC的外接圆的面积为()A.4B.C.2D.4答案B解析在ABC中,c=3,A=75,B=45,故C=180-A-B=60.设ABC的外接圆半径为R,则由正弦定理可得2R=csinC=332,解得R=1,故ABC的外接圆的面积S=R2=.2.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=3,b=2,A=60,则c=()A.12B.1C.3D.2答案B解析由已知及余弦定理,得3=4+c2-22c12,整理,得c2-2c+1=0,解得c=1.故选B.3.(2018广东中山质检)在ABC中
2、,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,a=1,ccos A+acos C=2bcos B,ABC的面积S=3,则b等于()A.13B.4C.3D.15答案A解析由题意可得,2sin Bcos B=sin Ccos A+sin Acos C=sin(A+C)=sin B,cos B=12,B=3.又S=12acsin B=121c32=3,c=4.又b2=a2+c2-2accos B=1+16-21412=13,b=13.4.设ABC的三内角A,B,C成等差数列,sin A,sin B,sin C成等比数列,则这个三角形的形状是()A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形答
3、案D解析ABC的三内角A,B,C成等差数列,B=3.sin A,sin B,sin C成等比数列,sin2B=sin Asin C,由正弦定理得b2=ac.在ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos 3,ac=a2+c2-ac,(a-c)2=0,a=c.ABC为等边三角形.5.如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A.30B.45C.60D.75答案B解析依题意可得AD=2010 m,AC=305 m,又CD=50 m,所以在ACD中,由余弦定理,得cosCAD=AC2+AD2-CD22A
4、CAD=(305)2+(2010)2-50223052010=6 0006 0002=22,又0CAD0,所以sin A+cos A=0,即tan A=-1,因为A(0,),所以A=34.由正弦定理asinA=csinC,得2sin34=2sinC,即sin C=12,所以C=6,故选B.12.(2018全国,文16)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则ABC的面积为.答案233解析由正弦定理及条件,得bc+cb=4absin C,所以csinC=2a,设ABC的外接圆半径为R,则csinC=2R,所以
5、a=R.因为b2+c2-a2=80,所以cos A0,0A2,因为asinA=2R,所以sin A=12,A=30,所以cos A=b2+c2-a22bc=32,所以bc=833,所以SABC=12bcsin A=233.13.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果ABC的面积等于8,a=5,tan B=-43,那么a+b+csinA+sinB+sinC=.答案5654解析在ABC中,tan B=-43,sin B=45,cos B=-35.又SABC=12acsin B=2c=8,c=4,b=a2+c2-2accosB=65.a+b+csinA+sinB+sinC=bsinB
6、=5654.14.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos C+bsin C=a.(1)求角B的大小;(2)若BC边上的高等于14a,求cos A的值.解(1)因为bcos C+bsin C=a,由正弦定理,得sin Bcos C+sin Bsin C=sin A.因为A+B+C=,所以sin Bcos C+sin Bsin C=sin(B+C).即sin Bcos C+sin Bsin C=sin Bcos C+cos Bsin C.因为sin C0,所以sin B=cos B.因为cos B0,所以tan B=1.因为B(0,),所以B=4.(2)设BC边上的高线为AD,
7、则AD=14a.因为B=4,则BD=AD=14a,CD=34a.所以AC=AD2+DC2=104a,AB=24a.由余弦定理得cos A=AB2+AC2-BC22ABAC=-55.三、高考预测15.ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,ABC的面积为S,若43S=b2+c2-a2.(1)求角A的大小;(2)若a=2,b=23,求角C的大小.解(1)ABC中,b2+c2-a2=43S=4312bcsin A=2bc3sin A,cos A=b2+c2-a22bc=3sin A,tan A=33,0A,A=6.(2)a=2,b=23,A=6,由asinA=bsinB得sin B=bsinAa=23122=32,0BA,B=3或23,C=2或6.