第六章信道编码.ppt

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1、信道编码,第6章,2,6.1 纠错编译码的基本原理与分析方法 6.2 线性分组码 6.3 卷积码,内容,3,信源编码 提高数字信号有效性 将信源的模拟信号转变为数字信号 降低数码率,压缩传输频带(数据压缩) 信道编码 提高数字通信可靠性 数字信号在信道的传输过程中,由于实际信道的传输特性不理想以及存在加性噪声,在接收端往往会产生误码。,编码,4,6.1 纠错编译码的基本原理 与分析方法,5,6.1.1 差错和差错控制系统分类,差错率是衡量传输质量的重要指标之一,它有几种不同的定义。 码元差错率/符号差错率 指在传输的码元总数中发生差错的码元数所占的比例(平均值),简称误码率。 是指信号差错概率

2、 比特差错率 /比特误码率： 在传输的比特总数中发生差错的比特数所占比例 是指信息差错概率 对二进制传输系统,符号差错等效于比特差错;对多进制系统,一个符号差错对应多少比特差错却难以确定,6,差错率,根据不同的应用场合对差错率有不同的要求: 在电报传送时,允许的比特差错率约为: 104105； 计算机数据传输,一般要求比特差错率小于: 108109； 在遥控指令和武器系统的指令系统中,要求有更小的误比特率或码组差错率,7,差错图样,为定量地描述信号的差错,定义差错图样E E=CR (模M ) 最常用的二进制码可当作特例来研究,其差错图样等于收码与发码的模2加,即 E = CR 或 C = RE

3、 设发送的码字C 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 接收的码字R 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 差错的图样E 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 差错图样中的“1”既是符号差错也是比特差错,差错的个数叫汉明距离。,0:传输中无错 1:传输中有错,8,差错图样,随机差错： 差错是相互独立的,不相关 存在这种差错的信道是无记忆信道或随机信道 突发差错： 指成串出现的错误,错误与错误间有相关性,一个差错往往要影响到后面一串字 E: 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0,突发长度= 4,突发长度= 6,9,纠错码分类,从

4、功能角度讲,差错码分为检错码和纠错码 检错码：用于发现差错 纠错码：能自动纠正差错 纠错码与检错码在理论上没有本质区别,只是应用场合不同,而侧重的性能参数也不同。,10,纠错码分类,按照对信息序列的处理方法,有分组码和卷积码 分组码： 将k个信息码元分成一组,由这k个码元按照一定规则产生r个监督码元,组成长度n = k + r的码字,卷积码： 先将信息序列分组,不同的是编解码运算不仅与本组信息有关,而且还与前面若干组有关。,k,k,010 101 010 001 110,010xxxx 101xxxx 010 xxxx,r,n,r,11,纠错码分类,按照码元与原始信息位的关系,分为 线性码：所

5、有码元均是原始信息元的线性组合,编码器不带反馈回路。 非线性码：码元并不都是信息元的线性组合,可能还与前面已编的码元有关,编码器可能含反馈回路。 由于非线性码的分析比较困难,早期实用的纠错码多为线性码,但当今发现的很多好码恰恰是非线性码。,12,纠错码分类,按照适用的差错类型,分成: 纠随机差错码:用于随机差错信道,其纠错能力用码组内允许的独立差错的个数来衡量。 纠突发差错码:针对突发差错而设计,其纠错能力主要用可纠突发差错的最大长度来衡量,13,差错控制系统分类,前向纠错(FEC)： 发送端的信道编码器将信息码组编成具有一定纠错能力的码。 接收端信道译码器对接收码字进行译码,若传输中产生的差

6、错数目在码的纠错能力之内时,译码器对差错进行定位并加以纠正。,14,差错控制系统分类,自动请求重发(ARQ)： 发端发送检错码， 收端译码器判断当前码字传输是否出错； 当有错时按某种协议通过一个反向信道请求发送端重传已发送的码字(全部或部分)。,15,差错控制系统分类,混合纠错(HEC)： 是FEC与ARQ方式的结合。 发端发送同时具有自动纠错和检测能力的码组,收端收到码组后,检查差错情况,如果差错在码的纠错能力以内,则自动进行纠正。 如果信道干扰很严重,错误很多,超过了码的纠错能力,但能检测出来,则经反馈信道请求发端重发这组数据。 信息反馈(IRQ)： 收端把收到的数据,原封不动地通过反馈信

7、道送回到发端,发端比较发的数据与反馈来的数据,从而发现错误,并且把错误的消息再次传送,直到发端没有发现错误为止。,16,检错与纠错原理,0:晴,1:雨 若10,01。收端无法发现错误,00晴,10,01,11,00,11雨,能发现 一个错误,禁用码组,插入1位监督码后具有检出1位错码的能力,但不能予以纠正。,17,检错与纠错原理,000晴,010,001,111,000,111雨,晴,在只有1位错码的情况下,可以判决哪位是错码并予以纠正,可以检出2位或2位以下的错码。,100,011,101,110,雨,18,检错与纠错原理,最大似然译码： 将接收到的码字译码为与它差别最小的许用码字,并且认为

8、这个许用码字就是它所对应的发送码字,从而在码字的纠错能力内实现自动纠错。 纠错编码之所以具有检错、纠错能力,是因为在信息码元之外加入了监督码。监督码不载信息,只是用来监督信息码在传输中有无差错。 纠错编码所提高的可靠性,是以牺牲信道利用率为代价换取的。 监督码引入越多,检错、纠错能力越强,但信道的传输效率下降也越多。,19,信道编码 在被传输信息中附加一些冗余码,即监督码元,利用附加码元与信息码元间的约束关系加以校验,以检测和纠正错误。 信源编码减少了冗余度 冗余度是随机的、无规律的 信道编码增加了冗余度 冗余度是特定的、有规律的,故可利用其在接收端进行检错和纠错。,信道编码,20,传输冗余比

9、特必然要动用冗余的资源。 时间： 比如一个比特重复发几次,或一段消息重复发几遍,或根据收端的反馈重发受损信息组。 频带： 插入冗余比特后传输效率下降,若要保持有用信息的速率不变,方法之一是增大符号传递速率(波特率),结果就占用了更大的带宽。 功率： 采用多进制符号,用8进制ASK符号代替4进制ASK符号来传送2比特信息,可腾出位置另传1冗余比特。 8进制ASK符号的平均功率肯定比4进制时要大,这就是动用冗余的功率资源来传输冗余比特。 设备复杂度： 加大码长,采用网格编码调制,是在功率、带宽受限信道中实施纠错编码的有效方法,代价是算法复杂度的提高,需动用设备资源。,21,信道编码的基本思想,信道

10、编码 按一定规则给数字序列m增加一些多余的码元,使不具有规律性的信息序列 m 变换为具有某种规律性的数码序列 C； 码序列中的信息序列码元与多余码元之间是相关的； 信道译码器利用这种预知的编码规则译码。检验接收到的数字序列 R 是否符合既定的 规则,从而发现 R 中是否有错,或者纠正其中的差错； 根据相关性来检测/发现和纠正传输过程中产生的差错就是信道编码的基本思想。,22,码距与检错、纠错能力,纠错编码的检错纠错能力,要取决于码组的码距 码距越大,检错、纠错能力越强。 汉明距离： 二个码组对应码位码元不同的个数。 最小码距dmin： 一个码组的集合中任意二个码组间的最小汉明距离。 码重W：

11、码组中非0的数目。,23,码距与检错、纠错能力,定理：若纠错码的最小距离为dmin， 可以检测出任意小于等于l = dmin1个差错 可以纠正任意小于等于 个差错,可以检测出任意小于等于l同时纠正小于等于t个差错， 其中l、t满足： l + t dmin1 t l,24,检错、纠错能力,为检查出 个错误，要求最小码距为 为纠正 个错误，要求最小码距为 为纠正 个错误，同时检查出 个错误，要求最小码距为,25,纠错检错示意图,26,编码效率,编码效率： 一个组中信息所占的比重,k：信息码元的数目 n：编码组码元的总数目 n = k+ r r：监督码元的数目,信道编码,第6章,28,6.1 纠错编

12、译码的基本原理与分析方法 6.2 线性分组码 6.3 卷积码,内容,29,信源编码 提高数字信号有效性 将信源的模拟信号转变为数字信号 降低数码率,压缩传输频带(数据压缩) 信道编码 提高数字通信可靠性 数字信号在信道的传输过程中,由于实际信道的传输特性不理想以及存在加性噪声,在接收端往往会产生误码。,编码,30,6.1 纠错编译码的基本原理 与分析方法,31,6.1.1 差错和差错控制系统分类,差错率是衡量传输质量的重要指标之一,它有几种不同的定义。 码元差错率/符号差错率 指在传输的码元总数中发生差错的码元数所占的比例(平均值),简称误码率。 是指信号差错概率 比特差错率 /比特误码率：

13、在传输的比特总数中发生差错的比特数所占比例 是指信息差错概率 对二进制传输系统,符号差错等效于比特差错;对多进制系统,一个符号差错对应多少比特差错却难以确定,32,差错率,根据不同的应用场合对差错率有不同的要求: 在电报传送时,允许的比特差错率约为: 104105； 计算机数据传输,一般要求比特差错率小于: 108109； 在遥控指令和武器系统的指令系统中,要求有更小的误比特率或码组差错率,33,差错图样,为定量地描述信号的差错,定义差错图样E E=CR (模M ) 最常用的二进制码可当作特例来研究,其差错图样等于收码与发码的模2加,即 E = CR 或 C = RE 设发送的码字C 1 1

14、1 1 1 1 1 1 1 1 接收的码字R 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 差错的图样E 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 差错图样中的“1”既是符号差错也是比特差错,差错的个数叫汉明距离。,0:传输中无错 1:传输中有错,34,差错图样,随机差错： 差错是相互独立的,不相关 存在这种差错的信道是无记忆信道或随机信道 突发差错： 指成串出现的错误,错误与错误间有相关性,一个差错往往要影响到后面一串字 E: 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0,突发长度= 4,突发长度= 6,35,纠错码分类,从功能角度讲,差错码分为

15、检错码和纠错码 检错码：用于发现差错 纠错码：能自动纠正差错 纠错码与检错码在理论上没有本质区别,只是应用场合不同,而侧重的性能参数也不同。,36,纠错码分类,按照对信息序列的处理方法,有分组码和卷积码 分组码： 将k个信息码元分成一组,由这k个码元按照一定规则产生r个监督码元,组成长度n = k + r的码字,卷积码： 先将信息序列分组,不同的是编解码运算不仅与本组信息有关,而且还与前面若干组有关。,k,k,010 101 010 001 110,010xxxx 101xxxx 010 xxxx,r,n,r,37,纠错码分类,按照码元与原始信息位的关系,分为 线性码：所有码元均是原始信息元的

16、线性组合,编码器不带反馈回路。 非线性码：码元并不都是信息元的线性组合,可能还与前面已编的码元有关,编码器可能含反馈回路。 由于非线性码的分析比较困难,早期实用的纠错码多为线性码,但当今发现的很多好码恰恰是非线性码。,38,纠错码分类,按照适用的差错类型,分成: 纠随机差错码:用于随机差错信道,其纠错能力用码组内允许的独立差错的个数来衡量。 纠突发差错码:针对突发差错而设计,其纠错能力主要用可纠突发差错的最大长度来衡量,39,差错控制系统分类,前向纠错(FEC)： 发送端的信道编码器将信息码组编成具有一定纠错能力的码。 接收端信道译码器对接收码字进行译码,若传输中产生的差错数目在码的纠错能力之

17、内时,译码器对差错进行定位并加以纠正。,40,差错控制系统分类,自动请求重发(ARQ)： 发端发送检错码， 收端译码器判断当前码字传输是否出错； 当有错时按某种协议通过一个反向信道请求发送端重传已发送的码字(全部或部分)。,41,差错控制系统分类,混合纠错(HEC)： 是FEC与ARQ方式的结合。 发端发送同时具有自动纠错和检测能力的码组,收端收到码组后,检查差错情况,如果差错在码的纠错能力以内,则自动进行纠正。 如果信道干扰很严重,错误很多,超过了码的纠错能力,但能检测出来,则经反馈信道请求发端重发这组数据。 信息反馈(IRQ)： 收端把收到的数据,原封不动地通过反馈信道送回到发端,发端比较

18、发的数据与反馈来的数据,从而发现错误,并且把错误的消息再次传送,直到发端没有发现错误为止。,42,检错与纠错原理,0:晴,1:雨 若10,01。收端无法发现错误,00晴,10,01,11,00,11雨,能发现 一个错误,禁用码组,插入1位监督码后具有检出1位错码的能力,但不能予以纠正。,43,检错与纠错原理,000晴,010,001,111,000,111雨,晴,在只有1位错码的情况下,可以判决哪位是错码并予以纠正,可以检出2位或2位以下的错码。,100,011,101,110,雨,44,检错与纠错原理,最大似然译码： 将接收到的码字译码为与它差别最小的许用码字,并且认为这个许用码字就是它所对

19、应的发送码字,从而在码字的纠错能力内实现自动纠错。 纠错编码之所以具有检错、纠错能力,是因为在信息码元之外加入了监督码。监督码不载信息,只是用来监督信息码在传输中有无差错。 纠错编码所提高的可靠性,是以牺牲信道利用率为代价换取的。 监督码引入越多,检错、纠错能力越强,但信道的传输效率下降也越多。,45,信道编码 在被传输信息中附加一些冗余码,即监督码元,利用附加码元与信息码元间的约束关系加以校验,以检测和纠正错误。 信源编码减少了冗余度 冗余度是随机的、无规律的 信道编码增加了冗余度 冗余度是特定的、有规律的,故可利用其在接收端进行检错和纠错。,信道编码,46,传输冗余比特必然要动用冗余的资源

20、。 时间： 比如一个比特重复发几次,或一段消息重复发几遍,或根据收端的反馈重发受损信息组。 频带： 插入冗余比特后传输效率下降,若要保持有用信息的速率不变,方法之一是增大符号传递速率(波特率),结果就占用了更大的带宽。 功率： 采用多进制符号,用8进制ASK符号代替4进制ASK符号来传送2比特信息,可腾出位置另传1冗余比特。 8进制ASK符号的平均功率肯定比4进制时要大,这就是动用冗余的功率资源来传输冗余比特。 设备复杂度： 加大码长,采用网格编码调制,是在功率、带宽受限信道中实施纠错编码的有效方法,代价是算法复杂度的提高,需动用设备资源。,47,信道编码的基本思想,信道编码 按一定规则给数字

21、序列m增加一些多余的码元,使不具有规律性的信息序列 m 变换为具有某种规律性的数码序列 C； 码序列中的信息序列码元与多余码元之间是相关的； 信道译码器利用这种预知的编码规则译码。检验接收到的数字序列 R 是否符合既定的 规则,从而发现 R 中是否有错,或者纠正其中的差错； 根据相关性来检测/发现和纠正传输过程中产生的差错就是信道编码的基本思想。,48,码距与检错、纠错能力,纠错编码的检错纠错能力,要取决于码组的码距 码距越大,检错、纠错能力越强。 汉明距离： 二个码组对应码位码元不同的个数。 最小码距dmin： 一个码组的集合中任意二个码组间的最小汉明距离。 码重W： 码组中非0的数目。,4

22、9,码距与检错、纠错能力,定理：若纠错码的最小距离为dmin， 可以检测出任意小于等于l = dmin1个差错 可以纠正任意小于等于 个差错,可以检测出任意小于等于l同时纠正小于等于t个差错， 其中l、t满足： l + t dmin1 t l,50,编码效率,编码效率： 一个组中信息所占的比重,k：信息码元的数目 n：编码组码元的总数目 n = k+ r r：监督码元的数目,51,检错码,奇偶校验码(n，n-1)(k+1，k),偶校验码字,52,6.1 概述,误码分类 随机信道噪声引入的随机误码，均匀分布 突发信道由干扰、快衰落引起的突发误码 如何减少误码？ 从信源编码看，误码引起的性能恶化尽

23、可能小，容错技术 从传输看，可采用抗干扰能力强的调制方式，信道特性不理想可采用均衡。特别需要差错控制技术。数字通信中，要求误码率108以下，必须采用差错控制。,53,二元码产生误码的情况,54,6.1.1 差错控制分类,需要双向信道，和前向信道有相同的通信容。 引入较大的停顿（不实时）。 可以纠正任何错误。,1. 反馈检验法,55,2. 检错重发法（ARQ）,自动请求重发 也需要反向信道，但容量可以降低，也会引入停顿,56,3. 前向纠错（FEC）,不需要双向信道 不会引入停顿 靠纠错编码,57,4. 混合纠错（HEC）,需要反馈信道 可能会引入停顿 靠纠错编码和检错码,58,6.1.2 差错

24、控制编码的基本原理,如用三位二进制编码来代表八个字母 000 A 100 E 001 B 101 F 010 C 110 G 011 D 111 H 不管哪一位发生错误，都会使传输字母错误 如用三位字母传四个字母 000 A 011 B 101 C 110 D 发生一位错误，准用码字将变成禁用码字，接收端就能知道出错，但是不能纠错。,59,差错控制编码,如用三位字母传二个字母 000 A 111 B 检二个错误，纠正一个错误。 结论 具有检错或纠错的码组，其所用的比特数必须大于信息码组原来的比特数 引入余度。,60,码重、码距,码重(weight) 一个码组中“1”的数目 码距(distanc

25、e) 两个码组之间对应位置上1、0不同的位数，又叫汉明(Hamming)距。 10 1 1 0 码重：3 01 1 0 0 2 距离：3,61,检错、纠错能力,为检查出 个错误，要求最小码距为 为纠正 个错误，要求最小码距为 为纠正 个错误，同时检查出 个错误，要求最小码距为,62,63,6.1.3. 差错控制编码分类,按功能分 检错码 纠错码 纠删码（发现不可纠正的错误时，可发出指示或删除） 按信息码元和监督码元之间的校验关系分 线性码 非线性码 按信息码元和监督码元之间的约束方式分 分组码 卷积码,64,香农理 纠错码的理论基础,香农定理 存在噪声干扰的信道，若信道容量为C，只要发送端以低

26、于C的速率R发送信息（R为输入到编码器的二进制码元速率），则一定存在一种编码方式，使编码的错误概率随着码长n的增加将按指数下降到任一的值，即 P120 结论 如码长及发送信息速率一定，可以通过增大信道容量，使P减小。 如在信道容量及发送信息速率一定，可以通过增加码长，使错误概率下降。,65,分组码,表示： (n,k) n : 帧长 k/n : 编码效率 特点 监督码只用来监督本帧中的信息位 分类 线性码 信息码与监督码之间为线性关系 非线性码 不存在线性关系,66,奇偶监督码,偶监督 奇监督 如果以上关系被破坏，则出现错误，因此能检查出奇数个错误，但不能检测偶数个错误。 最小码距为 dmin=

27、2 这种码检错能力不高，采用什么方法提高呢？,67,水平奇偶监督码和水平垂直监督码,又叫 二维奇偶监督码 水平奇偶监督码 检码字按行排成方阵，每行采用奇偶监督码，发送时按列的顺序传送，接收时仍将码字排列成发送时方阵形式，然后按行进行奇偶校验。 在不增加冗余度时，不仅发现某一行上奇数个错误，而且也能发现不大于方阵行数的突发错误。 水平垂直奇偶监督码 不仅对行进行奇偶校验，而且也对列进行奇偶校验。,68,分组码 (1),分组码的监督方程 矩阵形式,6.2 线性分组码,69,分组码 (2),监督矩阵 H矩阵称为典型形式，各行一定是线性无关的。而一个非典型形式的经过运算可以化成典型形式，通过监督矩阵可

28、以知道监督码和信息码的监督关系。,70,分组码 (3),生成矩阵 ，通过生成矩阵可以得到生成码组。 如果输入码组为 0011,71,分组码 (4),由这种方式得到的生成矩阵称为典型生成矩阵，由它产生的分组码必定为系统码，也就是信息码字保持不变，监督位附加其后，每行一定是线性无关的，每行都是一个生成码组。,72,汉明码,汉明码监督位为 位，因此它可以组成 种可能情况，其中一个为无错。因此可以监督码位共 要纠正一个错误，必须满足 最小码距 如果 r 位监督位所组成的校正子码组与误码图样一一对应，这种码组称为完备码（取等号时）,73,扩展汉明码,如果在汉明码基础上，再加上一位对所有码字进行校验的监督

29、位 监督码字由 r 位增加到 r+1 位 信息位不变 码长 码结构 纠 1 位错，检测 2 位错 如 （8，4），（16，11）,74,扩展汉明码矩阵,如 (7,4) (8,4),75,缩短汉明码,(n,k) (n-s, k-s) 如 (15,11) (12,8) 监督矩阵 Hs 是将原 H 的前 3 列 去掉 缩短汉明码的最小码距至少和原来码的码距相同，因为监督位没有变。,76,能纠 t 个错误的(n,k)应满足 取等号时为完备码 不同结构的线性码其纠错能力不同，能力和dmin 有关，dmin 越大越好。,77,最小码距界限,上界： 汉明界， 普洛特金界 下界： 吉尔伯特界 问题： 给定码长

30、与编码效率，寻找 dmin 例： dmin=5, 码长=63 的分组码设计 从汉明界得， 因此信息位最多可以取,78,最小码距界限,通过吉尔伯特界求下界 线性码 k 越接近 52， 效率越高。,79,6.3 循环码 (Cyclic code),1957 年发现 特点 线性分组码 循环性任一许用码字经过循环移位后，得到的码组仍为一个许用码组 如 是循环码的一许用码组 则 也是一许用码组,80,码多项式表示,码组 码多项式 码组 码多项式 左移一位 左移 位,81,循环码性质,为许用码组，则 也是许用码组 性质 若 是长度为n的循环码组，则 在按模 进行运算后，也是一个循环码组，也就是 用 多项式

31、除后所得之余式，即为所求的码组。,82,循环码例子,码组 左移 3 位 去除 得余式 如 左移 3 位后，得 是许用码组,83,循环码生成多项式g(D),g(D) 是 D的 (n-k) 次即r 次多项式 信息多项式为M(D),k 位，(k-1)次多项式,84,Theo.一个(n,k) 的二进制循环码可以看成是唯一由它的生成多项式产生，即 如(7,3)循环码，n=7, k=3, r=4 如果信息位为 010， M(D)=D 生成码为 0111010,循环码生成多项式g(D),85,生成矩阵 G(D),由于 k 位信息位共有 个码组，都可用此法产生，如果现有信息码 生成 k 个码字，且这 k 个码

32、字都线性无关，用这 k 个码字作为一个矩阵G 的 k行 构成生成矩阵 G(D),86,循环码,(7,3) 循环码,87,生成矩阵和监督矩阵,这样构成的循环码并非是系统码 系统码的生成矩阵典型形式 非系统码 系统码 生成矩阵 监督矩阵,88,非系统码 系统码,系统码的码多项式为 例如，(7,4)码，1011,89,非系统码 系统码,90,寻找生成多项式,Theo. 循环码的生成多项式必须能除尽 h(D)是监督多项式 例：要构成(7,3)循环码，求g(D). 解：g(D)应为4阶 生成(7,6)循环码 生成(7,1)循环码,91,循环码的编码器,原理：按系统码的生成方式 以(7,4)码为例,92,

33、循环码的译码器,译码比编码复杂得多 译码三步 伴随式S的计算 由S得到错误图样 纠正,93,伴随式的计算,发送码组 接收码组 误差码组 校正子只与 E 有关，根本是计算校正子,94,6.4 BCH码,即约多项式 一个 m 次多项式不能被二元域上任何二次数小于的，但大于0的多项式除尽，如 是即约的。 本原多项式 若m次多项式P(x)除尽的 的最小正整数 n 满足 ，就称为本原的。 如 能除尽 ，但除不尽 的 。 如 ： 是即约的，但不是本原的，因它能除尽 。,95,6.4.1 本原循环码,由本原多项式构成的码称为本原码。 特点 码长为 它的生成多项式是由若干m阶或以m的因子为最高阶的多项式相乘而

34、构成。 要判定(n,k) 的循环码是否存在，只需要判断 n-k 阶的生成多项式是否能由 Dn+1的因式构成。,96,循环码例子,生成多项式的阶次为 r, 该生成多项式是否是 的因此。 一个m阶即约多项式一定能除尽 如，m5，共有6个5阶即约多项式。 再加上 因子， 是以上7个多项式的乘积。,97,6.4.2 BCH 码的生成多项式,如果循环码形式的形式为 为纠错个数 ， 为最小多项式， 为最小公倍数 最小码距 码长为 的BCH码称为 本BCH码（侠义） 码长为 则称为非本原BCH码,98,BCH 码,由于g(D)有t个因式，且每个因式的最高次为m，因此监督码元最多有mt位。 对于纠t 个错误的

35、本原BCH码，其生成多项式 纠单个错误的本原BCH码字为汉明码。 表1113给出了 n5的本原BCH码。 1114给出了部分非本原BCH码。,99,BCH 码例子,纠正 3 个错误，码长为15的BCH码 解：n=15, m=5 查表11-12得， 23 37 07 这是(15,5)码。,100,重要的BCH码 (23,12),表1114中最重要的BCH码是(23,12) 称为格雷码，码间为7，能纠正3个错误。 生成多项式 在实际通信系统中，所要求的n、k并不是码表中所推荐的值，在这时我们可以采用缩短或扩展的方式加以修正，也就是通过增加信息符号或校验符号来增加码组长度，或减少信息和校验位来减少码

36、组长度。,101,BCH码,如 BCH码的码长为奇数，而有时需要偶数码长，这时可以在原BCH码生成多项式中乘以（D+1)因子，从而得到（n+1,k）扩展BCH码，这时相当于在原BCH码上加一个全校验位，从而将码距增加1，这时的码字不具有循环性。 如果BCH码不是2m-1或它的因式，这时可以采用缩短的方式，去掉s位信息，(n-s , k-s),102,RS码 Reed-Solomon,非二进制BCH码，输入以符号来考虑 假定每组有 K 个符号，每个符号用m比特，输入信息将是 Km 比特。,103,RS码,RS码适合于纠正突发错误，纠正的错误图样有 对于一个长度为 符号的RS码，每个符号都可以看成

37、是有限域 中的一个元素，如RS码的最小码距为d符号，则生成多项式,104,6.5 纠正和检测突发错误的分组码 交织码interleaved,在水平垂直监督码中将信息码排列成方阵，然后对行和列分别进行检验，可以达到检测突发错误的目的。 如果方阵中行码是能纠 t 个随机错误，交织后能纠t个长度为i的突发错误。i称为交织深度。,105,循环码构成交织码,采用循环码构成交织码时，可以不采用方阵就能实现编码。 假设交织码每行为 循环码，其生成多项式为 ， 可以除尽 ，如交织深度为 其交织码为 ,其生成多项式为 可以除尽 ，所以 也是循环码。,106,循环码构成交织码 (续),如，循环码(7,4)， 其生成多项式为 构成交织深度为3 的(21,12)交织码。 交织码的生成多项式为 它也是循环码，可以用循环码的方式构成。在发送端可以不排成方阵，但是在译码时，必须将码字排列成 阵列，然后分别独立的对每行码字进行译码。,107,交织码 之小结,为了进一步提高纠错能力，可以在交织阵列中不仅对每行进行纠错编码，而且也对每列进行纠错编码，这种形式的交织码称为乘积码。 若乘积码的行码和列码 分别能纠长度超过 的突发错误，则乘积码能纠正长度为 的突发错误。 交织一般都带固有延时，在语音中交织的延时不要超过40ms。,