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1、一、随机信号及其在时域的数字特征,7.1.1 随机信号 （徐宗华） 7.1.2 连续随机信号的数字特征（章金红 张帆） 7.1.3 各态历连续随机信号的数字特征及其估计 （王运 王欢） 7.1.4 离散随机信号的数字特征（何文锦） 7.1.5 各态历经离散随机信号的数字特征估计 （何文锦）,7.1 随机信号及其在时域的数字特征,7.1.1 随机信号,概念：在相同试验条件下，不能重复出现的信号，不能表现为一确定的时间函数，其函数值只能取某一数值的概率。 与确定性信号相比，有三个主要的特点,随机信号的任何一个实现，都只是随机信号整体的一个样本,在任何一时间上随机信号的取值都是一个随机变量，随机信号
2、是随机变量的时间过程。,平稳随机信号在时间上是无始无终的，其能量是无限的的，傅里叶变换并不存在，因此平稳随机信号不能用通常的频谱来表示。,通常我们采用时域和频谱上的四种统计函数来描述其基本特点,7.1.2 连续随机信号的数字特征,概率密度函数和概率分布函数,随机信号在时域的数字特征,自相关函数与自协方差函数,数学期望,均方差,方差,自相关函数,自协方差函数,自相关函数,自相关函数和互协方差函数,1.数字密度函数和概率分布函数,先从随机变量入手。一幅值为X的随机变量X（t），表示其瞬时值落在x值附近极小的 范围内的平均概率，简称概率密度。若对某一个随机变量X(t)进行观察，T为观察时间 为T时间
3、内X（t）落在 区间内的总时间，则其幅值落在 区间内的平均概率可以用 反映。当T趋向于无穷时，平均概率的极限即为X(t)落在x值的概率，表示为7.1式。,而随机变量X（t）的概率密度定义为7.2式，它反映了信号幅值落在某一极小范围 的概率。,概率分布是随机变量的瞬时值小于或等于某指定值的概率，表示为7.3式,可知，随机信号采用相应的统计函数来描述。对于连续随机时间信号，概率密度及其分布函数是从幅度域描述随机信号的统计规律。,针对一个随机信号的某一时刻而言，称为一维的概率密度和一维概率分布函数，如果用多个时刻定义多个随机变量，则应用n维联合概率分布函数来描述。其分布函数和概率密度函数见7.6 ，
4、7.7式。,有一类随机信号，其统计特性不随时间的平移而变化，或者说，它们的数字特征与时间选择起点无关，则认为这一类随机信号满足平稳条件，称其为严平稳随机信号，即在相当长的时间内概率密度函数不变。 如果只有一维，二维，则称为宽平稳信号。,2.随机信号在时域的数字特征,实际应用中往往不需要对随机过程有完整全面的了解，只要能够对随机过程的基本特征有所了解和掌握，并计算和分析，就能达到实际应用求。因此，反映随机过程所谓“数字特征“就具有十分重要的意义。,（1）时域平均函数：包括数学期望，均方值和方差，与方差相关的是方差的平方根（或者称标准差）。,1）数学期望：对于一般连续随机信号X（t）的集平均即数学
5、期望EX(t)为,对于平稳随机信号，由于一维概率密度函数与时间无关，因此有,2）均方值（二阶原点矩）,均方值反映了X（t）相对零值波动的度量，可以作为随机信号平均功率的表征。随机信号均方值一般表示为,平稳随机信号的均方值是一个与时间无关的常数，表示,3)方差 方差是X（t）相对均值波动情况的度量，表示为,均值、方差、均方值有如下关系：,即方差等于信号的均方差减去均值的平方。 对于平稳随机信号，有：,3.自相关函数与自协方差函数,（1）自相关函数用于表征一个随机过程本身，根据在t1,t2两个不同时刻瞬时之间的关联程度，把自相关函数定义为,当,有,则,说明X（t）的均方值是自相关函数在,时的特例。
6、,对于平稳随机信号，由于二维概率密度函数只与时间间隔,其自相关函数为：,（2）自协方差函数用来描述随机信号X（t）本身在任意两个时刻t1，t2，其幅值变化的互相依赖的程度，定义为,表示自协方差函数与自相关函数存在密切的内在联系，他们所描述的随机信号特征是一致的。,或,由以上两式可知，如果已知数学期望与自相关函数，就可以求得方差、自协方差和均方值等，因此数学期望和自相关函数是随机信号中两个最基本最重要的数字特征。,对于平稳随机信号的自协方差函数，表示为,（3）自相关系数,（4）互相关函数与互协方差函数 自相关函数与自协方差函数用于描述一个随机信号本身的统计特征，为了表征两个随机信号X（t）与Y（
7、t）之间的关联性，定义相应 的数字特征。 定义两者之间的互相关函数为：,相应的互协方差函数的定义为,这表明两个随机信号X（t），Y（t）之间互不相关，或者说，两个随机信号如果互为独立，则他们之间必定互不相关，但反之则不一定，即如果两个随机信号X（t），Y（t）之间互不先关，,对于平稳随机信号，由于二维概率密度函数只与时间间隔,其自相关函数为：,（2）自协方差函数用来描述随机信号X（t）本身在任意两个时刻t1，t2，其幅值变化的互相依赖的程度，定义为,表示自协方差函数与自相关函数存在密切的内在联系，他们所描述的随机信号特征是一致的。,或,由以上两式可知，如果已知数学期望与自相关函数，就可以求得方
8、差、自协方差和均方值等，因此数学期望和自相关函数是随机信号中两个最基本最重要的数字特征。,对于平稳随机信号的自协方差函数，表示为,（3）自相关系数,（4）互相关函数与互协方差函数 自相关函数与自协方差函数用于描述一个随机信号本身的统计特征，为了表征两个随机信号X（t）与Y（t）之间的关联性，定义相应 的数字特征。 定义两者之间的互相关函数为：,相应的互协方差函数的定义为,这表明两个随机信号X（t），Y（t）之间互不相关，或者说，两个随机信号如果互为独立，则他们之间必定互不相关，但反之则不一定，即如果两个随机信号X（t），Y（t）之间互不先关，,7.1.3 各态历经随机信号的数字特征,1、各态历
9、经随机信号数字特征的性质,a、各态历经随机信号X（t）的时间均值以概率1等于其集合平均,b、各态历经随机信号X(t）的时间相关函数以概率1等于其任意一个样本自相关（互相关）的时间平均。,2、各态随机信号平稳的充要条件,a、平稳随机信号X（t）的时间均值具有具有各态历经性的充要条件是：limRxx （）=m2x ，即：D【X（t）】=0,b、平稳随机信号X（t）的自相关函数具有各态历经性的充要条件。,c、对正太（高斯分布）平稳随机信号X（t）。若均值为0，自相关函数连续的各态历经性的充分条件。,7.1.4 离散随机信号的数字特征,从五个方面论述：,1.均值、均方值和方差,2.自相关函数和协方差函
10、数,3. 互相关函数与互协方差函数,4. 方差,5.自相关系数和互相关系数,当对连续随机信号X(t)进行时间采样后，即只在离散时刻取值，就形成离散随机信号。离散随机信号表示为：X(t1), X(t2), , X(tk)，；它是由一串离散随机变量构成的序列， 所以常称为随机序列，可简单地用X(k)或X(1), X(2), , X(k)，表示。 随机序列X(k)的统计特性描述（分布函数和概率密度函数）表示类似于X(t)， 只不过时间变量k取值限定为整数。,1.均值、均方值和方差,随机序列X(k)的均值为,随机序列X(k)的均方值为,随机序列X(k)的方差为,三者的相互关系为,2.自相关函数和协方差
11、函数,（1）自相关函数 自相关函数是描述随机信号X(k)在任意两个不同时刻k1、k2的取值X(k1)和X(k2)之间的相关程度。,定义 若离散随机信号X(k)的均值为一常数，自相关函数只与取样时间差n=k2-k1有关，即可表示为Rxx(n)，且它的均方值为有限值，即满足,则称随机序列X(k)为（广义）平稳离散时间随机信号。对于平稳随机序列 ，自相关函数只与时间差m有关。,（2）自协方差函数 同理，自协方差函数描述随机信号X(k)在任意两个不同时刻k1， k2的取值起伏变化之间的相关程度。,对于平稳离散时间随机信号，自协方差函数只与取样时间间隔n=k2-k1有关，即可表示为,3. 互相关函数与互
12、协方差函数 （1）互相关函数 类似于连续随机信号的情况，两个随机序列X(k)、Y(k)之间的相关程度由互相关函数和互协方差函数描述。 两个随机序列的互相关函数为,对于平稳离散随机信号，互相关函数只与取样时间间隔n=k2-k1有关，即可表示为Rxy(n)。,（2）互协方差函数 同理，两个随机序列X(k), Y(k)之间的互协方差函数为,对于两个平稳离散随机信号，互协方差函数只与取样时间间隔n=k2-k1有关，即可表示为,存在下列关系：,4.方差 对于一般随机序列，其方差是X（k）相对均值波动情况的度量，表示为,互相关系数表示为：,5.平稳离散随机序列的自相关系数和互相关系数 与平稳随机信号类似，
13、为了反映在两个不同时刻，平稳随机序列本身或者两个不同随机序列之间信号幅值起伏变化的线性相关联程度，分别用自相关系数和互相关系数来表示。自相关系数表示为：,7.1.5 各态历经离散随机信号的数字特征估计,1、估计量的评价标准,a、一致性,b、有效性,c、无偏性,2、数字特征的估计,a、均值的估计,b、方差的估计,c、自相关函数的估计,d、互相关函数的估计,与连续随机信号类似，各态历经随机序列任一样本的数字特征，可以充分代表随机离散过程的总体数字特征。与各态历经随机信号情况相仿，一个样本序列的时间长度可能是相当长的，但实际一个样本实现的长度N总是有限的，只能得到均值 均方值 方差 概率密度函数和概
14、率分布函数等在有限序列长度内的估计值。下面分别给出特征估计公式计算：,根据无偏估计的定义可以证明，均值的估计是无偏并且是一致估计。,(1) 均值的估计 设x(n)是一个被观测的实际样本，则其均值的估计为：,可以证明，方差估计是有偏估计，但却是渐近的无偏估计，即N很大时，趋向无偏估计。,(2) 方差的估计 若均值的估计已知，则方差的估计表示为：,(3) 自相关函数的估计 按照自相关函数的定义，其估计应表示为：,(4) 互相关函数的估计 按照互相函数的定义，其估计应表示为：,各态历经随机序列也是平稳序列，理论分析表明：当一平稳序列的自相关函数的理论值即使已经已经衰减到趋于零，用样本的自相关函数作为自相关函数估计的方差不小于1/N，而且不同估计之间是强相关。因此以样本的自相关函数作为自相关函数的估计结果不十分准确，只适用与要求不高的场合。,谢 谢,组长：何文锦 组员：徐宗华 章金红 张帆 王运 王欢,