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1、数学前沿 指数分布在嵌入马氏链构造中的应用 向 阳,李玉梅 (怀化学院 数学系,湖南 怀化 418008) 摘 要:对于出现指数分布的过程,利用指数分布的无记忆性,结合实例,构造出了马氏更新过程,导出了其相伴的 半马氏核和嵌入马氏链的转移阵1 关键词:马氏更新过程; 半马尔可夫核; 指数分布 中图分类号: O211 文献标识码: A 文章编号: 1671 - 9743 (2003) 02 - 0023 - 03 收稿日期: 2003 - 01 - 23 作者简介:向阳(1970 - ) ,男,湖南溆浦人,怀化学院讲师,硕士,主要研究随机过程和风险理论1 1 预备知识 定义111 设随机过程 X
2、( t ) , t0取值于状态空间X = 0 ,1 ,2 , ,0 =t0 0 Yn, 若Xn= 0 (2 1 1) 由于顾客达到过程是Poisson过程,顾客到达间隔时间服从参数为的指数分布,由指数分布有无记忆性,知 PYn=j = 0 e -x(x) j j! dG(x ) , j= 0 ,1 ,2 (2 1 2) 由 (2 11) (21 2) 得Xn是马氏链1对应的半马氏核为 Qij(t ) = P(Xn+1=j,Tnt|Xn=i) (2 1 3) 当Xn=i 0时,因Yn=j-i+ 10故有ji- 1 ,此时 Qij(t ) = P(Xn+1=j,Tnt|Xn=i) =P(Yn=j-
3、i+ 1 ,Tnt) = t 0 e -x(x) j-i+1 (j-i+ 1) !dG( x) (2 1 4) 当Xn=i= 0时,Xn+1=Yn,故有 Q0j(t ) = P(Xn+1=j,Tnt|Xn = 0) =P(Yn=j,Tnt) = t 0 e -x(x) j j! dG(x) (2 1 5) 综上所述, Qij(t ) = t 0 e -x(x) j j! dG(x ) , i= 0 ,j0 t 0 e -x(x) j-i+1 (j-i+ 1) !dG( x ) , i1 ,ji- 1 0 , 其它 (2 1 6) 由 (1 1 3) 式Pij= lim tQij (t ) =
4、P(Xn+1=j|Xn=i)立得嵌入马氏链的转移概率: Pij(t ) = 0 e -x(x) j j! dG(x ) , i= 0 ,j0 0 e -x(x) j-i+1 (j-i+ 1) !dG( x ) , i1 ,ji- 1 0 ,其它 (2 1 7) 例212 GM1排队系统 假设顾客依照一个任意的更新过程来到一个单服务员的服务中心,来到间隔时间的 公布为G,服务时间服从参数为的指数分布1 类似于例211,我们只在顾客达到的时刻考察系统1以Xn记第n个顾客来到时见到系统中的顾客数,令t0= 0 , t1,t2,是顾客到达系统的时间序列,Tn=tn-tn- 1是第n个顾客与第n- 1个
5、顾客到达系统的间隔时间,则 ( Xn, tn ) , n0是一马氏更新过程1对应的由 (1 1 4) 式确定的半马氏过程X(t)表示在时刻t前最近一次顾客到达时留在 系统中的顾客数1设Xn是第n个顾客到达前的瞬间在系统中的顾客数,令Yn表示第n个顾客与第n+ 1个顾客到 42怀化学院学报 2003年4月 达间隔时间内系统服务完的顾客数,则易知 Xn+1=Xn+ 1 -Yn (2 1 8) 由 (2 1 8) 及服务时间分布的无记忆性知Xn是一马氏链1令Xn=i,Xn+1=j,若j1 ,又Yn=i+ 1 -j0 , 故1ji+ 1 ,此时 Qij(t ) = P(Xn+1=j,Tnt|Xn=i)
6、 =P(Yn=i+ 1 -j,Tnt) = t 0 e -t(t) i+1-j (i+ 1 -j ) ! dG(x) (2 1 9) 若Xn+1=j= 0 ,则有Yni+ 1 ,此时 Qio(t ) = P(Xn+1= 0 ,Tnt|Xn=i) =P(Yni+ 1 ,Tnt) = t 0 k=i+1 e -t(t) k k! dG(t) (2 1 10) 综上所述,有 Qij(t ) = t 0 e -t(t) i+1-j (i+ 1 -j ) ! dG(x ) , j= 1 ,2 ,i+ 1 ,i0 t 0 k=i+1 e -t(t) k k! dG(t ) , j= 0 ,i0 , 0 ,
7、其它 (2 1 11) 由 (1 1 3) 式Pij= lim tQij (t ) = P(Xn+1=j|Xn=i)立得嵌入马氏链的转移概率: Pij= 0 e -t(t) i+1-j (i+ 1 -j ) ! dG(x ) , j= 1 ,2 ,i+ 1 ,i0 0 k=i+1 e -t(t) k k! dG(t ) , j= 0 ,i0 , 0 ,其它 (2 1 12) 参考文献: 1王梓坤1随机过程通论M1北京:北京师范大学出版社, 19961 2邓永录,梁之舜1随机点过程及其应用M1北京:科学出版社, 19981 The Application of Exponential Distr
8、ibution in Constructing the Imbedded Markov Chain XIANG Y ang , LI Yu - mei (Mathematics Department,Huaihua University,Huaihua,Hunan418008,China) Abstract: In this paper , by the no - memory property of exponential distribution , we obtain the Markov renewal processes and the transition probability of the embedded Markov chain for some stochastic processes related the exponential distribution. K ey words: Markov renewal processes; kernel of semi - Markov processes; exponential distribution 52第22卷第2期 向 阳,李玉梅:指数分布在嵌入马氏链构造中的应用