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1、21一元二次不等式的解法 基础巩固 1 不等式 6x 2x20 的解集是 ( ) Ax| 2 3x 1 2 B x|x 2 3或 x 1 2 C x|x 1 2 D x|x 2 3 2 不等式 9x 26x10 的解集是 ( ) Ax|x 1 3 B x| 1 3x 1 3 C?D 1 3 3 函数 yx x1 x的定义域为 () Ax|x 0 B x|x 1 C x|x1 0 Dx|0 x1 4 二次函数yax 2 bxc(xR)的部分对应值如下表： x 3 2101234 y 60466406 则不等式 ax 2bxc0 的解集是 _ 5 解不等式： 0x 2x 24. 6 已知关于x 的
2、不等式ax 2 xc0 的解集为 x|2 x1，试求实数 a 与 c的值 7 解关于 x 的不等式 (aR)：2x 2ax2 0. 8 已知关于x 的不等式 (a 24)x2(a2)x10 的解集是空集，求实数 a 的取值范围 综合过关 9 设集合 M x|x 2 3x2 0，集合 Nx|(1 2) x4 ，则 MN 等于 ( ) Ax|x 2 B x|x 1 C x|x 1 Dx|x 2 10 设函数 f(x) x 24x6，x0， x 6，x0， 则不等式f(x)f(1)的解集是 () A(3,1)(3， ) B(3,1)(2， ) C(1,1)(3， ) D(， 3)(1,3) 11 关
3、于 x 的方程 2 xa2a 在(， 1上有解，则实数 a 的取值范围是() A2， 1)(0,1 B2， 1(0,1 C2， 1)(0,2 D2， 1)0,2 12 设 A 为关于 x 的不等式ax(x1)1 的解集若2?A，3A，则实数 a 的取值范围为 _ 能力提升 13 不等式 f(x) ax 2xc0 的解集为 x|2x1，则函数 yf(x)的图像为 ( ) 参考答案 1 解析： 原不等式等价于6x 2x20，方程 6x2x20 的两根为 2 3， 1 2.画简图， 可得 x 2 3或 x 1 2. 答案： B 2 解析： 0，则方程9x 26x10 的根为 x 1x2 1 3，原不
4、等式的解集为 1 3 答案： D 3 解析： 解不等式 x x 1 0， x 0， 得 x1 或 x0. 答案： C 4 解析： 根据表格可以画出二次函数yax 2bxc(xR)的图像草图如下图所示 由图像得不等式ax2bxc0 的解集是x 2 或 x3. 答案： x|x 2 或 x3 5 分析： 上述不等式含有两部分x 2x20 和 x2x2 4，因此原不等式的解集是这 两部分解集的交集 解： 原不等式等价于 x 2x20， x 2x24， 解 x 2x20，得 x1 或 x2； 解 x2x24，得 2x3. 所 以 原 不 等式 的 解集 为 x|x 1 或x2 x| 2x3 x| 2x
5、1 或 2x3 6 分析： 2 和 1 是对应的一元二次方程的解由一元二次方程根与系数的关系列方程 解得 a、 c. 解： 由题意，得 a0， 2 1 1 a， 2 1 c a， 解得 a 1，c 2. 7 解： a 216， 当 0，即 4a 4 时，不等式解集为R； 0 时，即 a4 或 a4，方程 2x2ax 20 的两根为x1 1 4(a a 216)， x2 1 4(a a 216) 当 a4 或 4 时，不等式解集为x|x 1，且 xR； 当 a4 或 a 4 时，不等式的解集为 x|x 1 4(a a 216)或 x1 4(a a 216) 8 分析： 分二次项系数a 240 和
6、 a240 两种情况讨论，在 a240 时，结合二次 函数的图像进行求解 解： 当 a 240 时， a 2，当 a 2 时，解集为 ?；当 a2 40 时，要使解集为 ?， 则有 a 240， 0， 解得 2a 6 5. 综上， 2a6 5. 9 解析：Mx|x 23x20 x| 2x 1 ， Nx|(1 2) x4 x|x2 ， 则 MN x|x 2 答案： A 10 解析： f(1)146 3，则有 x 0， x 24x63 或 x0， x63， 解得 0x1 或 x3 或 3x0，即 3x1 或 x3. 答案： A 11 解析： 函数y2 x(x(，1)的值域是 (0,2，解不等式组
7、a 2a 0， a 2a 2， 得 2x 1 或 0 x1. 答案： A 12 解析： 设 f(x)ax(x1)，所以 f 2 1， f 3 1， 即 2a 21 1， 3a 31 1， 解得 1 6a 1 2，则实数 a 的取值范围为 1 6， 1 2) 答案： 1 6， 1 2) 13 解析： 思路一：由题意，得 a0， 2 11 a， 2 1 c a， 解得 a 1，c 2，则函数yf( x) x2x2 (x2)(x1) 与 x 轴的交点坐标为(1,0)，(2,0)，开口向下 思路二： 由于 f(x)0 的解集为 x|2x1，则 f(x)0 的解集为 x|2 x1， 即x|1x 2，且开
8、口向下 答案： C 2.2一元二次不等式的应用 基础巩固 1 若集合 Ax|x 2x0，Bx|0x3，则 AB 等于 ( ) Ax|0 x1 B x|0x3 C x|1 x3 D? 2 不等式 x 2 x 10 的解集是 ( ) A(， 1)(1,2 B 1,2 C(， 1) 2， ) D(1,2 3 不等式 (x3)(x7)(x8)0 的解集是 _ 4 关于x 的方程x 2 (m 3)xm20 有两个不相等的正根，则 m 的取值范围是 _ 5 某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x件与货价p(元/件)之间的关系为p1602x， 生产 x 件所需成本为C500 30x 元，问该厂日产量多大时，日
9、获利不少于1 300 元？ 6 一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量 x(辆)与创造的价值y(元)之间有如下的关系： y 2x 2220x. 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6 000 元以上， 那么它在一个星期内 大约应该生产多少辆摩托车？ 7 设 a R，关于 x 的一元二次方程7x 2(a13) x a2 a20 有两根 x 1、x2，且 0 x11x22，求 a 的取值范围 8 若关于 x 的不等式 4xm x 2 2x3 2 对任意的 x 恒成立，求实数m 的取值范围 综合过关 9 设集合 Ax|x 210，B x|x2 3x0，则 A
10、B 等于 ( ) Ax|1x1 B x|0x3 C x|0 x1 D x|1x3 10 已知集合Ax|x 23x180 ，Bx|(xk) (xk1)0，若 AB?，求 k 的 取值范围 11 求下列函数的定义域 (1)y6xx 2；(2)ylog 2(3x 22x1) 12 设 a0，对于函数f(x)log3(ax 2xa)， (1)若定义域为R，求实数a的取值范围； (2)若 f(x)的值域为R，求实数a 的取值范围 能力提升 13 甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f(x)和 g(x)，当甲公司投入 x 万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司对这一新产
11、品的开发有失 败的风险， 否则没有失败的风险；当乙公司投入x 万元作宣传时， 若甲公司投入的宣传费小 于 g(x)万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险 (1)试解释 f(0)10，g(0)20 的实际意义； (2)设 f(x) 1 4x10，g(x) x20，甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意 在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传 费？ 参考答案 1 解析： Ax|x 2x0 x|0x1，则 AB x|0x1 答案： A 2 解析： x 2 x 10? x10， x 2 x 1 0， 则 1x2. 答案： D 3
12、解析： 利用穿针引线法可得x 3 或 7x8. 答案： x|x 3 或 7x8 4 解析： 设 x1，x2是方程的两根，则由题意知 x1 x2，且 x10，x20， 0， x1x20， x1 x20， 即 m3 24m20， m30， m 20， 解得 1x0 或 0x3. 答案： ( 1,0)(0,3) 5 解： 由题意，得 (1602x)x(50030x)1 300， 化简得 x265x9000， 解之，得 20x45. 因此，该厂日产量在20 件至 45 件时，日获利不少于1 300 元 6 解： 设在一个星期内大约应该生产x 辆摩托车，根据题意得到 2x2220x6 000. 移项整理
13、，得x2110x3 0000. 因为 1000，所以方程x2110x3 0000 有两个实数根x1 50，x260. 所以 50x60. 因为 x 只能取整数值， 所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量 在 5159 辆之间时，这家工厂能够获得6 000 元以上的收益 7 分析： 若把方程左边看作是一个二次函数f(x)，则它的图像是开口向上的抛物线，它 在区间 (0,1)和(1,2)内与 x 轴相交等价于f(0)0，f(1)0，f(2)0，根据以上可列关于a 的不 等式组求a 的范围 解： 设 f(x)7x2(a13)xa2a2. x1，x2是方程 f(x)0 的两个实根，且
14、0x11,1x22， f 0 0， f 1 0， f 2 0 ? a 2a2 0， 7 a13 a 2 a20， 282 a13 a 2a 20， 即 a 2 a20， a 2 2a8 0， a 2 3a0. a 1或a 2， 2a4， a0或a3. 2 a 1或 3 a4. a 的范围是 a|2a 1 或 3a4 8 分析： 本题是一个参数的分式不等式恒成立问题，由于分母恒大于零，因此可将此分 式不等式转化为一个整式不等式，再研究恒成立问题 解法一： x22x 3(x1)22 0， 4xm x 22x32 等价于 2x 28x6m0， 要使 2x28x6m0 恒成立，则只需要 0，即 648
15、(6m)0，m 2. m 的取值范围是m 2. 解法二： 不等式 2x28x6m0 对任意的x 恒成立，则 只需 m2x 28x6 对任意的 x 恒成立 2x28x62(x2)222， 2x28x6 在 x R 上的最小值为2. m 2. 9 解析： 由 x 210 得 1x1， A x|1x1由 x23x0 得 0x3，即 B x|0x3，ABx|1x1x|0x3 x|0x1 答案： C 10 分析： 求出 A、B，即解出一元二次不等式后，根据AB?来研究集合端点值的关 系，列不等式组求得k 的范围 解法一： 由 x23x180，得 x3 或 x 6. A x|x 3或 x 6 由(xk)(
16、xk1)0 可得， kxk1， B k|k xk1 ， A B?，作出图形 (如图所示 ) 欲使 AB?，则 k 应满足： k13 或 k 6，即 k|k 6 或 k2 解法二： 先求 A B?时 k 的范围 由解法一得，A x|x 6 或 x3 ， B x|kxk1 若 AB?，则 k13， k6， 6k2. A B?的 k 的范围是 k|k 6 或 k2 11 分析： 根据函数的定义，求函数的定义域即求函数有意义时自变量的取值范围，将 定义域问题转化为不等式问题 解： (1)要使函数有意义，只需使6xx20，即 x2 x60.设方程 x2x60，两 根是 x1 3，x22. 不等式 x 2
17、 x60 的解集为 x|3x2 函数 y6xx2的定义域为 x|3x2 (2)要使函数有意义，只需使3x 22x 10，设方程 3x22x10， 则两根为 x1 1 3，x21. 不等式 3x 22x10 的解集为 x|x1 3或 x1 函数 ylog2(3x22x1)的定义域为 x|x 1 3或 x1 12 分析： f(x)的定义域是R，等价于ax 2xa0 对一切实数都成立而 f(x)的值域为 R，等价于 ax 2 xa 能取遍大于 0 的所有实数值(1)与(2)虽只有一字之差，但解法大不相 同 解： (1)f(x)的定义域为R，则 ax2xa0 恒成立，即 a0， 14a 20， 解得
18、a 1 2. (2)f(x)的值域为R，则真数ax 2xa 能取遍大于 0 的所有值， a0， 14a 2 0， 解得 0a 1 2. 13 分析： (1)根据函数f(x)和 g(x)表达的含义； (2)通过解不等式得x，y 的最小值 解： (1)f(0) 10 表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险， 至少要投入10 万元宣传费； g(0) 20 表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至 少要投入20 万元宣传费 (2)设甲公司投入宣传费x 万元，乙公司投入宣传费y 万元，依题意，当且仅当 yf x 1 4x10， xg y y20 成立，双方均无失败的风险 由 ，得 y 1 4( y20)10? 4yy600， (y 4)(4y15)0. 4 y150， y4. y16. xy2042024. xmin 24，ymin16， 即要使双方均无失败风险，甲公司至少要投入24 万元，乙公司至少要投入16 万元