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1、第 1 页（共 91 页） 二次函数压轴题精讲 1二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时， 先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新 的函数关系式中系数的符号， 再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则 符合所有特征的图象即为正确选项 （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、 几何知识有机地结合在一起这类试题一般难度较大 解这 类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、 定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件 （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建
2、立二次函数模型关键在于观察、分析、 创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题， 需要我们注 意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义 第 2 页（共 91 页） 例 1. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线与 x 轴、y 轴的交 点分别为 A、B，将OBA 对折，使点 O 的对应点 H 落在直线 AB 上，折痕交 x 轴于点 C （1）直接写出点 C 的坐标，并求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为D，在直线 BC 上是否存在点 P，使得四边形 ODAP 为 平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由； （3）设抛物线的
3、对称轴与直线BC 的交点为 T，Q 为线段 BT 上一点，直接写出 |QAQO|的取值范围 第 3 页（共 91 页） 2如图，直线 y=x+2 与抛物线 y=ax 2+bx+6（a 0）相交于 A（ ， ）和 B（4， m） ，点 P 是线段 AB 上异于 A、B 的动点，过点 P 作 PCx 轴于点 D，交抛物 线于点 C （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P 点，使线段 PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大 值；若不存在，请说明理由； （3）求PAC 为直角三角形时点P的坐标 第 4 页（共 91 页） 3如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4） ，B（1，0） ，
4、C（5，0） ， 其对称轴与 x 轴相交于点 M （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PAB 的周长最小？若存在，请 求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接 AC，在直线 AC 的下方的抛物线上，是否存在一点N，使NAC 的 面积最大？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由 第 5 页（共 91 页） 4如图，抛物线 y=x 2+bx+c 交 x 轴于点 A（3，0）和点 B，交 y 轴于点 C （0，3） （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点 P 在抛物线上，且 SAOP=4SBOC，求点 P的坐标； （3）如图 b，设点
5、 Q 是线段 AC 上的一动点，作DQx 轴，交抛物线于点D， 求线段 DQ 长度的最大值 第 6 页（共 91 页） 5如图，在矩形 OABC 中，OA=5，AB=4，点 D 为边 AB 上一点，将 BCD 沿直线 CD 折叠，使点 B 恰好落在边 OA 上的点 E 处，分别以 OC，OA 所在的 直线为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系 （1）求 OE 的长及经过 O，D，C 三点抛物线的解析式； （2）一动点 P 从点 C 出发，沿 CB 以每秒 2 个单位长度的速度向点B 运动，同 时动点 Q 从 E 点出发，沿 EC 以每秒 1 个单位长度的速度向点C 运动，当点 P 到达点 B 时
6、，两点同时停止运动，设运动时间为t 秒，当 t 为何值时， DP=DQ； （3）若点 N 在（1）中抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的 点 M 与点 N，使 M，N，C，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出 M 点坐标；若不存在，请说明理由 第 7 页（共 91 页） 6如图，边长为 8 的正方形 OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线 经过点 A，点 P 是抛物线上点 A，C 间的一个动点 （含端点） ，过点 P作 PFBC 于点 F，点 D、E 的坐标分别为（ 0，6） ， （4，0） ，连接 PD、PE、DE （1）请直接写出抛物线的解析式； （2）
7、小明探究点 P 的位置发现：当 P 与点 A 或点 C 重合时， PD 与 PF的差为 定值，进而猜想：对于任意一点P，PD 与 PF的差为定值，请你判断该猜想是否 正确，并说明理由； （3） 小明进一步探究得出结论： 若将“ 使PDE的面积为整数 ” 的点 P记作“ 好点” ， 则存在多个 “ 好点” ，且使PDE 的周长最小的点 P 也是一个 “ 好点” 请直接写出 所有“ 好点” 的个数，并求出 PDE 周长最小时 “ 好点” 的坐标 第 8 页（共 91 页） 7如图，已知抛物线y= x 2+bx+c 与坐标轴分别交于点 A（0，8） 、B（8，0） 和点 E，动点 C 从原点 O 开
8、始沿 OA 方向以每秒 1 个单位长度移动，动点D 从 点 B 开始沿 BO 方向以每秒 1 个单位长度移动，动点C、D 同时出发，当动点 D 到达原点 O 时，点 C、D 停止运动 （1）直接写出抛物线的解析式：； （2） 求CED 的面积 S与 D 点运动时间 t 的函数解析式；当 t 为何值时，CED 的面积最大？最大面积是多少？ （3）当CED 的面积最大时， 在抛物线上是否存在点P（点 E 除外） ，使PCD 的面积等于 CED 的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明 理由 第 9 页（共 91 页） 8 如图，已知二次函数 L1：y=ax 22ax+a+3 （a0）
9、和二次函数 L 2：y=a （x+1） 2+1（a0）图象的顶点分别为 M，N，与 y 轴分别交于点 E，F （1）函数 y=ax22ax+a+3（a0）的最小值为，当二次函数 L1， L2的 y 值同时随着 x 的增大而减小时， x 的取值范围是 （2）当 EF=MN 时，求 a 的值，并判断四边形ENFM 的形状（直接写出，不必 证明） （3）若二次函数 L2的图象与 x 轴的右交点为 A（m，0） ，当AMN 为等腰三 角形时，求方程 a（x+1）2+1=0 的解 第 10 页（共 91 页） 9如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线 y= x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交 于点 C抛物线 y=ax 2+bx+c 的对称轴是 x= 且经过 A、C 两点，与 x 轴的另 一交点为点 B （1） 直接写出点 B 的坐标； 求抛物线解析式 （2）若点 P 为直线 AC 上方的抛物线上的一点，连接PA，PC求PAC 的面 积的最大值，并求出此时点P 的坐标 （3）抛物线上是否存在点M，过点 M 作 MN 垂直 x 轴于点 N，使得以点 A、M、 N 为顶点的三角形与 ABC 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说 明理由