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1、专题二 函数与导数 第 1讲函数、基本初等函数 的图象与性质 主 干 知 识 梳 理 热 点 分 类 突 破 真 题 与 押 题 1.高考对函数的三要素高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查函数的表示方法等内容的考查 以基础知识为主以基础知识为主，难度中等偏下难度中等偏下. 2.函数图象和性质是历年高考的重要内容函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内也是热点内 容容，对图象的考查主要有两个方面：一是识图对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用二是用 图图，即利用函数的图象即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；通过数形结合的思想解决问题； 对函数性质的考查对函数性质的
2、考查，则主要是将单调性则主要是将单调性、奇偶性奇偶性、周期周期 性等综合一起考查性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数既有具体函数也有抽象函数常以常以 选择选择、填空题的形式出现填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合且常与新定义问题相结合， 难度较大难度较大 考 情 解 读 主干知识梳理 1.函数的三要素函数的三要素 定义域定义域、值域及对应关系值域及对应关系 两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函 数数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数. 2.函数的性质函数的性质 (1)单调性
3、：单调性是函数在其定义域上的局部性质单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.利用定利用定 义证明函数的单调性时义证明函数的单调性时，规范步骤为取值规范步骤为取值、作差作差、判断符判断符 号号、下结论下结论.复合函数的单调性遵循复合函数的单调性遵循“同增异减同增异减”的原则的原则. (2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质.偶函数偶函数 的图象关于的图象关于y轴对称轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间在关于坐标原点对称的定义域区间 上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称， 在关于坐标原点
4、对称的定义域区间上具有相同的单调性在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性. (3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质.若函数若函数 在其定义域上满足在其定义域上满足f(ax)f(x)(a不等于不等于0)，则其一个周期则其一个周期 T|a|. 3.函数的图象函数的图象 对于函数的图象要会作图对于函数的图象要会作图、识图识图、用图用图. 作函数图象有两种基本方法：一是描点法作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图二是图 象变换法象变换法，其中图象变换有平移变换其中图象变换有平移变换、伸缩变换伸缩变换、 对称变换对称变换. 4.指数函数指数
5、函数、对数函数和幂函数的图象和性质对数函数和幂函数的图象和性质 (1)指数函数指数函数yax(a0，a1)与对数函数与对数函数y logax(a0，a1)的图象和性质的图象和性质，分分01两两 种情况种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共着重关注两函数图象中的两种情况的公共 性质性质. (2)幂函数幂函数yx的图象和性质的图象和性质，分幂指数分幂指数0，0，则则x的取值范的取值范 围是围是_. 思维启迪 利用数形结合利用数形结合，通过函数的性质解不等式；通过函数的性质解不等式； 解析f(x)是偶函数是偶函数， 图象关于图象关于y轴对称轴对称. 又又f(2)0，且且f(x)在在0，)单调递
6、减单调递减， 则则f(x)的大致图象如图所示的大致图象如图所示， 由由f(x1)0，得得20 时，时，y10ln|x 1| x1 0，所以，所以，B 不正确，选不正确，选 C. 答案C (2)已知函数已知函数f(x)的图象向左平移的图象向左平移1个单位后关于个单位后关于y轴轴 对称对称，当当x2x11时时，f(x2)f(x1)(x2x1)abB.cba C.acbD.bac 1 2 思维启迪 考虑函数考虑函数f(x)的单调性的单调性. 解析由于函数由于函数f(x)的图象向左平移的图象向左平移1个单位后得到的图象个单位后得到的图象 关于关于y轴对称轴对称， 故函数故函数yf(x)的图象本身关于直
7、线的图象本身关于直线x1对称对称， 所以所以 af(1 2) f(5 2)， ， 当当x2x11时时，f(x2)f(x1)(x2x1)ac.选选D. 答案D (1)作图：常用描点法和图象变换法作图：常用描点法和图象变换法.图象变换法常图象变换法常 用的有平移变换用的有平移变换、伸缩变换和对称变换伸缩变换和对称变换.尤其注意尤其注意y f(x)与与yf(x)、yf(x)、yf(x)、y f(|x|)、y|f(x)|及及yaf(x)b的相互关系的相互关系. (2)识图：从图象与轴的交点及左识图：从图象与轴的交点及左、右右、上上、下分布下分布 范围范围、变化趋势变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象
8、对称性等方面找准解析式与图象 的对应关系的对应关系. 思 维 升 华 (3)用图：图象形象地显示了函数的性质用图：图象形象地显示了函数的性质,因此因此,函函 数性质的确定与应用及一些方程数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求不等式的求 解常与图象数形结合研究解常与图象数形结合研究. 思 维 升 华 变式训练2 (1)函数函数f(x)1log2x与与g(x)21 x在同一直角坐标系 在同一直角坐标系 中的图象大致是中的图象大致是() 解析f(x)1log2x的图象过定点的图象过定点(1,1)，g(x)21 x 的图象过定点的图象过定点(0,2). f(x)1log2x的图象由的图象由ylog2
9、x的图象向上平移一个的图象向上平移一个 单位而得到单位而得到，且且f(x)1log2x为单调增函数为单调增函数， g(x)21 x 2( )x的图象由的图象由y( )x的图象伸缩变换的图象伸缩变换 得到得到，且且g(x)21 x为单调减函数 为单调减函数. 1 2 1 2 A中中，f(x)的图象单调递增的图象单调递增，但过点但过点(1,0)，不满足；不满足； B中中，g(x)的图象单调递减的图象单调递减，但过点但过点(0,1)，不满足；不满足； D中中，两个函数都是单调增函数两个函数都是单调增函数，也不满足也不满足.选选C. 答案C (2)(2013 课标全国课标全国)已知函数已知函数f(x)
10、 若若|f(x)|ax，则则a的取值范围是的取值范围是() A.(，0B.(，1C.2,1D.2,0 x22x，x0， ln x1 ，x0. 解析函数函数y|f(x)|的图象如图的图象如图. 当当a0时时，|f(x)|ax显然成立显然成立. 当当a0时时，只需在只需在x0时时， ln(x1)ax成立成立. 比较对数函数与一次函数比较对数函数与一次函数yax的增长速度的增长速度. 显然不存在显然不存在a0使使ln(x1)ax在在x0上恒成立上恒成立. 当当af(a)， 则实数则实数a的取值范围是的取值范围是() A.(1,0)(0,1) B.(，1)(1，) C.(1,0)(1，) D.(，1)
11、(0,1) 思维启迪 可利用函数图象或分可利用函数图象或分 类讨论确定类讨论确定a的范围；的范围； log2x，x0， log1 2 x ，x1或或1f(a).故选故选C. 方法二方法二对对a分类讨论：分类讨论： 当当a0时时，log2alog a，即即log2a0，a1. 1 2 当当alog2(a)，即即log2(a)0，则下面则下面 结论正确的是结论正确的是() A.B.0 C.2 2 2 思维启迪 构造函数构造函数f(x)xsin x, 利用利用f(x)的单调性的单调性. 解析设设f(x)xsin x，x ， ， 2 2 yxcos xsin xcos x(xtan x)， 当当x ，
12、0时时，y0，f(x)为增函数为增函数， 2 且函数且函数f(x)为偶函数为偶函数，又又sin sin 0， sin sin ，|，22. 答案D (1)指数函数指数函数、对数函数对数函数、幂函数和三角函数是幂函数和三角函数是 中学阶段所学的基本初等函数中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考是高考的必考 内容之一内容之一，重点考查图象重点考查图象、性质及其应用性质及其应用，同同 时考查分类讨论时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及等价转化等数学思想方法及 其运算能力其运算能力. (2)比较数式大小问题比较数式大小问题，往往利用函数图象或者往往利用函数图象或者 函数的单调性函数的单调性. 思
13、 维 升 华 变式训练 3 (1)设设1 5aa， a b 故故abg(0)0， 1 2 x 所以函数所以函数g(x)的最小值是的最小值是0. 0 1.判断函数单调性的常用方法判断函数单调性的常用方法 (1)能画出图象的一般用数形结合法去观察能画出图象的一般用数形结合法去观察. (2)由基本初等函数通过加由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的减运算或复合而成的 函数函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题常转化为基本初等函数单调性的判断问题. (3)对于解析式较复杂的一般用导数法对于解析式较复杂的一般用导数法. (4)对于抽象函数一般用定义法对于抽象函数一般用定义法. 本讲规律总结 2.函
14、数奇偶性的应用函数奇偶性的应用 函数的奇偶性反映了函数图象的对称性函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的是函数的 整体特性整体特性. 利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质 问题转化到只研究部分问题转化到只研究部分(一半一半)区间上区间上，是简化问题的是简化问题的 一种途径一种途径.尤其注意偶函数尤其注意偶函数f(x)的性质：的性质：f(|x|)f(x). 3.函数图象的对称性函数图象的对称性 (1)若函数若函数yf(x)满足满足f(ax)f(ax)，即即f(x) f(2ax)，则则f(x)的图象关于直线的图象关于直线xa对称对称.提醒：
15、提醒： 函数函数yf(ax)与与yf(ax)的图象对称轴为的图象对称轴为x0， 并非直线并非直线xa. (2)若若f(x)满足满足f(ax)f(bx)，则函数则函数f(x)的图象的图象 关于直线关于直线x对称对称. ab 2 (3)若函数若函数yf(x)满足满足f(x)2bf(2ax)，则该函数图则该函数图 象关于点象关于点(a，b)成中心对称成中心对称. 4.二次函数二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有一元二次方程和一元二次不等式是一个有 机的整体机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数能用函数 与方程与方程、分类讨论分类讨论、数形结合思想来研究
16、与数形结合思想来研究与“三个二次三个二次” 有关的问题有关的问题，高考对高考对“三个二次三个二次”知识的考查往往渗透知识的考查往往渗透 在其他知识之中在其他知识之中，并且大都出现在解答题中并且大都出现在解答题中. 5.指数函数指数函数、对数函数的图象和性质受底数对数函数的图象和性质受底数a的影的影 响响，解决与指解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问对数函数特别是与单调性有关的问 题时题时，首先要看底数首先要看底数a的范围的范围. 比较两个对数的大小或解对数不等式或解对数方程比较两个对数的大小或解对数不等式或解对数方程 时时，一般是构造同底的对数函数一般是构造同底的对数函数，若底数不同若底数
17、不同，可可 运用换底公式化为同底的对数运用换底公式化为同底的对数，三数比较大小时三数比较大小时， 注意与注意与0比较或与比较或与1比较比较. 6.解决与本讲有关的问题应注意函数与方程解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形数形 结合结合、分类讨论分类讨论、化归与转化等思想的运用化归与转化等思想的运用. 真题感悟 押题精练 真题与押题 12真题感悟 1.(2014 安徽安徽)若函数若函数 f(x)(xR)是周期为是周期为 4 的奇函数，的奇函数， 且在且在0,2上的解析式为上的解析式为 f(x) x 1x ，0x1， sin x，10，且且 a1)的图象如图所示的图象如图所示，则所给函数图则所
18、给函数图 象正确的是象正确的是() 真题感悟 21 解析由题意得由题意得ylogax(a0，且且a1)的图象过的图象过(3,1)点点， 可解得可解得a3. 选项选项A中中，y3 x ( )x，显然图象错误；显然图象错误； 1 3 选项选项B中中，yx3，由幂函数图象可知正确；由幂函数图象可知正确； 选项选项C中中，y(x)3x3，显然与所画图象不符；显然与所画图象不符； 选项选项D中中，ylog3(x)的图象与的图象与ylog3x的图象关于的图象关于y 轴对称轴对称，显然不符显然不符，故选故选B. 答案B 押题精练12 1.已知函数已知函数 f(x)e|ln x| x1 x ，则函数，则函数
19、yf(x1)的的 大致图象为大致图象为( ) 3 押题精练 解析据已知关系式可得据已知关系式可得 f(x) e ln x x1 x x 01 ， ， 作出其图象然后将其向左平移作出其图象然后将其向左平移1个单位即得函数个单位即得函数y f(x1)的图象的图象. 答案A 123 押题精练 2.已知函数已知函数 f(x)|log1 2x|，若 ，若 m1， m3nm在在m(0,1)上单调递减上单调递减， 3 m 当当m1时时，m3n4，m3n4. 答案D 123 押题精练 3.已 知已 知 f(x) 2x 1， g(x) 1x2， 规定 ： 当规定 ： 当 |f(x)|g(x)时时，h(x)|f(x)|；当；当|f(x)|g(x)时时，h(x) g(x)，则则h(x)() A.有最小值有最小值1，最大值最大值1 B.有最大值有最大值1，无最小值无最小值 C.有最小值有最小值1，无最大值无最大值 D.有最大值有最大值1，无最小值无最小值 123 押题精练 解析由题意得由题意得，利用平移变化的知利用平移变化的知 识画出函数识画出函数|f(x)|，g(x)的图象如图的图象如图， 123 而而 h(x) |f x |，|f x |g x g x ，|f x |g x ， 故故h(x)有最小值有最小值1，无最大值无最大值. 答案C