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1、初中数学校本教材 校本课程序言 一、把握数学的生活性“使教学有生活味” 数学课程标准 中指出：“数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律， 并对现代社会中大量纷繁复杂的信息作出恰当的选择和判断，进而解决问题， 直 接为社会创造价值”。这说明数学来源于社会，同时也反作用于社会，社会生活 与数学关系密切，它已经渗透到生活的每个方面，我们的衣食住行都离不开它。 现代数学论认为：数学源于生活，又运用于生活，生活中充满数学，数学教育寓 于生活实际。有意识地引导学生沟通生活中的具体问题与有关数学问题的联系， 借助学生熟悉的生活实际中的具体事例，激发学生学习数学的求知欲， 帮助学生 更好的理解和掌握数学基础
2、知识， 并运用学到的数学知识去解决实际生活中的数 学问题。 二、把握数学的美育性“使教学有韵味” 数学家克莱因认为： “ 数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特 的创作。音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使 人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。” 美作为现实的 事物和现象，物质产品和精神产品、艺术作品等属性总和，具有：匀称性、比例 性、和谐性、色彩变幻、鲜明性和新颖性。作为精神产品的数学就具有上述美的 特点。 简练、精确是数学的美。数学的基本定理说法简约，却又涵盖真理，让人阅 读简便却又印象深刻。数学语言是如此慎重的、有意的而且经常是精心设
3、计的， 凭借数学语言的严密性和简洁性，我们就可以表达和研究数学思想，这种简洁性 有助于思维的效率。 数学很讲究它的逻辑美。 数学的应用是被人们广泛认同的，可学习数学还能 训练人的逻辑思维能力。 尤其是几何的证明讲究前因后果， 每一步都要前后呼应， 抽象的数学也显示它模糊的美。抽象给我们想象的余地，让我们思维海阔天空， 给学生留有了思索和创新的空间。抽象的数学不正展示它的魅力吗？ 数学上有很多知识是和对称有关的。对称给人协调，平稳的感觉，象圆，正 方体等，它们的形式是如此的匀称优美。正是由于几何图形中有这些点对称、线 对称、面对称，才构成了美丽的图案，精美的建筑，巧夺天工的生活世界，也才 给我们
4、带来丰富的自然美，多彩的生活美。 中学数学的美育性， 除了上述一些方面， 还有其它美妙的地方， 只要我们用 心挖掘和捕捉， 就会发现数学蕴涵着如此丰富的美的因素，教师要善于挖掘美的 素材，在学生感受美的同时既提高教学质量，又使教学韵味深厚。 第一章兴趣数学 第一节七桥问题（一笔画问题） 18 世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡， 那里有七座桥。如图1 所示：河中的小岛A 与河的 左岸 B、右岸 C 各有两座桥相连结，河中两支流间 的陆地 D 与 A、B、C 各有一座桥相连结。当时哥尼 斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次 走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？ 大家都试
5、图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个 问题。 七桥问题引起了著名数学家欧拉（1707 他把具体七桥布局化归为图所示的简单图形，于是， 七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从A、B、 C、D 中的某一点出发，一笔画出这个简单图形 （即笔不离开纸，而且a、b、c、d、e、f、g 各条线 只画一次不准重复），并且最后返回起点？ 欧拉经过研究得出的结论是：图是不能一笔画出的图形。 这就是 说，七桥问题是无解的。这个结论是如何产生呢？ 如果我们从某点出发，一笔画出了某个图形，到某一点终止，那 么除起点和终点外， 画笔每经过一个点一次， 总有画进该点的一条线 和画出该点的一条线， 因此就有两条线与该点
6、相连结。如果画笔经过 一个 n 次，那么就有 2n 条线与该点相连结。因此，这个图形中除起 点与终点外的各点，都与偶数条线相连。 如果起点和终点重合， 那么这个点也与偶数条线相连；如果起点 和终点是不同的两个点，那么这两个点部是与奇数条线相连的点。 综上所述，一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的 点，或者其中只有两个点与奇数条线相连。 图 2 中的 A 点与 5 条线相连结， B、C、D 各点各与 3 条线相连 结，图中有 4 个与奇数条线相连的点， 所以不论是否要求起点与终点 重合，都不能一笔画出这个图形。 欧拉定理 ：如果一个图是连通的并且奇顶点的个数等于0 或 2， 那么它可以
7、一笔画出；否则它不可以一笔画出。 练习： 你能笔尖不离纸，一笔画出下面的每个图形吗？试试看。（不 走重复线路） 图例 1 图例 2 图例 3 图例 4 2 四色问题 人人都熟悉地图， 可是绘制一张普通的政区图， 至少需要几种颜 色，才能把相邻的政区或区域通过不同的颜色区分开来，就未必是一 个简单的问题了。 这个地图着色问题， 是一个著名的数学难题。 大家不妨用一张中 国政区图来试一试，无论从哪里开始着色，至少都要用上四种颜色， 才能把所有省份都区别开来。 所以，很早的时候就有数学家猜想： “ 任 何地图的着色，只需四种颜色就足够了。” 这就是“ 四色问题 ” 这个名 称的由来。 四色问题又称四
8、色猜想，是世界近代三大数学难题之一。 四色问题的内容是： “ 任何一张地图只用四种颜色就能 使具有共同边界的国家着上不同的颜色。” 用数学语言表示， 即“ 将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可 以用 1，2，3，4 这四个数字之一来标记，而不会使相邻 的两个区域得到相同的数字。” （右图） 这里所指的相邻区域， 是指有一整段边界是公共的。如果两个区 域只相遇于一点或有限多点， 就不叫相邻的。 因为用相同的颜色给它 们着色不会引起混淆。 数学史上正式提出 “ 四色问题 ” 的时间是在 1852年。当时伦敦的 大学的一名学生法朗西斯向他的老师、著名数学家、 伦敦大学数学教 授莫根提出了
9、这个问题，可是莫根无法解答，求助于其它数学家，也 没有得到答案。于是从那时起，这个问题便成为数学界的一个“ 悬案” 。 一直到二十年前的1976年 9 月， 美国数学会通告 正式宣布了 一件震撼全球数学界的消息： 美国伊利诺斯大学的两位教授阿贝尔和 哈根，利用电子计算机证明了“ 四色问题 ” 这个猜想是完全正确的！他 们将普通地图的四色问题转化为2000 个特殊图的四色问题，然后在 电子计算机上计算了足足1200个小时，作了 100亿判断，最后成功 地证明了四色问题 ,轰动了世界。 这是一百多年来吸引许多数学家与数学爱好者的大事，当两位数 学家将他们的研究成果发表的时候，当地的邮局在当天发出的
10、所有邮 件上都加盖了 “ 四色足够 ” 的特制邮戳，以庆祝这一难题获得解决。 2麦比乌斯带 每一张纸均有两个面和封闭曲线状的棱(edge)，如果有一张纸它 有一条棱而且只有一个面， 使得一只蚂蚁能够不越过棱就可从纸上的 任何一点到达其他任何一点，这有可能吗?事实上是可能的只要把一 条纸带半扭转，再把两头贴上就行了。这是德国数学家麦比乌斯 (M?bius.A.F 1790-1868)在 1858年发现的，自此以後那种带就以他的 名字命名，称为麦比乌斯带。 有了这种玩具使得一支数学的分支拓朴 学得以蓬勃发展。 3 分割图形 分割图形是使我们的头脑灵活，增强观察能力的一种有趣的游 戏。 我们先来看一
11、个简单的分割图形的题目分割正方形。 在正方形内用 4 条线段作 “ 井” 字形分割，可以把正方形分 成大小相等的 9 块，这种图形我们常称为九宫格。 用 4 条线段还可以把一个正方形分成10 块，只是和九宫格不同 的是，每块的大小不一定都相等。那么，怎样才能用4 条线段把正方 形分成 10 块呢？请你先动脑筋想想，在动脑的同时还要动手画一画 其实，正方形是不难分割成10 块的，下面就是其中两种分割方法。 练习： 想一想，用 4 条线段能将正方形分成11 块吗？应该怎样分？ 5 数学故事 （1）奇特的墓志铭 在大数学家阿基米德的墓碑上，镌刻着一个有趣的几何图形： 一个圆球镶嵌在一个圆柱内。相传，
12、它是阿基米德生前最为欣赏的 一个定理。 在数学家鲁道夫的墓碑上， 则镌刻着圆周率 的 35 位 数值。这 个数值被叫做。 ” 鲁道夫数 ” 。它是鲁道夫毕生心血的结晶。 大数学家高斯曾经表示，在他去世以后，希望人们在他的墓碑 上刻上一个正 17 边形。因为他是在完成了正17 边形 的尺规作图后， 才决定献身于数学研究的 不过，最奇特的墓志铭，却是属于古希腊数学家丢番图的。他的 墓碑上刻着一道谜语般的数学题：“ 过路人，这座石墓里安葬着丢番 图。他生命的 16 是幸福的童年，生命的112是青少年时期。又 过了生命的 1 7 他才结婚。婚后 5 年有了一个孩子， 孩子活到他 父亲一半的年纪便死去了
13、。孩子死后，丢番图在深深的悲哀中又活 了 4 年，也结束了尘世生涯。过路人，你知道丢番图的年纪吗？ ” 丢番图的年纪究竟有多大呢？ 设他活了 X 岁，依题意可列出方程。这样，要知道丢番图的年 纪，只要解出这个方程就行了。 这段墓志铭写得太妙了。谁想知道丢番图的年纪，谁就得解一 个一元一次方程；而这又正好提醒前来瞻仰的人们，不要忘记了丢 番图献身的事业。 在丢番图之前，古希腊数学家习惯用几何的观点看待遇到的所 有数学问题，而丢番图则不然，他是古希腊第一个大代数学家，喜 欢用代数的方法来解决问题。现代解方程的基本步骤，如移项、合并 同类项、 ，方程两边乘以同一因子等等，丢番图都已知道了。他尤其 擅
14、长解答不定方程，发明了许多巧妙的方法，被西方数学家誉为这 门数学 分支的开山鼻祖。 丢番图也是古希腊最后一个大数学家。遗憾的是，关于他的生 平。后人几乎一无所知，既不知道他生于何地，也不知道他卒于何 时。幸亏有了这段奇特的墓志铭，才知道他曾享有 84 岁的高龄。 （2）希腊十字架问题 图上那只巨大的复活节彩蛋上有一个希腊十字架， 从它引发出许多切割问题，下面是其中的三个。 (a)将十字架图形分成四块，用它们拼成一个正方形; 有无限多种办法把一个希腊十字架分成四块，再把它们 拼成一个正方形，下图给出了其中的一个解法。奇妙的 是，任何两条切割直线，只要与图上的直线分别平行， 也可取得同样的结果，分
15、成的四块东西总是能拼出一个 正方形。 (b)将十字架图形分成三块，用它们拼成一个菱形; (c)将十字架图形分成三块，用它们拼成一个矩形，要求其长是宽的 两倍。 第二章最完美的数 完美数又称为完全数, 最初是由毕达哥拉斯(Pythagoras) 的信徒发现的 , 他 们注意到 : 数 6 有一个特性 , 它等于它自己的因子 ( 不包括它自身 )的和: 6=1+2+3, 下一个具有同样性质的数是28, 28=1+2+4+7+14 接着是 496和 8128. 他们称这类数为完美数 . 欧几里德在大约公元前350-300 年间证明了 : 若 2 n-1 是素数, 则数 2n-12n-1 (1) 是完全数 . 两千年后 , 欧拉证明每个偶完全数都具有这种形式. 这就在完全数 与梅森数 (形式为12 n 的素数 ) 之间建立了紧密的联系, 到 1999年 6 月 1 日为止, 共发现了 38 个梅森素数 , 这就是说已发现了38 个完全数 . 1：完全数是非常奇特的数, 它们有一些特殊性质 , 例如每个完全 数都是三角形数 , 即都能写成 n(n+1)/2.