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1、专题7.6：和圆有关的十一类轨迹问题的研究与拓展【探究拓展】探究1：已知在中，的最大值为_ 变式：函数，当时，在中，且BC=1，若E为BC中点，则AE的最大值为_. （或者利用向量的中线模型加以转化）探究2：如果圆上总存在两点到原点的距离为1，则实数m的取值范围为_.变式1：在平面直角坐标系中，若满足的点都在以坐标原点为圆心，2为半径的圆及其内部，则实数的取值范围是_ 两圆内含和内切变式2：若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线斜率的取值范围是_.变式3：在平面直角坐标系中，点，直线.设圆的半径为1，圆心在上. （1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若圆上存在点，
2、使，求圆心的横坐标的取值范围.解：（1）切线方程为或（2）命题背景：阿波罗尼奥斯圆；转化为两圆的位置关系问题处理 答案为探究3：平面内到A(0，-3)的距离为1，到点B（4,0）的距离为2的直线有_条.变式：在平面直角坐标系中，若与点的距离为且与点的距离为的直线恰有两条，则实数的取值范围为_ 考察圆与圆的位置关系，研究公切线的条数探究4：写出以，,为直径的圆的方程_.变式1：若实数a,b,c成等差数列，点P（-1,0）到动直线上的射影为M，已知点N（3,3），则线段MN长度的最大值为_变式2：若点G为的重心，且AGBG，则的最大值为 变式3：在中，边上的中线和边上的中线互相垂直，交点为，则的最
3、小值为_ 两条中线所在直线作为两坐标轴建系拓展：将命题“圆上任意一点对直径的张角为直角”类比到椭圆和双曲线有怎样的结论？探究5：点A，B分别在x轴与y轴的正半轴上移动，且AB2，若点A从(，0)移动到xyBBAAODD(，0)，则AB中点D经过的路程为 . 单位圆变式：如图，线段的长度为1，端点在边长不小于1的正方形的四边上滑动，当沿正方形的四边滑动一周时，的中点所形成的轨迹为，若的周长为，其围成的面积为，则的最大值为 拓展：若M点是线段EF上任意一点，则M点的轨迹是什么？探究6：已知点与两定点的距离之比为，那么点的坐标应满足什么关系？拓展：已知动点与两定点、的距离之比为，那么点的轨迹是什么？
4、背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一问题1：如图，圆与圆的半径都是1，过动点P分别作圆.圆的切线PM、PN（M.N分别为切点），使得试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程解：以的中点O为原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则（-2，0），（2，0），由已知，得 因为两圆的半径均为1，所以 设，则，即，所求轨迹方程为（或问题2：已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数(0)
5、.求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线.本小题考查曲线与方程的关系，轨迹概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力.解：如图，设MN切圆于N，则动点M组成的集合是P=M|MN|=|MQ|，式中常数0.2分因为圆的半径|ON|=1，所以|MN|2=|MO|2|ON|2=|MO|21.4分设点M的坐标为(x，y)，则5分整理得(21)(x2+y2 )42x+(1+42)=0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P.故这个方程为所求的轨迹方程. 8分当=1时，方程化为x=，它表示一条直线，该直线与x轴垂直且交x轴于点(，0)，当1时，方程化为(x)2+y2=它表示圆，该圆圆心的坐标为(，0)
6、，半径为12分问题3：满足条件AB = 2，AC = BC的DABC的面积的最大值是_问题4：已知点A(-2 , 0)，B(4 , 0)，圆，P是圆C上任意一点，问是否存在常数l，使得？若存在，求出常数l；若不存在，请说明理由变式1：已知点A(-2 , 0)，圆，P是圆C上任意一点，问：在平面上是否存在点B，使得？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由变式2：已知点A(-2 , 0)，B(4 , 0)，圆，P是圆C上任意一点，若为定值，求b的值拓展1：设圆，动圆，探究：平面内是否存在定点，过点作圆的一条切线，切点为，过点作圆的一条切线，切点为，使无穷多个圆，满足？如果存在，求出所有这样的
7、点；如果不存在，说明理由.COxyMPT1T2拓展2：在中，点在边上，且，则实数的取值范围为 .解：建立如图1所示平面直角坐标系，令，由得到：，即有，那么点的轨迹为圆，并且得到其标准方程为：.又由题意知，那么，；易知为关于的增函数；并且，圆上点的横坐标的范围为，代入得到：，即.拓展3：已知圆和点，若定点和常数满足：对圆上那个任意一点，都有，则(1) ；(2) .解：设，代入，所以，展开后化简得，亦即.又对圆上那个任意一点，都有成立，解得或； 又由可知，故.拓展4：在轴正半轴上是否存在两个定点、，使得圆上任意一点到、两点的距离之比为常数？如果存在，求出点、坐标；如果不存在，请说明理由.解：假设在
8、轴正半轴上是否存在两个定点、，使得圆上任意一点到、两点的距离之比为常数，设、，其中。即对满足的任何实数对恒成立，整理得：，将代入得：，这个式子对任意恒成立，所以一定有：，因为，所以解得：、。所以，在轴正半轴上是否存在两个定点、，使得圆上任意一点到、两点的距离之比为常数。拓展5：如图，铁路线上线段km，工厂到铁路的距离km。现要在、之间某一点处，向修一条公路. 已知每吨货物运输km的铁路费用与公路费用之比为，为了使原料从供应站运到工厂的费用最少，点应选在何处？解：建立如图所示直角坐标系先求到定点、的距离之比为的动点的轨迹方程，即，整理即得动点的轨迹方程：，令，得（舍去正值）即得点，。下面证明此点
9、即为所求点：自点作延长线的垂线，垂足为，在线段上任取点，连接，再作于. 设每吨货物运输km的铁路费用为，则每吨货物运输km的公路费用为，如果选址在处，那么总运输费用为，而，那么总费用，当且仅当点、共线时取等号. 总上所述，点即为所求点. 拓展6：P,Q是两个定点，点为平面内的动点，且，点的轨迹围成的平面区域的面积为，设，试判断函数的单调性拓展7：在中，是的平分线，且.（1）求实数的取值范围；（2）若的面积为1，问为何值时最短？探究7：已知圆M：直线l:y=kx,给出下列四个命题： 对任意实数k和,直线l与圆M相切； 对任意实数k和,直线l与圆M有公共点； 对任意实数,必存在实数k，使得直线l与
10、圆M相切； 对任意实数k，必存在实数,使得直线l与圆M相切.其中正确命题的序号为_. 变式1：圆心的运动轨迹是什么？变式2：圆扫过的面积是多少？拓展1：已知和是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点是，动点分别在和上，且，过三点的动圆所形成的区域的面积为_解答：；三点的动圆在以为直径的圆上，以的中点为圆心，M点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以动圆所形成的区域是是以为圆心，为半径的圆拓展2：已知点在椭圆（）上运动，点为椭圆的右焦点，以为圆心，为半径做圆，当在椭圆上扫过一周时，形成的轨迹图像的面积为_探究8：在平面直角坐标系中，若直线与圆和圆都相切，且两个圆的圆心均在直线的下方，则直线的斜率为_
11、. 7 通过对图形进行割补可得到最终结果。变式1：已知圆（）（1）对任意是否存在直线与圆都相切？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由；（2）给定圆；圆（），若两圆的公共弦所在直线的方程为，且公共弦长为，求和的值.变式2：设有一组圆，求这组圆的公切线方程变式3：一组圆，求这组圆的公切线方程.变式4：有一组圆四个命题中：存在一条定直线与所有的圆均相切 存在一条定直线与所有的圆均相交存在一条定直线与所有的圆均不相交 所有的圆均不经过原点其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）探究9：设直线系,下列命题： 中所有直线均经过一个定点； 存在定点不在中的任一条直线上 对于任意整数，存在正边形,其
12、所有边均在中的直线上 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 存在一个圆与所有直线相交； 存在一个圆与所有直线不相交； 存在一个圆与所有直线相切； 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）变式：已知，对任意，经过两点的直线与一定圆相切，则圆方程为 探究10：已知圆方程为，则过圆上一点的圆的切线方程是_变式1：已知圆方程为，过圆上一点的圆的切线方程为_.变式2：已知圆方程为，过圆上一点的圆的切线方程为_.变式3：椭圆方程为，则过椭圆上一点的椭圆的切线方程为_. 这个点和这条切线的几何背景是什么？极点和极线变式4：双曲线方程为，则过双曲线上一点的双曲线的切线方程为_.变式5：抛物线方程为，则过抛
13、物线一点的抛物线的切线方程为_.变式6：已知圆方程为，则过圆外一点作圆的两条切线，切点分别是，则相交弦直线的方程为_.拓展1：xyOF2PAF11已知椭圆C：(ab0)的上顶点为A，左，右焦点分别为F1，F2,且椭圆C过点P(，)，以AP为直径的圆恰好过右焦点F2.（1）求椭圆C的方程；（2）若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，试问：在轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由.解： (1)因为椭圆过点P(，),所以=1,解得a2=2, 又以AP为直径的圆恰好过右焦点F2.所以AF2F2P,即-=-1, b2=c(4-3c)., 而b2=a
14、2-c2=2-c2,所以c2-2c+1=0,解得c2=1，故椭圆C的方程是+y2=1. (2) 当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=kx+p，代入椭圆方程得 (1+2k2)x2+4kpx+2p22=0. 因为直线l与椭圆C有只有一个公共点，所以=16k2p24(1+2k2)(2p22)=8(1+2k2p2)=0，即 1+2k2=p2. 设在x轴上存在两点(s,0),(t,0),使其到直线l的距离之积为1,则 =1，即(st+1)k+p(s+t)=0(*)，或(st+3)k2+(s+t)kp+2=0 (*).由(*)恒成立,得解得,或，而(*)不恒成立. 当直线l斜率不存在时，直线方程为x=时
15、，定点(1，0)、F2(1，0)到直线l的距离之积d1 d2=(1)(+1)=1. 综上,存在两个定点(1,0),(-1,0),使其到直线l 的距离之积为定值1.思考：能否利用切线方法进行一定程度的优化？拓展2：在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，焦距为.（1） 求椭圆的方程；（2）若点在定直线上运动，过点引椭圆的两条切线，切点分别为，求证：直线过定点（3）试问第（2）问的逆命题是否成立？说明理由.探究11：已知圆，若圆上有且只有4个点到直线的距离为1，则r的取值范围是_.变式：在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是_.拓展：关于圆上点到直线l与距离为d的点的个数归纳？ w ww.ks5 u.c om【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？