《高中数学北师大版选修1-2学案：4.2复数的四则运算Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学北师大版选修1-2学案：4.2复数的四则运算Word版含解析.pdf（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、 2复数的四则运算 21复数的加法与减法 22复数的乘法与除法 1理解共轭复数的概念 (重点) 2掌握复数的四则运算法则与运算律(重点、难点 ) 基础 初探 教材整理 1复数的加法与减法 阅读教材 P77“例 1”以上部分，完成下列问题 1复数的加法 设 abi(a，bR)和 cdi(c，dR)是任意两个复数， 定义复数的加法如下： (abi)(cdi)(ac)(bd)i. 2复数的减法 设 abi(a，bR)和 cdi(c，dR)是任意两个复数， 定义复数的减法如下： (abi)(cdi)(ac)(bd)i. 复数 z121 2i，z2 1 22i，则 z 1z2等于() A0B 3 2 5
2、 2i C.5 2 5 2i D5 2 3 2i 【解析】z1z2 21 2 1 22 i 5 2 5 2i. 【答案】C 教材整理 2复数的乘法与除法 阅读教材 P78“练习”以下 P80，完成下列问题 1复数的乘法法则 设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则 z1 z2(abi)(cdi)(acbd) (adbc)i. 2复数乘法的运算律 对任意复数 z1，z2，z3C，有 交换律z1 z2z2 z1 结合律(z1 z2) z3z1 (z2 z3) 乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3 3.共轭复数 如果两个复数的实部相等， 虚部互为相反数， 那么这样的两个复数叫
3、作互为 共轭复数复数 z 的共轭复数用 z 来表示，即 zabi，则 z abi. 4复数的除法法则 设 z1abi，z2cdi(cdi0)，则 z1 z2 abi cdi acbd c 2d2bcad c 2d2i. (1i) 22i 2i_. 【解析】(1i) 22i 2i2i 2i 2 5 3 5 14 5 i. 【答案】3 5 14 5 i 质疑 手记 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：_ 解惑： _ 疑问 2：_ 解惑： _ 疑问 3：_ 解惑： _ 小组合作型 复数的加法与减法运算 (1) 1 3 1 2i (2i) 4 3 3 2i _； (2)
4、已知复数 z满足 z13i52i，求 z； (3)已知复数 z满足 |z|z13i，求 z. 【精彩点拨】(1)根据复数的加法与减法法则计算 (2)设 zabi(a，bR)，根据复数相等计算或把等式看作z 的方程，通过 移项求解 (3)设 zxyi(x，yR)，则|z|x 2y2，再根据复数相等求解 【自主解答】(1) 1 3 1 2i (2i) 4 3 3 2 i 1 32 4 3 1 21 3 2 i 1i. 【答案】1i (2)法一： 设 zxyi(x，yR)，因为 z13i52i，所以 xyi(13i) 52i，即 x15 且 y32，解得 x4，y1，所以 z4i. 法二： 因为 z
5、13i52i，所以 z(52i)(13i)4i. (3)设 zxyi(x，yR)，则|z|x 2y2，又|z|z13i，所以 x 2y2x yi13i， 由复数相等得 x 2y2x1， y3， 解得 x4， y3， 所以 z43i. 1复数加法与减法运算法则的记忆 (1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减 (2)把 i 看作一个字母，类比多项式加、减法中的合并同类项 2当一个等式中同时含有 |z|与 z 时，一般要用待定系数法，设zabi(a， bR) 再练一题 1(1)复数(1i)(2i)3i 等于() A1iB1i CiDi 【解析】(1i)(2i)3i(12)(ii3i)1i.故选
6、 A. 【答案】A (2)已知 |z|3，且 z3i 是纯虚数，则 z_. 【解析】设 zxyi(x，yR)，x2y23，且 z3ixyi3ix (y3)i 是纯虚数，则 x0， y30， 由可得 y3. z3i. 【答案】3i 复数的乘法与除法运算 已知复数 z11i，z232i.试计算：【导学号： 67720025】 (1)z1 z2和 z 4 1； (2)z1 z2和 z 2 2 z1. 【精彩点拨】按照复数的乘法和除法法则进行 【自主解答】(1)z1 z232i3i2i 25i. z 4 1(1i) 2 2(2i)24i24. (2)z1 z2 1i 32i 1i32i 32i 32i
7、 15i 13 1 13 5 13i. z 2 2 z1 32i 2 1i 512i 1i 512i 1i 1i1i 717i 2 7 2 17 2 i. 1实数中的乘法公式在复数范围内仍然成立 2复数的四则运算次序同实数的四则运算一样，都是先算乘除， 再算加减 3常用公式 (1)1 i i；(2)1i 1ii；(3) 1i 1ii. 再练一题 2(1)满足 zi z i(i 为虚数单位 )的复数 z() A.1 2 1 2i B 1 2 1 2i C 1 2 1 2i D 1 2 1 2i (2)若复数 z满足 z(1i)2i(i 为虚数单位 )，则|z|() A1B2 C. 2 D3 【解
8、析】(1) zi z i，zizi，iz(i1) z i i1 i 1i 1i 1i 1i 2 1 2 1 2i. (2)z(1i)2i，z 2i 1i 2i 1i 2 1i， |z|12122. 【答案】(1)B(2)C 探究共研型 共轭复数的应用 探究 1两个共轭复数的和一定是实数吗？两个共轭复数的差一定是纯虚 数吗？ 【提示】若 zabi(a，bR)，则 z abi，则 z z 2aR.因此， 和一定是实数；而z z 2bi.当 b0 时，两共轭复数的差是实数，而当b0 时，两共轭复数的差是纯虚数 探究 2若 z1与 z2是共轭复数，则 |z1|与|z2|之间有什么关系？ 【提示】|z1
9、|z2|. 已知 zC， z 为 z 的共轭复数，若 z z 3i z 13i，求 z. 【精彩点拨】设 zabi(a，bR)，则 z abi.代入所给等式，利用复 数的运算及复数相等的充要条件转化为方程组求解 【自主解答】设 zabi(a，bR)，则 z abi，(a，bR)， 由题意得 (abi)(abi)3i(abi)13i， 即 a2b23b3ai13i， 则有 a 2b23b1， 3a3， 解得 a1， b0 或 a1， b3. 所以 z1 或 z13i. 再练一题 3已知复数 z1(1i)(1bi)，z2 a2i 1i ，其中 a，bR.若 z1与 z2互为 共轭复数，求 a，b
10、的值 【解】z1(1i)(1bi)1biib(b1)(1b)i， z2a2i 1i a2i 1i 1i 1i aai2i2 2 a2 2 a2 2 i， 由于 z1和 z2互为共轭复数，所以有 a2 2 b1， a2 2 1b ， 解得 a2， b1. 构建 体系 1设 z12i，z215i，则|z1z2|为() A.526B5 C25 D37 【解析】|z1z2|(2i)(15i)| |34i|32 4 25. 【答案】B 2已知 i 是虚数单位，则 (1i)(2i)() A3i B13i C33i D1i 【解析】(1i)(2i)13i. 【答案】B 3设复数 z11i，z2x2i(xR)
11、，若 z1z2R，则 x_. 【解析】z11i，z2x2i(xR)， z1z2(1i)(x2i)(x2)(x2)i. z1z2R，x20，即 x2. 【答案】2 4若 2 1i abi(i 为虚数单位， a，bR)，则 ab_. 【解析】因为 2 1i 2 1i 1i 1i 1i，所以 1iabi，所以 a1，b 1，所以 ab2. 【答案】2 5已知复数 z 满足|z|5，且(12i)z是实数，求 z . 【解】设 zabi(a，bR)，则(12i)z(12i) (abi)(a2b)(b 2a)i，又因为 (12i)z 是实数，所以b2a0，即 b2a，又 |z|5，所以 a 2 b 25，
12、解得 a 1，b 2， z12i 或12i， z 12i 或12i， z (12i) 我还有这些不足： (1)_ (2)_ 我的课下提升方案： (1)_ (2)_ 学业分层测评 (十三) (建议用时： 45 分钟) 学业达标 一、选择题 1实数 x，y 满足 z1yxi，z2yix，且 z1z22，则 xy 的值是 () A1B2 C2 D1 【解析】z1z2yxi(yix)xy(xy)i2， xy2， xy0， xy1. xy1. 【答案】A 2已知复数 z3i333i，则 z() A0 B6i C6 D66i 【解析】z3i333i， z(33i)(3i3) 66i. 【答案】D 3复数
13、z 3 2 ai，aR，且 z 21 2 3 2 i，则 a 的值为 () A1 B2 C.1 2 D1 4 【解析】由 z 3 2 ai，aR，得 z 23 2 22 3 2 ai(ai)23 4a 2 3ai，因为 z 21 2 3 2 i，所以 3 4a 21 2， 3a 3 2 ， 解得 a1 2. 【答案】C 4A，B 分别是复数 z1，z2在复平面内对应的点， O 是原点，若 |z1z2|z1 z2|，则三角形 AOB 一定是() A等腰三角形B直角三角形 C等边三角形D等腰直角三角形 【解析】复数 z1对应向量 OA ，复数 z2对应向量 OB . 则|z1z2|OA OB |，
14、|z1z2|OA OB |， 依题意有 |OA OB |OA OB |. 以OA ，OB 为邻边所作的平行四边形是矩形 AOB是直角三角形 【答案】B 5已知复数 z 3i 13i 2， z 是 z的共轭复数，则 z z 等于( ) A.1 4 B.1 2 C1 D2 【解析】z 3i 1 3i 2 3i2i 13i 2 i 13i 13i 2 i 1 3i i 13i 4 3 4 i 4， z 3 4 i 4， z z 1 4. 【答案】A 二、填空题 6复数 12i 2 34i 的值是 _ . 【解析】 12i 2 34i 34i 34i 1. 【答案】1 7已知 a2i i bi(a，b
15、R)，其中 i 为虚数单位，则 ab_. 【解析】a2i i bi， a2i(bi)i1bi， a1，b2， ab1. 【答案】1 8已知复数 z 满足 z|z|28i，则复数 z_. 【解】法一：设 zabi(a，bR) 则|z|a2b2， 代入方程得 abia2b228i. aa 2b22， b8， 解得 a15， b8， z158i. 法二：原式可化为 z2|z|8i， |z|R，2|z|是 z 的实部， 于是|z|2|z| 282， 即|z| 2684|z|z|2，|z|17. 代入 z2|z|8i，得 z158i. 【答案】158i 三、解答题 9在复平面内 A，B，C 三点对应的复
16、数分别为1,2i，12i. (1)求AB ，BC ，AC 对应的复数； (2)判断 ABC 的形状； (3)求ABC 的面积 【解】(1)AB 对应的复数为2i11i，BC 对应的复数为 12i(2 i)3i，AC 对应的复数为 12i122i. (2)|AB |2，|BC |10，|AC |82 2， |AB | 2|AC | 2|BC | 2， ABC 为直角三角形 (3)SABC 1 2 22 22. 10已知复数 z 满足 z(13i)(1i)4. (1)求复数 z的共轭复数；【导学号： 67720026】 (2)若 wzai，且复数 w 对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，求
17、实数 a 的取值范围 【解】(1)z1i3i3424i， 所以复数 z 的共轭复数为 24i. (2)w2(4a)i，复数 w 对应向量为 (2,4a)，其模为4 4a 2 208aa 2. 又复数 z 所对应向量为 (2,4)，其模为 2 5.由复数 w 对应向量的模不大于 复数 z 所对应向量的模，得208aa 220，a28a0，a(a8)0， 所以实数 a 的取值范围是 8a0. 能力提升 1(2016 宁夏高二检测 )设 z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是() A若 |z1z2|0，则 z1 z2 B若 z1 z2，则 z1z2 C若|z1|z2|，则 z1 z1z2 z2 D
18、若 |z1|z2|，则 z 2 1z22 【解析】A，|z1z2|0? z1z20? z1z2?z1 z2，真命题； B，z1 z2?z1 z2z2，真命题； C，|z1|z2|? |z1| 2|z 2| 2? z 1 z1z2 z2，真命题； D，当|z1|z2|时，可取 z11，z2i，显然 z 2 11，z 2 21，即 z 2 1z 2 2，假命 题 【答案】D 2 复数 zxyi(x， yR)满足条件 |z4i|z2|， 则 2 x4y 的最小值为 () A2 B4 C4 2D16 【解析】由|z4i|z2|，得 |x(y4)i|x2yi|， x 2(y4)2(x2)2y2， 即 x
19、2y3， 2x4y2x22y22x 2y2 234 2， 当且仅当 x2y3 2时，2 x4y 取得最小值 4 2. 【答案】C 3若复数 z7ai 2i 的实部为 3，则 z 的虚部为 _ 【解析】z7ai 2i 7ai 2i 2i2i 14a 72a i 5 14a 5 72a 5 i.由题意知 14a 5 3，a1，z3 i. z的虚部为 1. 【答案】1 4已知 z 为复数， z1 i 为实数， z 1i为纯虚数，求复数 z. 【解】设 zabi(a，bR)， 则z1 i a1bi i (a1bi) (i)b(a1)i. 因为 z1 i 为实数，所以 a10，即 a1. 又因为 z 1i abi 1i 1i 1i ab ab i 2 为纯虚数， 所以 ab0，且 ab0，所以 b1. 故复数 z1i.