2014年小学数学人教版六年级上册《圆》教材分析.pdf

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1、圆教材分析 本单元的内容是在学生已经学习了长方形、正方形等平面图形以及它们的 周长、面积计算，直观的认识圆的基础上进行教学的，是小学阶段的最后一个 认识平面图形的单元。圆这个平面图形与以往学习的平面图形有显著的不同， 长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等都是直线图形，而圆是曲线图 形。由此，教学将从对直线图形的研究过渡到对曲线图形的研究，这对学生而 言是一种跨越与挑战。因为无论是研究曲线图形的思想还是方法，与直线图形 相比，都有显著的变化和提升。因此，通过对圆的研究教学，不仅要让学生掌 握圆的一些基础知识，还要让学生感受与体悟“化曲为直”“等积变换”“极限” 等数学思想方法，以促进与发展

2、学生的数学思想方法和问题解决的能力。本单 元的内容主要有：圆的认识、圆的周长、圆的面积、扇形的认识等。 一、与实验教材的主要区别 （一）改变圆的各部分名称的引入方式，用圆规画圆引出圆的各部分名称， 继而研究圆的性质。实验教材在引入圆时，先让学生利用圆形杯盖、圆柱体物 体、三角板上的圆孔描出圆，再把圆剪下来，通过多次对折等方式引出圆心、 半径、直径等概念；在认识了圆的半径和直径的特点之后，再专门教学用圆规 画圆的方法。考虑到学生在生活中已经具备初步的用圆规画圆的知识，本次修 订时，对于“你能想办法在纸上画一个圆吗”这一问题，教材同时给出了用杯 盖、三角尺上的圆孔、圆规画圆的方法，符合真实的学情。

3、接下来，利用圆规 画圆的方法引出圆心、半径、直径等概念，水到渠成，这样的引入方式也能更 好地体现圆“一中同长”的本质特征。接下来，通过让学生用圆规画几个大小 不同的圆，探讨直径、半径的特点，在这一过程中，使学生进一步熟练掌握用 圆规画圆的方法。 （二）增加圆心决定圆的位置、半径决定圆的大小的内容。“圆，一中同长 也” ，这是 墨子中对圆的定义。只要确定了“中”和“长”，圆的位置与大 小就确定下来了。圆心决定圆的位置、半径决定圆的大小这一事实，过去虽然 没在教材中明确指出，但实际上学生已经在自觉应用了。例如，用圆规画圆时， 不可避免地会遇到 “针尖定在哪儿” “画多大的圆” 等问题，如果要画半径

4、是 3 cm 的圆，针尖到纸边缘的距离必须大于3 cm，才能在纸上画出一个完整的圆来。 在本册教材中，接下来还编排了利用圆设计图案的内容，在设计图案的过程， 学生会时时处处遇到 “要画一个多大的圆”“这个圆的圆心应该在哪儿” 等问题。 因此，教材增加这一部分内容，能帮助学生在应用知识的过程中更好地认识圆 的数学特征。 （三）降低圆的对称性的篇幅，新增利用圆设计图案的内容。由于在“轴 对称图形”的相关内容中，已经对圆的对称性有过比较充分的探讨，所以，本 单元不再单独编排圆的对称性的例题，只在相关练习中加以巩固。 在修订过程中，新增了利用圆设计图案的内容。先让学生模仿教材上提供的步 骤，画出美丽的

5、图案，再放手让学生试着画出教材上提供的图案。在这一过程 中，需要用到用圆规画圆的方法，需要观察这些图案是由哪些图形组成的，是 如何组成的。需要学生对圆心位置的确定、半径大小的确定、圆的对称性等知 识加以综合应用。一方面，帮助学生进一步了解圆的特征；另一方面， 使学生充分体会数学的对称美、和谐美。例如，下面左图中大圆内部的每个 “水 滴”是由三个半圆围成的，其中两个半圆的直径是大圆半径的一半，还有一个 半圆的直径是大圆的半径，除此之外，还要关注这些半圆的圆心位置在哪里。 右图中，大圆的内部有八个小圆，这些圆的直径都是大圆的半径，依次排列在 大圆的八等分线上，互相重叠，形成了美丽的图案。 教学时，

6、还可以让学生自由创作出更多的作品。此外，还可以借助这些图案， 复习轴对称、平移、旋转等图形变换的知识。由于这一内容的操作性、综合性、 探究性都很强，也可以把它设计成一个“综合与实践”活动。 （四）增加求圆与外切正方形、内接正方形之间面积的内容。在“圆的面 积”部分，增加了解决实际问题的内容，即求圆与外切正方形、内接正方形之 间的面积。 要求学生利用图形之间的关系，灵活计算这两部分的面积， 并在“讨 论”环节进一步得出更为一般化的结论。 要计算正方形的面积，首先要求出正方形的边长，这是比较常规的思路。例如， 求圆的外切正方形的面积时，观察到正方形的边长和圆的直径相等，所以很容 易求出来。但在求圆

7、的内接正方形的边长时学生却遇到了困难，圆的直径和正 方形的对角线相等，但没有办法直接求出正方形的边长。此时，教材引导学生 改变观察角度，把正方形分割成两个三角形，这两个三角形的底是圆的直径， 高是圆的半径，很容易求出其面积。在解决几何问题时，有时换一个角度看问 题，会发现一个全新的世界。经历这样的问题解决过程，有助于提高学生多角 度分析问题的意识和能力。 解决了圆半径是1 m 的特殊问题后，教材在“回顾与反思”环节，进一步 讨论两个圆的半径都为的情况，使学生发现，圆的外切正方形面积是，外 切正方形与圆之间的面积是,内接正方形的面积是，圆与内接正方形之 间的面积是。这些结果中隐藏着很多有意思的数

8、学事实，如：外切正方形 的面积始终是内接正方形面积的2 倍，外切正方形与内接正方形之间的面积正 好是,即和内接正方形的面积相等，等。 （五） “扇形”由选学变为正式教学内容。扇形的内容是学习扇形统计图的 必要基础，根据义务教育数学课程标准（2011年版） 对相关内容的调整，此 次修订把这部分内容由选学变为正式教学内容。 二、教材例题分析 （一）圆的认识 1圆的各部分名称、圆的性质 “你能想办法在纸上画一个圆吗？” ，教材呈现用茶杯盖、三角尺上的圆洞等圆 形物体进行描摹以及用圆规画圆的情境。学生在课外应该都尝试过用圆规画圆， 但是如何画得标准，画得轻松，还需教师进一步指导。利用圆规画圆，引出圆

9、的各部分名称。一方面，与前面的活动自然衔接；另一方面，画圆的过程非常 切合“圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合”这一几何学的定义。通过 这一过程引出圆心、半径、直径等概念，将动手操作、观察思考、概念引出融 为一体，自然流畅。 对圆特征的认识，分四个层次编排：首先，让学生将画好的圆折一折、画一画、 量一量，发现沿着任意一条直径对折，两边可以重合，说明了圆是轴对称图形。 第二，通过对折痕的观察和想象，让学生理解半径和直径都有无数条。第三， 通过测量与比较，让学生认识到同一圆内所有的半径都相等，所有的直径也都 相等，并且直径的长度是半径的2 倍。第四，结合画圆的经验，理解圆心可决 定圆的位置，半

10、径可决定圆的大小。 2利用圆设计图案 这是一个实践性内容。在画圆设计图案过程中，涉及充分利用圆的对称性，需 要学生学会确定某个圆或半圆的圆心和半径，这也是圆心和半径分别确定圆的 位置与大小的最直接应用。此外，还需要学生添加一些辅助线。因此，这样的 活动体现了很强的综合性。 通过教学，既可以让学生进一步熟练用圆规画圆的技能，促进学生对圆的特征 的进一步认识，又能让学生在用尺规画出漂亮图案的过程中提高动手操作的能 力，学会欣赏数学的美，培养热爱数学学习的情感。 （二）圆的周长 1圆的周长计算公式的推导 教材从“要在圆桌和菜板的边缘箍上一圈铁皮，求铁皮的长度”这一学生熟悉 的实际情境引入，帮助学生理

11、解圆的周长的概念。 学生已经具备了测量一般图形（物体）周长的技能，因此，面对“分别需要多 长的铁皮”的问题，引导学生得出了绕、滚、围等策略的测量方法。显然，在 解决实际问题的过程中，学生感受到了方法的多样性和“化曲为直”的转化思 想。更重要的是，圆周长概念的内涵，就在这样的过程中得以清晰化、直观化。 教材在此基础上提出“除了上面的方法，还可以怎样求圆的周长呢？”要求学 生跳出绕、滚、围等策略的测量方法，找到一种更为一般化的方法。通过“圆 的周长和圆的大小有关系，圆的大小取决于, ” ，启发学生将问题解决的方向 放在从圆本身的特征去想办法突破。引导学生通过测量几组圆的直径和周长， 自主发现周长和

12、直径的比值是一个固定值，从而引出圆周率的概念，并总结出 圆的周长计算公式。 在这个内容中，教学的重点是让学生利用实验的手段，通过测量、计算、猜测 圆的周长和直径的关系、验证猜测等过程，理解并掌握圆的周长计算方法。 2例 1:计算圆的周长 本例是一个与圆的周长计算有关的实际问题。通过学生经常看到或使用的自行 车引出问题，能让学生体会到数学知识的广泛应用。自行车的后轮半径是33 cm， 它滚一圈能走多远，那就是求它的周长。这样的问题，是“化曲为直”思想的 应用用曲的车轮周长计量自行车前进的距离。第二个问题带有更强的现实 性， “小明从家到学校1 km，轮子大约转了多少圈？”学生必须通过计算，才能

13、解决这个问题。得出的相关结果也能加强学生的生活经验。 （三）圆的面积 1圆的面积计算公式的推导 把圆分割成若干等份后拼成近似的长方形的方法，学生很难自主发现，因此， 教材直接给出明确的提示，让学生把圆分成若干等份，拼一拼。接下来的过程， 则主要交给学生自主探索。 教材让学生通过观察，看到拼出的是近似的长方形（或平行四边形），随着分的 份数越来越多，拼出的图形越来越接近于长方形，体会“无限逼近”的极限思 想。这个近似的长方形的长和宽与圆的周长、半径有着紧密的联系。引导学生 通过观察、对比，利用圆与长方形之间的关系，自行推导出圆的面积计算公式。 2例 1:计算圆的面积 本例是在学生推导出了圆面积计

14、算公式以后，用此公式解决本节开头的实际问 题。求的是“铺满草皮需要多少钱” ，这一问题比“求草皮面积是多少”更有现 实意义、更自然。要求铺满草皮需要多少钱，首先要求出圆形草皮的面积。 3例 2：求圆环的面积 本例是求圆环的面积，教材通过插图帮助学生了解什么叫圆环，理解求圆环的 面积是用外圆面积减去内圆面积。教材给出了两种算法：3.14623.1422和 3.14（6222） 。教材也有意引导学生根据乘法分配律，采用相对简便的算法， 这样，可以大大减少计算的繁杂程度，减少计算出错的可能性。 4例 3：圆与内接正方形、外切正方形之间面积的计算。 例题以中国古建筑中“外方内圆”和“外圆内方”两种经典

15、设计为情境，直观 清晰地提出了需要解决的数学问题求正方形与圆之间的那部分面积。两个 图中的圆大小相同，但正方形位置与大小都不同。很自然地引出一个问题：中 间部分的面积与圆的面积有没有关系？有什么样的关系？例3 给出一个特殊的 圆半径，先解决特殊问题，在“回顾与反思”部分再讨论一般性的规律。 “分析与解答”引导学生根据图示寻找正方形与圆之间的关系。第一个图，很 容易看出正方形的边长就是圆的直径；第二个图，正方形的边长不知道，不能 用边长的平方直接计算面积。此时，就需要转换思路，将正方形看成两个底是 圆的直径、高是圆的半径的三角形（或四个小三角形）。 在前面的解题环节，学生发现正方形与圆之间的面积

16、与圆的半径是有关的，那 到底有什么样的关系呢？因此，在“回顾与反思”这一环节，需要继续延伸讨 论，进一步探讨一般化的结论。让学生利用刚才的方法，得到一个代数式的结 果。把=1 m 代入，与前面的结果相符，以此检验这个代数式的正确性。 （四）扇形的认识 教材结合图示，以直接介绍的方式，揭示了“弧”“扇形” “圆心角”等术语的 含义。事实上，扇形就是弧和圆心角所组成的图形。几何原本 中这样定义扇 形：由 顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形叫做扇形。扇 形的大小与圆心角的大小紧密相关，也与所在圆的半径大小有关。教材上还列 出了两类特殊的扇形：半圆为弧的扇形对应的圆心角是180，圆为弧的扇形 对应的圆心角是90。 本单元的教学重点是圆的认识以及圆的周长、面积计算及其应用，教学难 点是圆的面积公式的推导。