《高中数学北师大版选修2-2学案：3.1.2函数的极值Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学北师大版选修2-2学案：3.1.2函数的极值Word版含解析.pdf（17页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1.2函数的极值 1.理解极大值，极小值的概念.(难点) 2.掌握求极值的步骤 .(重点) 3.会利用导数求函数的极值 .(重点) 基础 初探 教材整理极值点与极值 阅读教材 P59“练习”以下至 P61“例 3”以上部分 ，完成下列问题 . 1.极大值点与极大值 如图 3-1-6，在包含 x0的一个区间 (a，b)内，函数 yf(x)在任何一点的函数 值都小于或等于 x0点的函数值，称点 x0为函数 yf(x)的极大值点，其函数值 f(x0) 为函数的极大值 . 图 3-1-6 2.极小值点与极小值 如图 3-1-7，在包含 x0的一个区间 (a，b)内，函数 yf(x)在任何一点的函数 值
2、都大于或等于 x0点的函数值，称点 x0为函数 yf(x)的极小值点，其函数值 f(x0) 为函数的极小值 . 图 3-1-7 3.极值的判断方法 如果函数yf(x)在区间 (a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则 x0是极大值点， f(x0)是极大值；如果函数yf(x)在区间 (a，x0)上是减少的，在区 间(x0，b)上是增加的，则x0是极小值点， f(x0)是极小值 . 4.求函数 yf(x)极值的步骤 (1)求出导数 f(x). (2)解方程 f(x)0. (3)对于方程 f(x)0 的每一个解 x0，分析 f(x)在 x0左、右两侧的符号 (即 f(x) 的单调性 )
3、，确定极值点： 若 f(x)在 x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点； 若 f(x)在 x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点； 若 f(x)在 x0两侧的符号相同，则x0不是极值点 . 判断(正确的打“”，错误的打“”) (1)函数 f(x)x 3ax2x1 必有两个极值 .( ) (2)在可导函数的极值点处，切线与x 轴平行或重合 .() (3)函数 f(x) 1 x有极值 .( ) 【答案】(1)(2)(3) 质疑 手记 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： 小组合作型 求函数的极值 求下列函数
4、的极值 . (1)f(x)x 22x1； (2)f(x) x 4 4 2 3x 3x 2 2 6； (3)f(x)|x|. 【自主解答】(1)f(x)2x2，令 f(x)0，解得 x1. 因为当 x1 时，f(x)0， 所以函数在 x1 处有极小值 ， 且 y极小值2. (2)f(x)x 32x2xx(x22x1)x(x1)2. 令 f(x)0，解得 x10，x21. 所以当 x 变化时 ，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x (，0)0(0，1)1(1，) f(x)00 f(x) 单调 递减 极小 值 单调 递增 无极 值 单调 递增 所以当 x0 时，函数取得极小值 ，且 y极小值6.
5、 (3)f(x)|x| x，x0， x，x0 时，f(x)x10， 函数 f(x)|x|在(0，)内单调递增； 当 x0， 当 x1 时，函数有极小值 ，极小值为 f(1)1. 【答案】1 利用函数的极值求参数 已知 f(x)x3ax2bxc 在 x1 与 x 2 3时都取得极值 . (1)求 a，b 的值； (2)若 f(1) 3 2，求 f(x)的单调区间和极值 . 【精彩点拨】(1)求导函数 f(x)，则由 x1 和 x 2 3是 f( x)0 的两根及 根与系数的关系求出a，b. (2)由 f(1) 3 2求出 c，再列表求解 . 【自主解答】(1)f(x)3x 22axb， 令 f(
6、x)0，由题设知 x1 与 x 2 3为 f( x)0 的解. 12 3 2 3a， 1 2 3 b 3， a 1 2，b2. (2)由(1)知 f(x)x 31 2x 22xc， 由 f(1)11 22c 3 2，得 c1， f(x)x3 1 2x 22x1， f(x)3x 2x2. 当 x变化时 ，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x (， 2 3 2 3 2 3，1 1(1，) f(x)00 f(x) 单调递增 49 27 单调递 减 1 2 单调递增 f(x)的递增区间为， 2 3 和(1，)，递减区间为 2 3，1 . 当 x 2 3时，f(x)有极大值为 f 2 3 49 27
7、； 当 x1 时，f(x)有极小值为 f(1) 1 2. 已知函数极值的情况 ，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点： (1)根据极值点处导数值为0 和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求 解； (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法 求解后必须验证根的合理性. 再练一题 2.已知函数 f(x) 1 3x 31 2(m3)x 2(m6)x(xR，m 为常数)，在区间 (1， )内有两个极值点，求实数m的取值范围 . 【解】f(x)x2(m3)xm6. 因为函数 f(x)在(1，)内有两个极值点 ， 所以导数 f(x)x2(m3)xm6 在(1， )内与 x
8、 轴有两个不同的交点 ， 如图所示 . 所以 （m3）24（m6）0， f（1）1（m3）m60， m3 2 1， 解得 m3，故实数 m的取值范围是 (3，). 探究共研型 函数极值的综合应用 探究 1导数为 0 的点都是极值点吗？ 【提示】不一定 ，如 f(x)x 3，f(0)0，但 x0 不是 f(x)x3 的极值点 . 所以，当 f(x0)0 时，要判断 xx0是否为 f(x)的极值点 ，还要看 f(x)在 x0两侧 的符号是否相反 . 探究 2函数 f(x)的定义域为开区间 (a，b)，导函数 f(x)在(a，b)内的图像 如图 3-1-8 所示，则函数 f(x)在开区间 (a，b)
9、内有几个极小值点？ 图 3-1-8 【提示】一个.x1，x2，x3是极值点 ，其中 x2是极小值点 ，x1，x3是极大值 点. 探究 3函数 yf(x)在给定区间 (a，b)内一定有极值点吗？ 【提示】不一定 ，若函数 yf(x)在区间 (a，b)内是单调函数 ，就没有极值 点. 已知函数 f(x)x33xa(a为实数 )， 若方程 f(x)0有三个不同实根， 求实数 a 的取值范围 . 【精彩点拨】求出函数的极值 ，要使 f(x)0 有三个不同实根 ，则应有极 大值大于 0，极小值小于 0，由此可得 a 的取值范围 . 【自主解答】令 f(x)3x233(x1)(x1)0， 解得 x11，x
10、21. 当 x0； 当11 时，f(x)0. 所以当 x1 时，f(x)有极大值 f(1)2a； 当 x1 时，f(x)有极小值 f(1)2a. 因为方程 f(x)0 有三个不同实根 ， 所以 yf(x)的图像与 x 轴有三个交点 ，如图. 由已知应有 2a0， 2a0， x 取足够小的负数时 ，有 f(x)0， 即 5 27a0， a1， 当 a ， 5 27 (1，)时，曲线 yf(x)与 x 轴仅有一个交点 . 构建 体系 函数的极 值与导数 极值 极大值 f （x）左正右负 极小值 f （x）左负右正 极值点 f（x）0 1.函数 f(x)的定义域为 R，导函数 f(x)的图像如图 3
11、-1-9，则函数 f(x)() 图 3-1-9 A.无极大值点，有四个极小值点 B.有三个极大值点，两个极小值点 C.有两个极大值点，两个极小值点 D.有四个极大值点，无极小值点 【解析】有极值点的定义可知答案应选C. 【答案】C 2.函数 yx 33x29x(2x2)有( ) A.极大值 5，极小值 27 B.极大值 5，极小值 11 C.极大值 5，无极小值 D.极小值 27，无极大值 【解析】由 y 3x26x90，得 x1 或 x3. 当 x1 或 x3 时，y0；由 1x3 时，y0， 当 x1 时，函数有极大值 5；3?(2，2)，故无极小值 . 【答案】C 3.(2016 四川高
12、考 )已知 a 为函数 f(x)x 312x 的极小值点，则 a( ) A.4 B.2 C.4 D.2 【解析】由题意得 f(x)3x 212，令 f( x)0 得 x2，当 x2 时，f(x)0；当20，右侧 f(x)0，右侧 f(x)0，那么 f(x0)是极大值 【解析】根据极值的概念 ，左侧 f(x)0，单调递增；右侧 f(x)0. 因此 x2 为 f(x)的极小值点 ，故选 D. 【答案】D 3.(2016 烟台高二检测 )已知函数 f(x)x 22(1)k ln x(kN )存在极值，则 k 的取值集合是 () A.2 ，4，6，8，, B.0，2，4，6，8，, C.1，3，5，7
13、，, D.N 【解析】f(x)2x 2 （1） k x 且 x(0，)， 令 f(x)0，得 x 2(1)k，(*) 要使 f(x)存在极值 ，则方程 (*) 在(0，)上有解 ， (1) k0，又 kN ，k2，4，6，8，, ， 所以 k 的取值集合是 2，4，6，8，, . 【答案】A 4.设函数 f(x) 1 3xln x(x0)，则 yf(x)( ) A.在区间 1 e，1 ，(1，e)内均有零点 B.在区间 1 e ，1 ，(1，e)内均无零点 C.在区间 1 e ，1 内有零点，在区间 (1，e)内无零点 D.在区间 1 e，1 内无零点，在区间 (1，e)内有零点 【解析】f(
14、x) 1 3 1 x x3 3x ，令 f(x)0，得 x3，当 00， f(e) e 310， 所以 yf(x)在区间 1 e，1 内无零点 ，在区间 (1，e)内有零点 . 【答案】D 5.函数 f(x)x 33bx3b 在(0，1)内有且只有一个极小值，则 () A.00 D.b0，f(x)为增函数 . 故当 x2 时，函数 f(x)取得极小值 . 【答案】2 7.(2016 佛山高二检测 )设方程 x 33xk 有三个不等的实根，则实数 k 的取 值范围是 _. 【解析】设 f(x)x33xk，则 f(x)3x23. 令 f(x)0，得 x 1，且 f(1)2k，f(1)2k， 又 f
15、(x)的图像与 x 轴有三个交点 ， 故 2k0， 2k0， 32a0， 32a0， 1a0； 当 x1 时，y0)上存在极值，求实数a 的取值范围 . 【解】因为 f(x)1ln x x ，x0， 则 f(x) ln x x 2， 当 00， 当 x1 时，f(x)0)上存在极值 ， 所以 a1， 解得 1 20， 当 x 1 3，1 时，f(x)0， 当 x 1 3时，函数有极大值 ，f 1 3 1 3 321 3 21 3 4 27， 当 x1 时，函数有极小值 ，f(1)1210， 故选 A. 【答案】A 2.如图 3-1-10 是函数 f(x)x 3bx2cxd 的大致图像，则 x2
16、 1x 2 2等于() 图 3-1-10 A.2 3 B.4 3 C.8 3 D.12 3 【解析】由函数 f(x)x 3bx2cxd 的图像过点 (0，0)，(1，0)，(2，0)， 得 d0，bc10，4b2c80，则 b3，c2，f(x)3x22bxc 3x 26x2，且 x 1，x2是函数 f(x)x 3bx2cxd 的两个极值点 ，即 x 1，x2 是方程 3x26x20 的实根 ，x2 1x 2 2(x1x2) 22x 1x244 3 8 3. 【答案】C 3.函数 f(x)x 33axb(a0)的极大值为 6，极小值为 2，则 f(x)的单调递减 区间是 _. 【导学号： 942
17、10062】 【解析】由题意，知 f(x)3x 23a，令 f( x)0，得 x a. 因为函数 f(x)x33axb(a0)的极大值为 6，极小值为 2， 所以 f(a)2，f(a)6，即( a) 33a ab2，( a) 33a ab6， 解得 a1，b4. 所以 f(x)3x23，令 f(x)0，解得 1x1， 所以 f(x)的单调递减区间是 (1，1). 【答案】(1，1) 4.已知 f(x)x 3bx2cx2. (1)若 f(x)在 x1 时有极值 1，求 b，c的值； (2)在(1)的条件下， 若函数 yf(x)的图像与函数 yk 的图像恰有三个不同的 交点，求实数 k 的取值范围
18、 . 【解】(1)因为 f(x)x3bx2cx2， 所以 f(x)3x 22bxc. 由已知得 f(1) 0，f(1)1， 所以 32bc0， 1bc21，解得 b1，c5. 经验证 ，b1，c5 符合题意 . (2)由(1)知 f(x)x 3x25x2， f(x)3x 22x5. 由 f(x)0 得 x1 5 3，x21. 当 x变化时 ，f(x)，f(x)的变化状态如表： x ， 5 3 5 3 5 3，1 1(1，) f(x)00 f(x) 229 27 1 根据上表 ，当 x 5 3时函数取得极大值且极大值为 f 5 3 229 27 ，当 x1 时 函数取得极小值且极小值为f(1)1. 根据题意结合上图可知k 的取值范围为1，229 27 .