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1、返回首页,Theory of Vibration with Applications,瑞利(Rayleigh)能量法 李兹(Ritz)法 子空间迭代法,多自由度系统 多自由度系统的数值计算方法,返回首页,Theory of Vibration with Applications,在求解多自由度系统的固有频率和主振型的问题时，随着系统自由度数目的增加，这种求解计算工作量也随之加大。因此，通常要借助计算机进行数值计算。 常用的数值计算方法有： 瑞利法 李兹法 子空间迭代法 下面介绍这几种常用的数值计算方法及计算机的应用。,多自由度系统 多自由度系统的数值计算方法,返回首页,Theory of Vi
2、bration with Applications,多自由度系统 多自由度系统的数值计算方法瑞利法,单自由度系统,运动微分方程,位移函数,速度函数,瑞利商：,返回首页,Theory of Vibration with Applications,设A为振型矢量，对于简谐振动，其最大动能和最大势能为,对于保守系统，由能量守恒，则有,若A是系统的第i阶主振型A(i)，则得相应的主频率的平方,若A是任意的n维矢量，则可得,称为瑞利商为了区别用位移方程求得的值，又称之为瑞利第一商。,多自由度系统 多自由度系统的数值计算方法瑞利法,返回首页,Theory of Vibration with Applica
3、tions,瑞利第一商值是否为系统某一主频率的平方，则决定于所取矢量A。如果A与某一主振型矢量接近，则所得瑞利商是相应的固有频率的近似值。实际上，对高阶振型很难做出合理的假设，而对于第一阶主振型则比较容易估计，所以此方法常用于求基频，现推证如下。 按照振型叠加的原理，系统的任何可能位移，包括假设振型，都可以描述为各阶主振型的线性组合。现取假设振型A是正则振型矢量的线性组合，即,多自由度系统 多自由度系统的数值计算方法瑞利法,返回首页,Theory of Vibration with Applications,现取假设振型A是正则振型矢量的线性组合，即,是组合系数的列矩阵，且为非全为零的常数,C
4、i可用振型的正交条件求出。即,多自由度系统 多自由度系统的数值计算方法瑞利法,返回首页,Theory of Vibration with Applications,多自由度系统 多自由度系统的数值计算方法瑞利法,返回首页,Theory of Vibration with Applications,由此可见，瑞利商的平方根是基频1的近似值。假设振型越接近于真实的第一阶振型，则结果越准确。通常，以系统的静变形作为假设振型，可以得到较满意的结果。,1,由于假设振型A接近于第一阶主振型，所以有，,多自由度系统 多自由度系统的数值计算方法瑞利法,返回首页,Theory of Vibration with
5、 Applications,可以看出，用瑞利法求出的基频近似值大于实际的基频1 。这是由于假设振型偏离了第一阶振型，相当于给系统增加了约束，因而增加了刚度，使求得的结果高于真实的值。,由于 1,多自由度系统 多自由度系统的数值计算方法瑞利法,返回首页,Theory of Vibration with Applications,如果采用位移方程描述系统的运动微分方程，即,同理，若A是任意的n矢量，则有,称为瑞利第二商,若假设振型接近于第一阶主振型时，则 是基频 的近似值,给出同样假设振型的同一振动系统，用瑞利第二商计算的结果，要比用瑞利第一商计算的结果更精确一些。,多自由度系统 多自由度系统的数
6、值计算方法瑞利法,返回首页,Theory of Vibration with Applications,例1 用瑞利法求图示三自由度扭转系统的第一阶固有频率的估值。已知k1=k2=k3=k；I1=I2=I3=I。,解：系统的质量矩阵和刚度矩阵为,计算得,求第一阶固有频率的估值，取假设振型,多自由度系统 多自由度系统的数值计算方法瑞利法,返回首页,Theory of Vibration with Applications,在上面的计算中，假设振型比较“粗糙”，与该系统的第一阶固有频率 ，精确到第四位值的比较误差较大。,多自由度系统 多自由度系统的数值计算方法瑞利法,返回首页,Theory of
7、Vibration with Applications,如果进一步改进假设振型，即以静变形曲线为假设振型，如设,显然，在工程上，若以静变形曲线作为假设振型，可以得到很好的第一阶固有频率的近似值。,多自由度系统 多自由度系统的数值计算方法瑞利法,返回首页,Theory of Vibration with Applications,用瑞利法估算的基频的精度取决于假设的振型对第一阶主振型的近似程度，而且其值总是精确值的上限。 李兹法对近似振型给出更合理的假设，从而使算出的基频值进一步下降，并且还可得系统较低的前几阶固有频率及相应的主振型 在李兹法中，系统的近似主振型假设为,是选取的s个线性独立的假设
8、振型,多自由度系统 多自由度系统的数值计算方法李兹法,返回首页,Theory of Vibration with Applications,由于 在系统的真实主振型处取驻值，这些驻值即相应的各阶固有频率的平方 ，所以a的各元素由下式确定,多自由度系统 多自由度系统的数值计算方法李兹法,返回首页,Theory of Vibration with Applications,n个自由度缩减至s 自由度。,刚度矩阵,质量矩阵,多自由度系统 多自由度系统的数值计算方法李兹法,返回首页,Theory of Vibration with Applications,李兹法是一种缩减系统自由度数的近似方法。,频
9、率方程,求出s个固有频率，即n自由度系统的前s阶固有频率。,解出其相应的特征矢量,求出n自由度系统的前s阶主振型,正交性,多自由度系统 多自由度系统的数值计算方法李兹法,返回首页,Theory of Vibration with Applications,对于瑞利第二商,利用驻值条件可得s个方程，将其写成矩阵形式,特征方程,求出s个固有频率，即n自由度系统的前s阶固有频率。,解出其相应的特征矢量,求出n自由度系统的前s阶主振型,多自由度系统 多自由度系统的数值计算方法李兹法,返回首页,Theory of Vibration with Applications,例2 用李兹法求图示四自由度振动系
10、统的前二阶固有频率及主振型。,解：由条件可求出系统的质量矩阵、刚度矩阵和柔度矩阵,设振型,多自由度系统 多自由度系统的数值计算方法李兹法,返回首页,Theory of Vibration with Applications,求出,求出2个固有频率，即4自由度系统的前2阶固有频率。,多自由度系统 多自由度系统的数值计算方法李兹法,返回首页,Theory of Vibration with Applications,求出系统的前二阶主振型,多自由度系统 多自由度系统的数值计算方法李兹法,返回首页,Theory of Vibration with Applications,将矩阵迭代法与李兹法结合起
11、来，可以得到一种新的计算方法，即子空间迭代法。 它对求解自由度数较大系统的较低的前若干阶固有频率及主振型非常有效。,多自由度系统 多自由度系统的数值计算方法子空间迭代法,返回首页,Theory of Vibration with Applications,计算系统的前P阶固有频率和主振型，按照李兹法，可假设s个振型且sP。 将这些假设振型排列成ns阶矩阵，即,其中每个 都包含有前P阶振型的成分，也含有高阶振型的成分。,多自由度系统 多自由度系统的数值计算方法子空间迭代法,返回首页,Theory of Vibration with Applications,为了提高李兹法求得的振型和频率的精确度
12、，将A0代入动力矩阵中进行迭代，并对各列阵分别归一化后得,这样做的目的是使 比A0含有较强的低阶振型成分，缩小高阶成分。但如果继续用 进行迭代，所有各阶振型即 的各列都将趋于A(1)。,为了避免这一点，可以在迭代过程中进行振型的正交化。,用李兹法进行振型正交化具有收敛快的特点。因为它是利用瑞利取驻值的条件，寻求s2个aij的系数，使得 的每一列都成为相对应振型A(i)的最佳近似。,多自由度系统 多自由度系统的数值计算方法子空间迭代法,返回首页,Theory of Vibration with Applications,所以用 作为假设振型，再按李兹法求解，即设,可求得广义质量矩阵和广义刚度矩阵
13、,ss阶待定系数方阵,得到s个值 及对应的特征矢量,再由李兹法特征值问题，即求解方程,从而求出,多自由度系统 多自由度系统的数值计算方法子空间迭代法,返回首页,Theory of Vibration with Applications,然后，以求出的 作为假设振型进行迭代，可求得,与李兹法特征值问题，解出 。,由李兹法，即,不断地重复矩阵迭代和李兹法的过程，就可以得到所需精度的振型和固有频率。,多自由度系统 多自由度系统的数值计算方法子空间迭代法,迭代的功能是使这s个矢量的低阶成分不断地相对放大，即向 张成的子空间靠拢。,返回首页,Theory of Vibration with Applic
14、ations,子空间迭代法是对一组假设振型反复地使用迭代法和李兹法的运算。 从几何观点上看，原n阶特征值系统有n个线性无关的特征矢量，它们之间是正交的，张成一个n维空间。,而假设的s个线性无关的n维矢量 张成一个s 维子空间，,多自由度系统 多自由度系统的数值计算方法子空间迭代法,如果只迭代不进行正交化，最后这s个矢量将指向同一方向，即A(1)的方向。 由于用李兹法作了正交处理，则这些矢量不断旋转，最后分别指向前s个特征值的方向。,返回首页,Theory of Vibration with Applications,即由张成的一个s 维子空间，,经反复地迭代正交化的旋转而逼近于由,所张成的子空
15、间。,多自由度系统 多自由度系统的数值计算方法子空间迭代法,返回首页,Theory of Vibration with Applications,在实践中发现，最低的几阶振型一般收敛很快，经过二至三次迭代便已稳定在某一数值。 在以后的迭代中不能使这几个低阶振型值的精度进一步提高，只是随着迭代次数的增加，将有越来越多的低阶振型值稳定下来。 所以，在计算时要多取几个假设振型，如果所需求的是P个振型，则假设振型个数s一般应在2P与2P+8之间取值。,多自由度系统 多自由度系统的数值计算方法子空间迭代法,返回首页,Theory of Vibration with Applications,子空间迭代法
16、有很大的优点，它可以有效地克服由于等固有频率或几个频率非常接近时收敛速度慢的困难。 同时，在大型复杂结构的振动分析中，系统的自由度数目可达几百甚至上千，但是，实际需用的固有频率与主振型只是最低的三、四十个，通常对此系统要进行坐标缩聚。 与其它方法相比，子空间迭代法具有精度高和可靠的优点。因此，它已成为大型复杂结构振动分析的最有效的方法之一。,多自由度系统 多自由度系统的数值计算方法子空间迭代法,返回首页,Theory of Vibration with Applications,例3 用子空间迭代法求例2中所示系统的前二阶固有频率及振型。,解：系统的质量矩阵、刚度矩阵和柔度矩阵已由例2求出。,
17、现取假设振型,由动力矩阵迭代得到,多自由度系统 多自由度系统的数值计算方法子空间迭代法,返回首页,Theory of Vibration with Applications,将各列分别归一化得,求得,再由李兹法特征值问题为,其中,多自由度系统 多自由度系统的数值计算方法子空间迭代法,返回首页,Theory of Vibration with Applications,由上述方程有非零解的条件，得频率方程为,各列分别归一化后，得,多自由度系统 多自由度系统的数值计算方法子空间迭代法,返回首页,Theory of Vibration with Applications,重复上述过程进行第二次迭代，
18、由,归一化后得,则有,由,多自由度系统 多自由度系统的数值计算方法子空间迭代法,返回首页,Theory of Vibration with Applications,解得,得频率方程为,由于 近似于单位矩阵，所以有,多自由度系统 多自由度系统的数值计算方法子空间迭代法,返回首页,Theory of Vibration with Applications,由于 近似于单位矩阵，所以有,结束迭代，求得系统的前二阶固有频率及相应的主振型为,多自由度系统 多自由度系统的数值计算方法子空间迭代法,Theory of Vibration with Applications,多自由度系统 习题,习题 4.11,