《高中数学北师大版选修1-2学案：3.1.1归纳推理Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学北师大版选修1-2学案：3.1.1归纳推理Word版含解析.pdf（15页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、 1归纳与类比 11归纳推理 1了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理(重点) 2了解归纳推理在数学发展中的作用(难点) 基础 初探 教材整理归纳推理 阅读教材 P53P55“练习”以上部分，完成下列问题 1归纳推理的定义 根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这 种属性，这种推理方式称为归纳推理 2归纳推理的特征 归纳推理是由部分到整体， 由个别到一般的推理 利用归纳推理得出的结论 不一定是正确的 判断(正确的打“”，错误的打“”) (1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归 纳推理 () (2)由个别到一般的推理称为归纳推理()
2、 (3)由归纳推理所得到的结论一定是正确的() 【答案】(1)(2)(3) 质疑 手记 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：_ 解惑： _ 疑问 2：_ 解惑： _ 疑问 3：_ 解惑： _ 小组合作型 ,数式中的归纳推理 (1)观察下列各式： ab1，a 2b23，a3b34，a4b47，a5 b511，, ，则a10b10() A28B76 C123 D199 (2)已知 f(x) x 1x， 设 f 1(x)f(x)， fn(x)fn1(fn1(x)(n1， 且 nN)， 则 f3(x) 的表达式为 _，猜想 fn(x)(nN)的表达式为 _. 【精彩点拨
3、】(1)记 anbnf(n)，观察 f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)之间的关 系，再归纳得出结论 (2)写出前 n 项发现规律，归纳猜想结果 【自主解答】(1)记 anbnf(n)，则 f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2) f(3)347； f(5)f(3)f(4)11.通过观察不难发现f(n)f(n1)f(n2)(n N，n3)，则 f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47； f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123. 所以 a 10b10123. (2)f1(x)f(x) x 1x， f2(x
4、)f1(f1(x) x 1x 1 x 1x x 12x， f3(x)f2(f2(x) x 12x 12 x 12x x 14x ， 由 f1(x)，f2(x)，f3(x)的表达式，归纳 fn(x) x 12 n1x(nN) 【答案】(1)C(2)f3(x) x 14x fn(x) x 12 n1x(nN) 已知等式或不等式进行归纳推理的方法： (1)要特别注意所给几个等式(或不等式 )中项数和次数等方面的变化规律； (2)要特别注意所给几个等式(或不等式 )中结构形式的特征； (3)提炼出等式 (或不等式 )的综合特点； (4)运用归纳推理得出一般结论 再练一题 1应用归纳推理猜测_. 2n
5、个 1n 个 2 【解析】n1 时，有11293， n2 时，有1 111221 08933， n3 时，有111 111 222110 889333； , 猜想： 【答案】 n个 3 ,数列中的归纳推理 (1)在数列an中，a11，an1 1 an1，则 a 2 017等于() A2B 1 2 C2 D1 (2)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图3-1-1: 【导 学号： 67720011 】 图 3-1-1 由于图中 1,3,6,10这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组 成三角形数的特点，归纳第n 个三角形数的石子个数 【精彩点拨】(1)写出数列的前 n 项
6、，再利用数列的周期性解答 (2)可根据图中点的分布规律归纳出三角形数的形成规律，如 11,312,6 123；也可以直接分析三角形数与n 的对应关系，进而归纳出第n 个三角 形数 【自主解答】(1)a11，a2 1 2，a32，a41，, ，数列 an 是周期 为 3 的数列， 2 01767231， a2 017a11. 【答案】D (2)法一：由 11， 312， 6123， 101234， 可归纳出第 n 个三角形数为 123, nn n1 2 . 法二观察项数与对应项的关系特点如下： 项数1234 对应项 12 2 23 2 34 2 45 2 分析：各项的分母均为2，分子分别为相应项
7、数与相应项数加1 的积 归纳：第 n 个三角形数的石子数应为 n n1 2 . 数列中的归纳推理： 在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和 (1)通过已知条件求出数列的前几项或前n 项和； (2)根据数列中的前几项或前n 项和与对应序号之间的关系求解； (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式 再练一题 2已知数列 an满足 a11，an12an1(n1,2,3，, ) (1)求 a2，a3，a4，a5； (2)归纳猜想通项公式an. 【解】(1)当 n1 时，知 a11， 由 an12an1， 得 a23， a37，a415，a531. (2)由 a112
8、11，a 232 21， a372 31，a 4152 41，a 5312 51， 可归纳猜想出 an2 n1(nN ) 探究共研型 ,几何图形中的归纳 推理 探究 1在法国巴黎举行的第52 届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒 乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1 堆只有一层，就一个球；第 2,3,4，, 堆最底层 (第一层 )分别按图 3-1-2 所示方式固定摆放，从第二层开始， 每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第 n 层就放一个乒乓球，以f(n)表示 第 n 堆的乒乓球总数，试求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值 图 3-1-2 【提示】观察图形可知， f(1)1
9、，f(2)4，f(3)10，f(4)20. 探究 2上述问题中，试用n 表示出 f(n)的表达式 【提示】由题意可得：下一堆的个数是上一堆个数加下一堆第一层的个数， 即 f(2)f(1)3；f(3)f(2)6；f(4)f(3)10；, ；f(n)f(n1) n n1 2 . 将以上 (n1)个式子相加可得 f(n)f(1)3610, n n1 2 1 2(1 222, n2)(123, n) 1 2 1 6n n1 2n1 n n1 2 n n1 n2 6 . 有两种花色的正六边形地面砖， 按图 3-1-3 的规律拼成若干个图案， 则第 6 个图案中有菱形纹的正六边形的个数是() 图 3-1-
10、3 A26 B31 C32 D36 【精彩点拨】解答本题可先通过观察、 分析找到规律， 再利用归纳得到结 论 【自主解答】法一： 有菱形纹的正六边形个数如下表： 图案123, 个数61116, 由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6 为首项，以5 为公差的等差数列，所以第6 个图案中有菱形纹的正六边形的个数是65(6 1)31. 法二：由图案的排列规律可知， 除第一块无纹正六边形需6 个有纹正六边形 围绕(图案 1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5 块菱形纹正六边形 (每两 块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形 )，故第 6 个图案 中有菱形纹的正六边形的
11、个数为65(61)31. 【答案】B 归纳推理在图形中的应用策略： 通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论， 通常需把形状问 题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理解答该类问题的一 般策略是： 再练一题 3根据图3-1-4 中线段的排列规则，试猜想第8 个图形中线段的条数为 _. 图 3-1-4 【解析】分别求出前 4 个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想，图形 到中线段的条数分别为1,5,13,29， 因为 1223,5233,13243,2925 3，因此可猜想第 8 个图形中线段的条数应为2 813509. 【答案】509 构建 体系 1(2016 厦门高二检
12、测 )用火柴棒摆“金鱼”，如图3-1-5 所示： 图 3-1-5 按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为() A6n2B8n2 C6n2 D8n2 【解析】a18，a214，a320，猜想 an6n2. 【答案】C 2(2015 广东高考 )若空间中 n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的 取值() A至多等于 3B至多等于 4 C等于 5 D大于 5 【解析】n2 时，可以； n3 时，为正三角形，可以； n4 时，为正四 面体，可以； n5 时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与 边长相等，不可能 【答案】B 3经计算发现下列不等式：2181 ， n N)
13、 个 点 ， 每 个 图 形 总 的 点 数 记 为an， 则a6 _ ，an_. 图 3-1-8 【解析】依据图形特点可知当n6 时，三角形各边上各有6 个点，因此 a636315. 由 n2,3,4,5,6时各图形的特点归纳得an3n3(n2，nN) 【答案】153n3(n2，nN) 三、解答题 9已知数列 an的前 n 项和为 Sn，a11，且 Sn1 1 Sn20(n2)，计算 S1，S2，S3，S4，并猜想 Sn的表达式 【解】当 n1 时，S1a11； 当 n2 时， 1 S22S 13， S2 1 3； 当 n3 时， 1 S32S 2 5 3， S3 3 5； 当 n4 时，
14、1 S42S 3 7 5， S4 5 7. 猜想： Sn 2n3 2n1(nN ) 10已知 f(x) 1 3 x 3，分别求 f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)的值， 然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论. 【导学号： 67720012】 【解】由 f(x) 1 3 x 3，得 f(0)f(1) 1 3 0 3 1 3 1 3 3 3 ， f(1)f(2) 1 3 1 3 1 3 2 3 3 3 ， f(2)f(3) 1 3 2 3 1 3 3 3 3 3 . 归纳猜想一般性结论为f(x)f(x1) 3 3 . 证明如下： f(x)f(x1) 1 3 x 3 1 3 x1
15、 3 3 x 13 3 x 1 3 x1 3 3 3 x 33 x1 1 3 x1 3 3 3 x1 33 x1 3 3 x1 3 13 3 x 3 3 . 能力提升 1(2016 西安期末检测 )平面内有 n 条直线，最多可将平面分成f(n)个区域， 则 f(n)的表达式为 () An1B2n Cn 2n2 2 Dn 2n1 【解析】1 条直线将平面分成11 个区域； 2 条直线最多可将平面分成1 (12)4 个区域； 3 条直线最多可将平面分成1(123)7 个区域； ,， n 条直线最多可将平面分成1(123,n)1 n n1 2 n 2n2 2 个区 域，选 C 【答案】C 2 (20
16、16 南昌调研 )已知整数对的序列为 (1,1)， (1,2)， (2,1)， (1,3)， (2,2)， (3,1)， (1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，, ，则第57 个数对是 () A(2,10) B(10,2) C(3,5) D(5,3) 【解析】由题意，发现所给数对有如下规律： (1,1)的和为 2，共 1 个； (1,2)，(2,1)的和为 3，共 2 个； (1,3)，(2,2)，(3,1)的和为 4，共 3 个； (1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)的和为 5，共 4 个； (1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1
17、)的和为 6，共 5 个 由此可知，当数对中两个数字之和为n 时，有 n1 个数对易知第 57 个数 对中两数之和为 12，且是两数之和为12 的数对中的第 2 个数对，故为 (2,10) 【答案】A 3如图 3-1-9，将一个边长为 1 的正三角形的每条边三等分，以中间一段 为边向三角形外作正三角形，并擦去中间一段，得图3-1-9，如此继续下去， 得图 3-1-9，, ，试用n 表示出第 n 个图形的边数 an_. 图 3-1-9 【解析】观察图形可知， a13，a212，a348，, ，故 an是首项为 3， 公比为 4 的等比数列，故 an34 n1. 【答案】34n 1 4某同学在一次
18、研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： sin 213 cos217 sin 13 cos 17 ； sin215 cos 215 sin 15 cos 15 ； sin 218 cos212 sin 18 cos 12 ； sin2(18 )cos 248 sin(18 )cos 48 ； sin 2(25 )cos255 sin(25 )cos 55 . (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结 论 【解】(1)选择式，计算如下：sin 215 cos215 sin 15 cos 15 11 2sin 30 11 4 3 4. (2)三角恒等式为 sin 2 cos2(30 )sin cos(30 )3 4. 证明如下： sin 2 cos2(30 )sin cos(30 ) sin2 (cos 30 cos sin 30 sin )2sin (cos 30 cos sin 30 sin ) sin2 3 4cos 2 3 2 sin cos 1 4sin 2 3 2 sin cos 1 2sin 2 3 4sin 2 3 4cos 2 3 4.