高中数学北师大版选修2-2学案：1.4数学归纳法Word版含解析.pdf

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1、 4数学归纳法 1.了解数学归纳法的思想实质，掌握数学归纳法的两个步骤.(重点) 2.体会归纳法原理，并能应用数学归纳法证明简单的命题.(重点、难点 ) 基础 初探 教材整理数学归纳法 阅读教材 P16P18，完成下列问题 . 1.数学归纳法的基本步骤 数学归纳法是用来证明某些与正整数n 有关的数学命题的一种方法.它的基 本步骤是： (1)验证：当 n 取第一个值 n0(如 n01 或 2 等)时，命题成立； (2)在假设当 nk(nN，kn0)时命题成立的前提下，推出当nk1时， 命题成立 . 根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数 n 都成立. 2.应用数学归纳法注意的问题

2、(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题 . (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可. (3)步骤(2)的证明必须以“假设当nk(kn0，kN)时命题成立”为条件 . 判断(正确的打“”，错误的打“”) (1)与正整数 n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.() (2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为 1.() (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可.() 【答案】(1)(2)(3) 质疑 手记 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： 小组合作型 用数学归纳法证明等式 (1) 用 数 学 归

3、 纳 法 证 明 等 式1 2 3 , (n 3) （n3）（n4） 2 (nN)时，第一步验证 n1 时，左边应取的项是 () A.1 B.12 C.123 D.1234 (2)用数 学 归纳 法 证明 (n 1) (n2) , (n n)2 n 13, (2n 1)(nN)， “从 k 到 k1”左端增乘的代数式为 _. 【导学号： 94210022】 【自主解答】(1)当 n1 时，左边应为 1234，故选 D. (2)令 f(n)(n1)(n2),(nn)，则 f(k)(k1) (k2),(kk)， f(k 1) (k 2)(k 3), (k k)(2k 1)(2k 2) ， 所 以

4、f（k1） f（k） （2k1）（2k2） k1 2(2k1). 【答案】(1)D(2)2(2k1) 数学归纳法证题的三个关键点 1.验证是基础 找准起点 ，奠基要稳 ，有些问题中验证的初始值不一定是1. 2. 递推是关键 数学归纳法的实质在于递推，所以从 “ k” 到“k1”的过程中 ，要正确分析 式子项数的变化 .关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由 nk 到 nk1 时， 等式的两边会增加多少项、增加怎样的项. 3. 利用假设是核心 在第二步证明 nk1 成立时 ， 一定要利用归纳假设 ， 即必须把归纳假设 “n k 时命题成立 ”作为条件来导出 “nk1”，在书写 f(k1)时，一定要

5、把包 含 f(k)的式子写出来 ，尤其是 f(k)中的最后一项 ，这是数学归纳法的核心 ，不用 归纳假设的证明就不是数学归纳法. 再练一题 1.下面四个判断中，正确的是() A.式子 1kk 2, kn(nN )中，当 n1 时，式子的值为 1 B.式子 1kk 2, kn1(nN )中，当 n1 时，式子的值为 1k C.式子 11 2 1 3, 1 2n1(nN )中，当 n1 时，式子的值为 11 2 1 3 D.设 f(n) 1 n1 1 n2, 1 3n1(nN )， 则 f(k1)f(k) 1 3k2 1 3k3 1 3k4 【解析】A 中，n1 时，式子 1k； B 中，n1 时

6、，式子 1； C 中，n1 时，式子 11 2 1 3； D 中，f(k1)f(k) 1 3k2 1 3k3 1 3k4 1 k1. 故正确的是 C. 【答案】C 用数学归纳法证明不等式 (1)用数学归纳法证明不等式 1 n1 1 n2, 1 nn 13 24(n2，nN )的过程中，由 nk 推导 nk1 时，不等式的左边增加的式子是_. (2)证明：不等式 1 1 2 1 3, 1 n 13 24. 假设当 nk(k2 且 kN)时不等式成立 ， 即 1 k1 1 k2, 1 2k 13 24， 那么当 nk1 时， 1 k2 1 k3, 1 2（k1） 1 k2 1 k3, 1 2k 1

7、 2k1 1 2k2 1 k1 1 k1 1 k1 1 k2 1 k3, 1 2k 1 2k1 1 2k2 1 k1 13 24 1 2k1 1 2k2 1 k1 13 24 1 2k1 1 2k2 13 24 1 2（2k1）（k1） 13 24. 这就是说 ，当 nk1 时，不等式也成立 . 由可知，原不等式对任意大于1 的正整数都成立 . 归纳猜想证明 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，其中 an Sn n（2n1）且 a 11 3. (1)求 a2，a3； (2)猜想数列 an 的通项公式，并证明 . 【精彩点拨】(1)令 n2，3 可分别求 a2，a3. (2)根据 a1，a2

8、，a3的值，找出规律 ，猜想 an，再用数学归纳法证明 . 【自主解答】(1)a2 S2 2（221） a1a2 6 ，a11 3， 则 a2 1 15，类似地求得 a3 1 35. (2)由 a1 1 13，a 2 1 35，a 3 1 57，, ， 猜得： an 1 （2n1）（ 2n1）. 证明： 当 n1 时，由(1)可知等式成立； 假设当 nk 时猜想成立 ，即 ak 1 （2k1）（2k1） ，那么，当 nk1 时，由题设 an Sn n（2n1）， 得 ak Sk k（2k1），a k1 Sk1 （k1）（2k1）， 所以 Skk(2k1)ak k(2k1) 1 （2k1）（2k

9、1） k 2k1， Sk1(k1)(2k1)ak1， ak1Sk1Sk(k1)(2k1)ak1 k 2k1. 因此，k(2k3)ak1 k 2k1， 所以 ak1 1 （2k1）（2k3） 1 2（k1）12（k1）1 . 这就证明了当 nk1 时命题成立 . 由可知命题对任何 nN都成立 . 1.“归纳猜想证明”的一般环节 2.“归纳猜想证明”的主要题型 (1)已知数列的递推公式 ，求通项或前 n 项和. (2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值 是否存在 . (3)给出一些简单的命题 (n1，2，3，, )，猜想并证明对任意正整数n 都成 立的一般性命题 . 再

10、练一题 3.数列an满足 Sn2nan(Sn为数列 an 的前 n 项和)， 先计算数列的前 4项， 再猜想 an，并证明 . 【解】由 a12a1，得 a11； 由 a1a222a2，得 a2 3 2； 由 a1a2a323a3，得 a37 4； 由 a1a2a3a424a4，得 a4 15 8 . 猜想 an2 n1 2 n1. 下面证明猜想正确： (1)当 n1 时，由上面的计算可知猜想成立. (2)假设当 nk 时猜想成立 ，则有 ak 2 k1 2 k1，当 nk1 时，Skak12(k 1)ak1， ak1 1 22(k1)S k k11 2 2k 2 k1 2 k1 2 k11

11、2 （k1）1， 所以，当 nk1 时，等式也成立 . 由(1)和(2)可知，an 2 n1 2 n1对任意正整数 n 都成立 . 探究共研型 用数学归纳法证明整除性问题 探究 1数学归纳法的第一步n 的初始值是否一定为1? 【提示】不一定，如证明 n 边形的内角和为 (n2)180时，第一个值为 n03. 探究 2数学归纳法两个步骤之间有怎样的联系？ 【提示】第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据， 这两个步骤缺一不可 ，只完成步骤 (1)而缺少步骤 (2)就作出判断 ，可能得出不正 确的结论 .因为单靠步骤 (1)， 无法递推下去 ， 即 n 取 n0以后的数列命题是否正确

12、 ， 我们无法判定 ，同样只有步骤 (2)而缺少步骤 (1)时，也可能得出不正确的结论， 缺少步骤 (1)这个基础 ，假设就失去了成立的前提 ，步骤(2)也就没有意义了 . 用数学归纳法证明： n3(n1)3(n2)3能被 9 整除(nN). 【精彩点拨】在第二步时注意根据归纳假设进行拼凑. 【自主解答】(1)当 n1 时，13233336能被 9 整除，所以结论成立； (2)假设当 nk(kN，k1)时结论成立 ， 即 k3(k1)3(k2)3能被 9 整除. 则当 nk1 时， (k1) 3(k2)3(k3)3k3(k1)3(k2)3(k3)3k3 k3(k1)3(k2)39k227k27

13、 k 3(k1)3(k2)39(k23k3). 因为 k3(k1)3(k2)3能被 9 整除，9(k23k3)也能被 9 整除， 所以(k1) 3(k2)3(k3)3 也能被 9 整除，即 nk1 时结论也成立 . 由(1)(2)知命题对一切 nN成立. 与正整数有关的整除性问题常用数学归纳法证明，证明的关键在于第二步 中，根据归纳假设 ，将 nk1 时的式子进行增减项、倍数调整等变形，使之能 与归纳假设联系起来 . 再练一题 4.用数学归纳法证明“ n 35n 能被 6 整除”的过程中，当 nk1 时，对式 子(k1)35(k1)应变形为 _. 【导学号： 94210023】 【解析】由 n

14、k 成立推证 nk1 成立时必须用上归纳假设，(k1)3 5(k1)(k 35k)3k(k1)6. 【答案】(k35k)3k(k1)6 构建 体系 数学归纳法 定义 应用 证明等式 证明不等式 证明整除性问题 1. 用数学归纳法证明“凸n 边形的内角和等于 (n2) ”时，归纳奠基中n0 的取值应为 () A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】边数最少的凸 n 边形为三角形 ，故 n03. 【答案】C 2.用数学归纳法证明1aa 2, an11a n2 1a (nN，a1)，在验证 n 1 成立时，左边所得的项为 () A.1 B.1aa 2 C.1aD.1aa 2a3 【解析】当 n1 时

15、，n12，故左边所得的项为 1aa2. 【答案】B 3.用数学归纳法证明关于n 的恒等式时，当nk 时，表达式为 1427 , k(3k1)k(k1) 2，则当 nk1 时，表达式为 _. 【导学号： 94210024】 【解析】当 nk1 时， 应将表达式 1427, k(3k1)k(k1) 2 中的 k 更换为 k1. 【答案】1427, k(3k1)(k1)(3k4)(k1)(k2)2 4.以下是用数学归纳法证明“nN时，2 nn2”的过程，证明： (1)当 n1 时，2112，不等式显然成立 . (2)假设当 nk(kN)时不等式成立，即2 kk2. 那么，当 nk1 时，2 k122

16、k2k2kk2k2k22k1(k1)2. 即当 nk1 时不等式也成立 . 根据 (1)和(2) ， 可 知 对 任 何 nN不 等 式 都 成 立 .其中 错误 的步 骤为 _(填序号 ). 【解析】在 2 k122k2k2kk2k2k22k1 中用了 k22k1， 这是一个不确定的结论 .如 k2 时，k22k1. 【答案】(2) 5.用数学归纳法证明： 对于任意正整数n， (n 21)2(n222), n(n2n2) n 2（n1）（n1） 4 . 【证明】(1)当 n1 时，左边 1210，右边 1 2（11）（11） 4 0， 所以等式成立 . (2)假设当 nk(kN)时等式成立

17、，即(k 21)2(k222), k(k2k2) k 2（k1）（k1） 4 . 那么当 nk1 时， 有(k1)212(k1)222, k (k1)2k2(k 1)(k1) 2(k1)2 (k21)2(k222), k(k2k2)(2k1)(12, k) k 2（k1）（ k1） 4 (2k1)k（k1） 2 1 4k(k1)k(k1)2(2k1) 1 4k(k1)(k 23k2) （k1） 2（k1）1（k1）1 4 . 所以当 nk1 时等式成立 . 由(1)(2)知，对任意 nN等式成立 . 我还有这些不足： (1) (2) 我的课下提升方案： (1) (2) 学业分层测评 (六) (

18、建议用时： 45 分钟) 学业达标 一、选择题 1.(2016 广州高二检测 )用数学归纳法证明3 nn3(n3，nN )，第一步验证 () A.n1 B.n2 C.n3 D.n4 【解析】由题知，n 的最小值为 3，所以第一步验证 n3 是否成立 . 【答案】C 2.已知 f(n)1 n 1 n1 1 n2, 1 n 2，则() A.f(n)共有 n 项，当 n2 时，f(2)1 2 1 3 B.f(n)共有 n1 项，当 n2 时，f(2)1 2 1 3 1 4 C.f(n)共有 n 2n 项，当 n2 时，f(2)1 2 1 3 D.f(n)共有 n 2n1 项，当 n2 时，f(2)1

19、 2 1 3 1 4 【解析】结合 f(n)中各项的特征可知 ，分子均为 1，分母为 n，n1，, ， n 2 的连续自然数共有 n 2n1 个，且 f(2)1 2 1 3 1 4. 【答案】D 3.用数学归纳法证明123, n 2n 4n2 2 ， 则当 nk1(nN)时，等 式左边应在 nk 的基础上加上 () 【导学号： 94210025】 A.k 21 B.(k1) 2 C.（k1） 4（k1）2 2 D.(k 21)(k22)(k23), (k1)2 【解析】当 nk 时，等式左边 12,k2，当 nk1 时，等式左 边12, k 2(k21), (k1)2，故选 D. 【答案】D

20、4.设 f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当 f(k)k 2 成立时，总 可推出 f(k1)(k1)2成立”，那么，下列命题总成立的是() A.若 f(3)9 成立，则当 k1 时，均有 f(k)k 2 成立 B.若 f(5)25 成立，则当 k4 时，均有 f(k)k 2 成立 C.若 f(7)1 2 1 n2.假设 nk 时，不等 式成立，则当 nk1 时，应推证的目标不等式是_. 【解析】当 nk1 时， 目标不等式为： 1 2 2 1 3 2 , 1 （k1） 2 1 （k2） 21 2 1 k3. 【答案】 1 2 2 1 3 2, 1 （k1） 2 1 （k2）

21、21 2 1 k3 8.用数学归纳法证明1 2 22, (n1)2n2(n1)2, 2212 n（2n 21） 3 时，由 nk 的假设到证明nk1 时，等式左边应添加的式子是 _. 【解析】当 nk 时，左边 1222,(k1)2k2(k1)2, 22 1 2. 当 nk1 时，左边 1222, k2(k1)2k 2(k1)2, 2212， 所以左边添加的式子为 (k1) 2k2. 【答案】(k1) 2k2 三、解答题 9.用数学归纳法证明： 13, (2n1)n 2(nN ). 【证明】(1)当 n1 时，左边 1，右边 1，等式成立 . (2)假设当 nk(k1)时，等式成立 ，即 13

22、,(2k1)k 2， 那么，当 nk1 时，13,(2k1)2(k1)1k 22(k1)1 k 22k1(k1)2. 这就是说 ，当 nk1 时等式成立 . 根据(1)和(2)可知等式对任意正整数n 都成立 . 10.用数学归纳法证明： 11 2 1 3, 1 2 n11). 【证明】(1)当 n2 时，左边 1 1 2 1 3，右边 2，左边右边，不等式 成立. (2)假设当 nk 时，不等式成立 ，即 1 1 2 1 3, 1 2 k1k，则当 nk1 时，有 1 1 2 1 3, 1 2 k1 1 2 k 1 2 k1, 1 2 k11k 1 2 k 1 2 k1, 1 2 k11k12

23、 k 2 k k1，所以当 nk1 时不等式成立 . 由(1)和(2)知，对于任意大于 1 的正整数 n，不等式均成立 . 能力提升 1.用数学归纳法证明“当n 为正奇数时， x nyn 能被 xy 整除”，第二步归 纳假设应写成 () A.假设 n2k1(kN)时正确，再推 n2k3 时正确 B.假设 n2k1(kN)时正确，再推 n2k1 时正确 C.假设 nk(kN)时正确，再推 nk1 时正确 D.假设 nk(kN)时正确，再推 nk2 时正确 【解析】n 为正奇数 ，在证明时 ，归纳假设应写成： 假设 n2k1(kN)时正确 ，再推出 n2k1 时正确 .故选 B. 【答案】B 2.

24、对于不等式n 2nn1(nN )，某学生的证明过程如下： (1)当 n1 时，1 2111，不等式成立； (2)假设当 nk(kN)时，不等式成立， 即k 2kk1，则当 nk1 时， （k1） 2（k1） k 23k2 （k23k2）（ k2）（k2）2 (k1)1，所以当 nk1 时，不等式成立 . 上述证法 () 【导学号： 94210026】 A.过程全都正确 B.n1 验证不正确 C.归纳假设不正确 D.从 nk 到 nk1 的推理不正确 【解析】n1 的验证及归纳假设都正确，但从 nk 到 nk1 的推理中 没有使用归纳假设 ，而是通过不等式的放缩法直接证明，这不符合数学归纳法的

25、证题要求 .故选 D. 【答案】D 3.用数学归纳法证明3 4n252n1 能被 14 整除的过程中， 当 nk1 时，3 4(k 1)252(k1)1 应变形为 _. 【解析】当 nk1 时，3 4(k1)252(k1)181 34k225 52k125(34k2 52k 1)56 34k2. 【答案】25(34k 252k1)56 34k2 4.设函数 yf(x)对任意实数 x，y 都有 f(xy)f(x)f(y)2xy. (1)求 f(0)的值； (2)若 f(1)1，求 f(2)，f(3)，f(4)的值； (3)在(2)的条件下，猜想f(n)(nN)的表达式，并用数学归纳法加以证明. 【解】(1)令 xy0，得 f(00)f(0)f(0)200? f(0)0. (2)f(1)1，f(2)f(11)1124， f(3)f(21)412219， f(4)f(31)9123116. (3)猜想 f(n)n 2，下面用数学归纳法证明 . 当 n1 时，f(1)1 满足条件 . 假设当 nk(kN)时成立 ， 即 f(k)k 2， 则当 nk1 时， f(k1)f(k)f(1) 2kk 212k(k1)2，从而可得当 nk1 时满足条件 ，所以对任意的正整 数 n，都有 f(n)n 2.